lektsii (830015), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Исчерпание можно строить, добавляяпоследовательно множества Ei и Fj . Если суммарный интеграл по множествам Ei расходится, товыбирая в первую очередь именно их, мы можем получить бесконечный предел. Значит, интеграл по∞SEi от f сходится, т.е. сходится интеграл по G от функции f+ . Отсюда делаем вывод, что и f−ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫGF|f | dx.FКроме того, введем функции f+ (x) = max{f (x), 0}, f− (x) = max{−f (x), 0}, так что f = f+ − f− и|f | = f+ + f− . Интегралы от введенных функций будем обозначать так:ZZI+ (F ) = f+ dx,I− (F ) = f− dx.FFiFk+Положим, что— это объединение тех элементов Ti разбиения, во всех точках которых f (x) > 0.
Вэлементах Ti выберем точки ξi , в которых функция f принимает минимальное значение (т.е. f+ (ξi ) = 0,ÔÍ-12Выберем некоторое исчерпание {Ek }, для которого |I|(Ek ) → +∞ при k → ∞. Мы это исчерпание можем проредить так, что на самом деле выполняется более сильное утверждение, а именно:|I|(Ek+1 ) > 3|I|(Ek ) + 2k. Обозначим Fk = Ek+1 \ Ek , k = 1, 2, .
. . Тогда |I|(Fk ) = |I|(Ek+1 ) − |I|(Ek ) >> 2|I|(Ek ) + 2k. Для каждого номера k либо I+ (Fk ) превышает I− (Fk ), либо наоборот. Пусть дляопределенности I+ (Fk ) > I− (Fk ). Тогда I+ (Fk ) > 0.5|I|(Fk ) > |I|(Ek ) + k. Пусть Fk+ обозначаетподмножество всех точек x ∈ Fk , в которых f (x) > 0. Тогда I(Fk+ ) = I+ (Fk ) > |I|(Ek ) + k. ЕслиDk = Ek ∪ Fk+ , то I(Dk ) = I(Ek ) + I(Fk+ ) > I(Fk+ ) − |I|(Ek ) > k.В случае, если I+ (Fk ) 6 I− (Fk ), мы полагаем Dk = Ek ∪ Fk− , где Fk− — множество всех точекx ∈ Fk , в которых f (x) < 0.
Тогда оценка будет иметь вид I(Dk ) 6 −k. В любом случае получаемрасходящуюся последовательность I(Dk ). Множества Dk удовлетворяют соотношениям Ek ⊂ Dk ⊂⊂ Ek+1 и потому являются исчерпанием множества G.Для завершения доказательства осталось устранить одну неточность. Дело в том, что указанныенами множества Fk+ (или Fk− ) могут не быть измеримыми по Жордану. Поэтому вместо них надовыбирать близкие к ним множества. Отметим, что функция f+ интегрируема на множестве Fk . Поэтому можно выбрать настолько мелкое разбиение Ti для Fk , что интегральная сумма для f+ будетотличаться от значения интеграла на малую величину.
Это значит, что независимо от выбора точекξi в TiXf+ (ξi )µ(Ti ) − I+ (Fk ) 6 ε.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12|I|(F ) =ÌÃÒÓÌÃÒÓf dx,ÔÍ-12ÔÍ-12I(F ) =ZÌÃÒÓÌÃÒÓZÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ21если Ti не принадлежит Fk+ ). ТогдаXXI+ (Fk+ ) >f+ (ξi )µ(Ti ) >f+ (ξi )µ(Ti ) > I+ (Fk ) − ε.Ti ⊂Fk+iОсталось предварительно выбрать ε так, чтобы было I+ (Fk+ ) > 0, например, ε = 0.5I+ (Fk ).
I5.3. Расстановка пределов в несобственных интегралахПоскольку несобственный интеграл строится как двукратный переход к пределу (сперва от интегральной суммы к интегралу, а затем к неограниченному множеству), при переходе к повторномуинтегралу могут появиться трудности.RRРассмотрим простейший пример двойного интегралаf (x, y) dxdy по прямоугольной неограниGEkугольников Ek = [a, b]×[c, c + k]. ТогдаZZlimk→∞c+kZZbZ∞ Zbf (x, y) dxdy = limdy f (x, y) dx = dy f (x, y) dx.k→∞cEkacaÔÍ-12ченной области G = [a, b]×[c,R R+∞).
