lektsii (830015), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если многосвязная область G ограничена несколькими простыми (кусочно гладкими) контурами, то Если измеримая ограниченная область Gограничена несколькими простыми (кусочно гладкими) контурами, функции P и Q определены и непрерывно дифференцируемы в окрестности G, тоZZZ ∂Q ∂PP dx + Q dy =−dxdy.∂x∂yÌÃÒÓÔÍ-12Рис. 7.5ÔÍ-12Рис. 7.4ÌÃÒÓДвумерная область может быть ограничена несколькими простыми непересекающимися контурами (например, кольцо).
Такая область называется многосвязной. Количество ограничивающихконтуров определяет связность области. Если контур один, то область односвязна, два контура —двусвязна (кольцо) и т.д.Среди контуров, ограничивающих многосвязную область G один является внешним, остальные —внутренними. Внешний контур ограничивает область, в которую G входит как часть. Все внутренние контуры расположены внутри внешнего.
Обход контуров, ограничивающих G, выполняется так,что область находится слева. Это значит, что внешний контур обходится против часовй стрелки, авнутрениие — по часовой (рис. 7.4).Формула Грина обобщается на случай многосвязной области. Под интегралом по границе такойобласти понимается сумма криволинейных интегралов по контурам границы с учетом положительногонаправления обхода, т.е. против часовой стрелки для внешнего и по часовой для внутренних.ÔÍ-12ÔÍ-12Сравнивая формулы (7.2) и (7.3), получаем формулу Грина. IÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Площадь области, ограниченной простым контуром, может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла. Это удобно, когда граница области задана параметрически, так как вычислениедвойного интеграла наталкивается на определенные трудности, а криволинейный интеграл вычисляется самым естественным образом.Подберем функции P и Q, определенные в G, так, что∂Q ∂P−≡ 1.∂x∂yÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ347.3. Вычисление площадей при помощи криволинейных интеграловТогда по формуле ГринаZZ ZP dx + Q dy =∂Q ∂P−∂x∂ydxdy = µ(G).G∂GНаиболее простыми являются варианты P (x, y) = y, Q(x, y) = 0 и P (x, y) = 0, Q(x, y) = x.
Врезультате получаем формулыZZµ(G) =x dy = − y dx.∂G∂GПример 7.1. Рассмотрим область G, ограниченную астроидой(x = cos3 tÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7. ФОРМУЛА ГРИНАπππZ2Z2Z2=3cos2 t sin2 2t dt =320(1 + cos 2t) sin2 2t dt =0320y3sin2 2t dt = π.8ÔÍ-12ÔÍ-12(рис. 7.6). Переменные друг через друга могут быть выражены, но неоднозначно и достаточно сложнойформулой. Используя криволинейный интеграл, получаем подинтегральная2π2πZZZ3342µ(G) =x dy = cos t d(sin t) = 3 cos t sin t dt = функция имеет =00∂G период π/2ÌÃÒÓÌÃÒÓy = sin3 t101ÌÃÒÓÌÃÒÓ1x1ÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 7.6ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 8ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛУсловие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Полный дифференциали криволинейный интеграл от полного дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница для криволинейных интегралов. Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Случай многосвязнойобласти, циклические постоянные.8.1. Криволинейные интегралы, не зависящие от путиПредположим, что функции P и Q определены и непрерывны в некоторой открытой области Gплоскости, существует криволинейный интегралZP dx + Q dyγпо любой кривой γ в G, причем значение интеграла зависит только от концевых точек кривой. Этозначит, что если произвольные кривые γ1 и γ2 соединяют точки A и B и целиком лежат в G, тоZZP dx + Q dy = P dx + Q dy.γ2Фиксируем точку M0 (x0 .y0 ) в G.
Тогда для любой точки M (x, y) ∈ G интегралZMF (x, y) =P dx + Q dy,(8.1)ÌÃÒÓγ1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЗнание функции F позволяет легко вычислить криволинейный интеграл по координатам концевыхточек M1 (x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ):ZM2P dx + Q dy = F (x2 , y2 ) − F (x1 , y1 ).(8.2)M1Теорема 8.1. Если функции P и Q непрерывны в области G, а интеграл (8.1) не зависит от пути,соединяющего точки M0 и M , то:а) определяемая интегралом функция F является дифференцируемой в G;б) частные производные функции F связаны с подынтегральными функциями P и Q формулами:Fx0 (x, y) = P (x, y), Fy0 (x, y) = Q(x, y).ÔÍ-1235ÔÍ-12Формула (8.2) является прямым обобщением формулы Ньютона — Лейбница для определенногоинтеграла.
