lektsii (830015), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Приведем два достаточных условия, гарантирующих равномерную сходимость.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Дифференцируя полученное равенство по t, получимÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ25Теорема 5.9 (Признак Вейерштрасса). Если |f (x, t)| 6 ϕ(x), t ∈ T , причем несобственныйинтеграл+∞Z(5.6)ϕ(x) dxcот неотрицательной функции ϕ(x) сходится, то интеграл (5.3) сходится на T равномерно.J Если интеграл (5.6) сходится, то интеграл (5.3) сходится при любом t абсолютно по признакусравнения. Кроме того,+∞Zϕ(x) dx → 0CCCCCпри C → +∞.
IÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Теорема 5.10. Пусть функция f (x, t) неотрицательна и непрерывна в области G = [c, +∞]×[a, b]и интеграл (5.3) сходится для любого t ∈ [a, b], причем получаемая при этом функция I(t) являетсянепрерывной на [a, b]. Тогда интеграл (5.3) сходится равномерно на [a, b].ÔÍ-12при C → +∞. Поэтому +∞+∞+∞+∞ZZZZ|f (x, t)| dx 6sup |f (x, t)| dx 6ϕ(x) dx → 0f (x, t) dx 6 supsup t∈Tt∈T t∈TÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 6КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛÌÃÒÓМасса неоднородной нити.
Криволинейный интеграл 1-го рода. Задача о работе переменной силына криволинейном пути. Криволинейный интеграл 2-го рода. Свойства криволинейных интегралов.Способы вычисления криволинейных интегралов.ÌÃÒÓ6.1. Криволинейный интеграл 1-го родаПредположим, что механическая система представляет собой массу, распределенную по некоторойкривой (тяжелая нить). Распределение массы задано линейной плотностью ρ(P ), представляющейсобой количество массы на единицу длины кривой (рис. 6.1). Чтобы вычислить общую массу, необходимо разбить кривую на n частей точками A = P0 , P1 , .
. . , Pn = B (точки A и B — концы кривой)._Считая плотность на каждом участке кривой постоянной, выберем на каждой дуге Pk−1 Pk точку Sk иполучим приближенную формулу для общей массы:M=nX_ρ(Sk )l(Pk−1 Pk ),(6.1)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓгде l(γ) обозначает длину дуги γ. Точное значение является результатом предельного перехода, когдамаксимальная длина составляющих дуг стремится к 0.yAPkOxРис. 6.1Содержательный смысл функции ρ на самом деле не важен.
Как и ранее набор точек P0 , . . . , Pn ,делящих кривую на n частей, мы будем называть разбиением кривой, максимальную среди длинчастей разбиения — диаметром разбиения1 . Сумма (6.1) представляет собой интегральную сумму,а предел интегральных сумм при диаметре разбиения, стремящемся к 0, называют криволинейныминтегралом 1-го рода и обозначаютZM = ρ(M ) dlÌÃÒÓÌÃÒÓBÔÍ-12ÔÍ-12Pk1ÌÃÒÓÌÃÒÓk=1Согласно определению криволинейный интеграл можно вычислять только вдоль кривых, для которых корректно определена длина.
Напомним, что если кривая γ задана параметрически функциямиx(t), y(t), z(t), t ∈ [α, β], являющимися непрерывно дифференцируемыми (или кусочно непрерывно1Определение не совсем естественно, так как диаметром было бы естественно назвать максимальное расстояние междуточками дуги разбиения. Однако для наших целей оба подхода равноценны, так как с диаметром дуги к 0 стремится идлина этой дуги.ÌÃÒÓÔÍ-1226ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12γÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓZβ ql(γ) =(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt.αДлина l(t) участка кривой, соответствующего диапазону [α, t] изменения параметра есть монотоннаянепрерывно дифференцируемая функция от t и может быть взята как новый параметр кривой (онназывается натуральным).
Если кривой соответствует натуральный параметр, то, как легко увидеть, интегральная сумма для криволинейного интеграла от функции ρ(M ) совпадает с интегральнойсуммой определенного интеграла от функции ρ(M (l)). Таким образом, криволинейный интеграл 1-города сводится к обычному определенному интегралу:ZLZρ(M ) dl =ρ(M (l)) dl.0t ∈ [α, β].y = y(t),z = z(t),αВыполнив в интегралеZLI=ρ(M (l)) dlÌÃÒÓТогда длина l(t) дуги кривой, отвечающей диапазону [α, t] изменения параметра, вычисляется поформулеZt q(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt.l(t) =ÔÍ-12Вычисление интеграла 1-го рода.
Пусть кривая γ задана параметрически непрерывно дифференцируемыми функциями: x = x(t),ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ27дифференцируемыми), то длина кривой γ определяется интеграломγÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛZβI=qρ(M (t)) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 (z 0 (t))2 dt.αСвойства интеграла 1-го рода. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода вытекают изсоответствующих свойств определенного интеграла:1) Линейность:ZZZλf (M ) + µg(M ) dl = λ f (M ) dl + µ g(M ) dl.γγ2) Аддитивность. Если кривую γ составить из двух кривых, скажем, γ1 и γ2 , совместив конецпервой с началом второй, то криволинейный интеграл по суммарной кривой равен сумме интеграловпо исходным кривым:ZZZf (M ) dl +γ13) Если функция f (M ), определенная наинтеграл от этой функции вдоль γ существует.4) Длина кривой:Zγ2кривой γ, непрерывна, то криволинейныйdl = l(γ).γКривую называют спрямляемой, если для нее определена длина.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-122ÔÍ-12спрямляемой2f (M ) dl.ÌÃÒÓf (M ) dl =γ1 +γ2ÔÍ-12γÌÃÒÓÌÃÒÓзамену переменной l = l(t), приходим к определенному интегралуÔÍ-12ÔÍ-120ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ6.2.