Это значит, что для любого исчерпания Ek области G существуетf dxdy. В качестве исчерпания рассмотрим последовательность прямопредел последовательностиÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫZblimk→∞c+kZZZdxf (x, y) dy =f (x, y) dxdy.acGДля получения нужного равенства требуется перейти к пределу под знаком интеграла, т.е. нужновыяснить, при каких условиях верно равенствоϕ(x, T ) dx =T →+∞alim ϕ(x, T ) dxT →+∞aRRОсновная проблема состоит в том, что из сходимости двойного интегралаf (x, y) dxdy не следуетG+∞Rсходимость несобственного определенного интегралаf (x, y) dy. Он вполне может расходиться приcнекоторых значениях x. Поэтому возникает вопрос о сходимости внешнего интеграла.
Если этипроблемы разрешаются, то двойной интеграл будет равен соответствующему повторному интегралу.О переходе к пределу под знаком интеграла скажем позже. Отметим лишь, что проблемы с существованием повторного интеграла снимаются, если интеграл понимать в более широком смысле какинтеграл Лебега.5.4. Замена переменных в несобственном интегралеÌÃÒÓÌÃÒÓlimZbÔÍ-12ÔÍ-12ZbÌÃÒÓÌÃÒÓПри другом порядке переменных:Теорема 5.6. Пусть Rϕ : F → G — диффеоморфизмоткрытого множества F ⊂ Rn на открытоеRnмножество G ⊂ R . Если f (x) dx сходится, то и (f ·ϕ)| det ϕ0 | dt сходится и значения этих интеграловсовпадают.FGПример 5.1.
Рассмотрим интегралZZe−(x2 +y 2 )dxdy.ÔÍ-12ÔÍ-12Для несобственных интегралов верна формула замены переменных.R2ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-122e−x dx =√π.−∞Пример 5.2. Задача Исследуйте на сходимостьZZdxdy.|x|p + |y|p|x|+|y|>15.5. Интегралы, зависящие от параметраПусть функция f (x, t), x ∈ Rn , t ∈ Rm , задана на множестве E ⊂ Rn+m . Пусть для каждого t0сечение Ex (t0 ) = E ∩ {t = t0 } = {(x, t) ∈ E : t = t0 } является измеримым множеством, на которомфункция f (x, t0 ) интегрируема. Тогда на множестве Et , являющемся проекцией E в Rm определенафункцияZF (t) =(5.1)f (x, t) dx,Ex (t)Собственные интегралы с параметром. Пусть множество Ex представляет собой ограниченное измеримое множество.
Тогда интегралZf (x, t) dxявляется собственным. Если Et — это отрезок [a, b], то множество E является измеримым и потомудля ограниченной непрерывной функции f (x, t) определен интегралZf (x, t) dxdt,EÔÍ-12ExÌÃÒÓкоторую называют интегралом, зависящим от параметра. При n = 1 этот интеграл называютопределенным, иначе — кратным. Если для каждого t ∈ Et интеграл (5.1) является собственным, тоинтеграл с параметром называют собственным, иначе — несобственным.В теории интегралов, зависящих от параметра, важнейший вопрос состоит в том, когда операции,выполняемые по переменной t (интегрирование, дифференцирование, переход к пределу), могут переставляться с интегрированием по переменной x. Это достаточно большой раздел, и мы не претендуемна его подробное изложение. Мы остановимся на частном случае, когда t ∈ R, а все множества Ex (t)совпадают, т.е.
E = Ex ×Et , Ex ⊂ Rn , Et ⊂ R.ÔÍ-12ÌÃÒÓZ∞ÌÃÒÓ22ÌÃÒÓÔÍ-12Вывод:ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫZbZf (x, t) dxdt =dtaEZExdxExf (x, t) dt.aС обозначением (5.1) получаемZbZF (t) dt =aEx bZ f (x, t) dt dx.aТаким образом, интегрирование по параметру перестановочно с другим интегралом.Пусть функция f (x, t) имеет непрерывные частные производные. Если ϕ(x, t) = ft0 (x, t), тоZtf (x, t) = f (x, a) +ϕ(x, t) dt.ÔÍ-12ÔÍ-12ZbZf (x, t) dx =ÌÃÒÓÌÃÒÓкоторый легко сводится к повторному:aÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ23Применяя к функции ϕ(x, t) правило перестановки интегралов, получимZtadxϕ(x, t) dx =dtZtZZExExaf (x, t) dx −(f (x, t) − f (x, a)) dx =ϕ(x, t) dt =ZZZExExf (x, a) dx.ExДифференцируя полученное соотношение по t, получимZZZd0ft (x, t) dx = ϕ(x, t) dx =f (x, t) dxdtExExилиddtÌÃÒÓExZZf (x, t) dx =∂f (x, t) dx.∂tExExДля непрерывнодифференцируемой функции операция дифференцирования по параметру может бытьвнесена под интеграл (перестановочна с интегралом).Остановимся на вопросе предельного перехода в интеграле с параметром, т.е.