Поэтому она сама называется формулой Ньютона — Лейбница, а функция F —первообразной для криволинейного интеграла. Естественно возникает вопрос о нахождениипервообразной.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓM00ÌÃÒÓÔÍ-12взятый вдоль какой-либо кривой, соединяющей M0 с M , не зависит от выбора кривой, но лишь отконцевой точки M , т.е. этот интеграл является функцией в области G. Отметим, что изменениестартовой“ точки M0 , скажем, на M00 , изменяет функцию F (x, y), добавляя к ней константу, равную”ZM0P dx + Q dy.ÔÍ-12ÔÍ-12M0ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ36J Возьмем произвольную точку M (x, y) и дадим приращения независимым переменным, т.е. выберем близкую к M точку M 0 (x + ∆x, y + ∆y). ТогдаZM 0∆F (x, y) = F (x + ∆x, y + ∆y) − F (x, y) =ZMP dx + Q dy −M0ZM 0P dx + Q dy =P dx + Q dy.M0MÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛÔÍ-12P (ξ, y) dξx(интеграл берется по отрезку горизонтальной прямой), откуда, дифференцируя определенный интеграл по переменному верхнему пределу, находимFx0 (x, y)∂=∂∆xx+∆xZP (ξ, y) dξ = P (x, y).xДвойственное соотношение Fy0 (x, y) = Q(x, y) находится аналогично. Так как при этом частные производные непрерывны, то функция является дифференцируемой. IТеорема 8.1 утверждает, что если интеграл не зависит от пути, то подынтегральное выражениепредставляет собой дифференциал некоторой функции, а именно дифференциал первообразной подынтегрального выражения.
Вообще, выражение вида P dx + Q dy называют дифференциалом, а еслиэтот дифференциал является дифференциалом некоторой функции, то его называют полным. Такимобразом, интеграл не зависит от пути, если его дифференциал является полным. Верно и обратноеутверждение.Теорема 8.2.
Если дифференциал криволинейного интеграла является полным, то криволинейныйинтеграл не зависит от пути.ZβZP dx + Q dy =γP (ϕ(t), ψ(t))ϕ0 (t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ 0 (t) dt =αZβ= 0Fx (ϕ(t), ψ(t))ϕ0 (t) + Fy0 (ϕ(t), ψ(t))ψ 0 (t) dt =ÔÍ-12J Пусть в области G выполняются соотношения P (x, y) = Fx0 (x, y), Q(x, y) = = Fy0 (x, y). Выберемпроизвольную кусочно-гладкую кривую γ, связывающую точки M1 (x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ).
Пусть криваязадается параметрически функциями ϕ, ψ, определенными на отрезке [α, β]. ТогдаÌÃÒÓÌÃÒÓF (x + ∆x, y) − F (x, y) =ÔÍ-12ÔÍ-12x+∆xZÌÃÒÓÌÃÒÓТеперь вычислим частные производные функции F (x, y). Имеем=dF (ϕ(t), ψ(t)) dt = F (ϕ(β), ψ(β)) − F (ϕ(α), ψ(α)) = F (x2 , y2 ) − F (x1 , y1 ).dtαМы получили, что интеграл равен разности значений функции F и не зависит от пути. I8.2.
Условия независимости интеграла от путиИз предыдущего пункта следует, что задачи проверки: а) является ли дифференциал полным; б)зависит ли криволинейный интеграл от пути — являются эквивалентными. Фактически это разныеформулировки одной и той же задачи.Теорема 8.3. Пусть функции P и Q определеныи непререрывно-дифференцируемы в открытойRобласти G. Тогда если криволинейный интеграл P dx + Q dy не зависит от пути, тоÌÃÒÓ∂Q∂P=.∂x∂yÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ZβÌÃÒÓÌÃÒÓαÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓJ Утверждение следует из теоремы о равенстве смешанных поизводных:∂Q∂2F∂2F∂P===.∂x∂x∂y∂y∂x∂yДля равенства смешанных производных достаточно их непрерывности, т.е. в нашем случае непрерывности частных производных Py0 и Q0x . IОбратное утверждение в полном объеме“ не выполняется.
Отметим, что независимость интеграла”от пути равносильна тому, что интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.Если функции P и Q непрерывно дифференцируемы в открытой области G и Q0x ≡ Py0 в G, толокально обеспечивается независимость интеграла от пути. Пусть M0 (x0 , y0 ) выбрана в G произвольно. Тогда некоторая окрестность Oδ (M0 ) = {M ∈ R2 |ρ(M0 , M ) < δ} целиком попадает в G. Если двекривые γ1 и γ2 связывают каждая точку M0 с некоторой точкой M1 ∈ Oδ (M0 ), то кривая γ1 −γ2 (спервапроходится кривая γ1 , а затем γ2 в обратном направлении), является контуром, целиком лежащим вOδ (M0 ).
Он, возможно, имеет самопересечения и тогда распадается на несколько контуров без самопересечений, внутренность каждого из которых целиком лежит в Oδ (M0 ) (принципиальный момент!). Применив к каждому такому контуру формулу Грина, получим, что интеграл равен 0. Но эторавносильно утверждению, что интегралы по γ1 и по γ2 совпадают.Глобально замкнутый контур может охватить область, которая не принадлежит целиком G, если Gне является односвязной. Односвязность G равносильна тому, что любой контур в G без самопереченийохватывает область, целиком попадающую в G.
Поэтому в этом случае проходят вышеприведенныерассуждения.Резюмируя, приходим к следующему результату.8.3. Циклические постоянныеРассмотрим один специальный случай неодносвязной области — проколотый круг G = {(x, y) ∈< x2 + y 2 < r2 }. Пусть функции P и Q удовлетворяют условиям теоремы 8.4 для области G.Тогда в силу обобщенной формулы Грина, примененной к кольцу ρ21 < x2 +y 2 < ρ22 < r2 , заключаем, чтоинтеграл по любой окружности имеет одно и то же значение, которое мы обозначим κ (предполагаемобход окружности против часовой стрелки).Рассмотрим некоторый контур γ без самопересечений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