Криволинейный интеграл 2-го родаМодифицируем понятие криволинейного интеграла следующим образом. Возьмем опять спрямляемую кривую γ и определенную на ней функцию f (M ). Выберем разбиение A = P0 , P1 , . . . , Pn = B_кривой на n дуг. Пусть координаты точки Pk есть (xk , yk , zk ). Выберем на дугах Pk−1 Pk точки Sk исоставим суммуnXσn =f (Sk )∆xk ,где ∆xk = xk − xk−1 , k = 1, . . . , n.Предел интегральных сумм σn при диаметре разбиения, стремящемся к 0, если он существует и независит от выбора точек Sk , называют криволинейным интегралом 2-го рода от функции f (M )вдоль кривой γ.
Он обозначается так:ZZ(6.2)f (M ) dx = f (x, y, z) dx.ÌÃÒÓγВ самом общем случае криволинейный интеграл 2-го рода определяется тремя функциями, скажем,f (M ), g(M ), h(M ), заданными на кривой γ:Zf (M ) dx + g(M ) dy + h(M ) dz.γAn =nXF (Sk )∆r k ,k=1где ∆r k — вектор Pk−1 Pk . Раскроем скалярное произведение в координатах:k=1где Fx , Fy , Fz — координаты вектора F . При переходе к пределу, когда диаметр разбиения стремитсяк 0, получим криволинейный интеграл 2-го рода:ZA = Fx dx + Fy dy + Fz dz.ÔÍ-12nXFx (Sk )∆xk + Fy (Sk )∆yk + Fz (Sk )∆zk .ÌÃÒÓКак возникает подобная конструкция ? Рассмотрим следующую механическую задачу.
Пустьматериальная точка движется по кривой γ, в каждой точке которого задана действующая сила (заданосиловое поле). Требуется вычислить работу поля сил.При постоянной силе F и прямолинейном движении работа равна скалярному произведению вектора силы F на вектор перемещения r: A = F r. В нашем случае выберем разбиение кривой (в техже обозначениях) и будем считать, что на элементарных дугах перемещение прямолинейное, а силапостоянна.
Тогда получаем следующую интегральную сумму:ÔÍ-12ÔÍ-12γÌÃÒÓÌÃÒÓγВыбор переменной x не является преимущественным, и мы с тем же успехом можем построитьаналогичные интегралыZZf (M ) dy,f (M ) dz.An =ÔÍ-12k=1ÌÃÒÓÔÍ-12Принципиальным отличием криволинейного интеграла от определенного является то, что его значение не зависит от направления на кривой, которое может быть задано направлением движения покривой при возрастании параметра. В этом смысле криволинейный интеграл по отрезку [a, b], например, оси абсцисс не есть определенный интеграл по тому же отрезку, так как перестановка пределовинтегрирования изменит определенный интеграл, но не изменит криволинейный. При сведе́нии криволинейного интеграла к определенному нижний предел всегда должен быть меньше верхнего.γÔÍ-12ÌÃÒÓ28ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6.
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛγÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ29Свойства интеграла 2-го рода. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода аналогичнысвойствам определенного интеграла. Сохраняются его линейность и аддитивность.В отличие от интеграла 1-го рода значение интеграла 2-го рода зависит от направления, выбранного на кривой:ZZP dx + Qdy + Rdz = −P dx + Qdy + Rdz.__ABBAЭто следует из того, что при изменении направления на кривой меняется порядок следования точекразбиения и потому приращения ∆xk , ∆yk , ∆zk меняют знак.
Изменение знака в интегральной суммевызывает изменение знака и в интеграле.Теорема о среднем не переносится на интеграл 2-го рода, а теорема об оценке принимает вид:Z ZpP 2 + Q2 + R2 dl.P dx + Qdy + Rdz 6_ _ABЭто вытекает из неравенства Коши-Буняковского:q pP (Sk )∆xk + Q(Sk )∆yk + R(Sk )∆zk 6 P 2 (Sk ) + Q2 (Sk ) + R2 (Sk ) ∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 .kkkБесконечно малая величинаq∆x2k + ∆yk2 + ∆zk2 при стремлении диаметра разбиения к 0 эквивалентнаÔÍ-12ABÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ_Из интегральной суммы для криволинейного интеграла мы получили нечто очень близкое к интегральной сумме для определенного интеграла.
Отличие лишь в том, что значения двух сомножителейподинтегральной функции f (ϕ(t), ψ(t), ν(t))ϕ0 (t) в нашей сумме берутся в разных точках (точке τk ,соответствующей точке Sk на кривой, и точке ζk , появившейся в результате применения теоремыЛагранжа).Если функция f непрерывна на кривой γ, то функцияÌÃÒÓÌÃÒÓf (ϕ(τk ), ψ(τk ), ν(τk ))ϕ0 (ζk )∆tk . (6.4)ÔÍ-12Каждой точке Pk разбиения кривой соответствует некоторое значение параметра tk , так что t0 = α,tn = β.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