на справедливостиформулыZbZb(5.2)lim f (x, t) dx =lim f (x, t) dx.t→t0t→t0aaf (x, t) dxaсходится. Пусть существует пределlim f (x, t) = ϕ(x).t→t0Формула (5.2) означает перестановку двух пределов местами: по t и по x при переходе от интегральнойсуммы к интегралу. Основанием для такой перестановки является равномерная сходимость.Определение 5.3.
Пусть функция f (x, t) определена на множестве G = X×O(t0 ). Говорят, чтоf (x, t) равномерно сходится к ϕ(x) на множестве X при t → t0 , еслиlim sup |f (x, t) − ϕ(x)| = 0.t→t0 x∈XОбозначение: f (x, t) =⇒ ϕ(x), t → t0 .ÔÍ-12ÔÍ-12ZbÌÃÒÓÌÃÒÓПусть для каждого значения t из окрестности O(t0 ) параметра t0 интегралÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫРавномерная сходимость — более жесткое требование, чем сходимость f (x, t) к ϕ(x) для каждогозначения x ∈ X.
На языке ε-δ“ равномерная сходимость означает, что выбор δ не зависит от x.”В повторном пределеlim lim f (x, y)x→x0 y→y0пределы можно переставить местами в случае, когда один из них является равномерным (например,если f (x, y) =⇒ ϕ(x) при y → y0 ).ÌÃÒÓÌÃÒÓXНесобственные интегралы с параметром. Рассмотрим функцию f (x, t), определенную намножестве [c, +∞)×T . Пусть несобственный интеграл+∞Zf (x, t) dx(5.3)сходится для каждого t ∈ T .ÌÃÒÓcÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12O(x0 )ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ24Определение 5.4.
Говорят, что несобственный интеграл (5.3) сходится на множестве Tравномерно, если +∞Zf (x, t) dx → 0sup t∈T Cпри C → +∞.ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫÔÍ-12Zb+∞+∞ZZZbdtf (x, t)dx =dx f (x, t)dt.accaТеорема 5.8. Если функция f (x, t) имеет кусочно-непрерывную частную производную ft0 (x, t) вобласти [c, +∞]×[a, b], интегралы (5.3) и+∞Z∂f (x, t) dx∂t(5.4)cсходятся на множестве T = [a, b] равномерно, тоddt+∞+∞ZZ∂f (x, t)dx =f (x, t)dx.∂tc(5.5)caccaCCпри C → +∞, теорема 5.7 доказана.В условиях теоремы 5.8, обозначив ft0 (x, t) = ϕ(x, t), получимZtf (x, t) = f (x, a) +ÔÍ-12J Так как b b+∞+∞Z ZZZC ZbZZb ZC dtf (x, t)dx − dx f (x, t)dt = dtf (x, t)dx − dt f (x, t)dx = accaacac b +∞ +∞+∞Z Zb ZZZZC=f (x, t)dx − f (x, t)dx dt 6 f (x, t) dx dt 6 (b − a) sup f (x, t) dx → 0t∈[a,b] ÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 5.7.
Если интеграл (5.3) сходится равномерно на множестве T = [a, b], тоÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓРавномерная сходимость позволяет менять порядок операций по переменным.ϕ(x, t) dt.ÌÃÒÓÌÃÒÓaПоэтому, применяя теорему 5.7, получим+∞+∞+∞+∞+∞ZZZtZZtZZf (x, t) dx =f (x, a) dx +dx ϕ(x, t) dt =f (x, a) dx + dtϕ(x, t) dx.cccacacddt+∞+∞ZZf (x, t) dx =ϕ(x, t) dx,ccчто равносильно (5.5). IУсловие равномерной сходимости несобственного интеграла необходимо проверять при каждой перестановке операций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
