lektsii (830015), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Фиксируем абсциссы xi . ТогдаcÌÃÒÓZdÌÃÒÓÌÃÒÓZbÔÍ-12в котором для упрощения опускают скобки и записывают так:f (xi , y) dy =ÔÍ-12ÌÃÒÓ7ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВкакой-либо функции f (x, y), определенной в G.Обозначим через m минимальное значение функции ϕ, через M — максимальное значение функцииψ. Тогда область G целиком попадает в прямоугольник P = [a, b]×[m, M ]. Доопределим функцию fво всем прямоугольнике, полагая f (x, y) = 0 на множестве P \ G (рис. 2.2).
Доопределенную функциюобозначим fˆ. Эта функция интегрируема на P , так как множество ее точек разрыва — это множествоyMÌÃÒÓÌÃÒÓGÔÍ-12mOab xРис. 2.2ÌÃÒÓÔÍ-12GÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12точек разрыва функции f , дополненное некоторым подмножеством границы области G. Все вместебудет иметь лебегову меру 0.Применим полученные ранее результаты к прямоугольнику P и функции fˆ. Получим:ZZZZf (x, y) dxdy =fˆ(x, y) dxdy =ZbZMdxaPGfˆ(x, y) dx =mψ(x)ZZbdxaf (x, y) dy.ϕ(x)Мы опять получили повторный интеграл, но в этот раз пределы интегрирования внутреннего интеграла не являются постоянными, а зависят от переменной внешнего интеграла.
Соответствующиефункции называют: ϕ — функция входа, ψ — функция выхода. Графики этих функций — это, соответственно, нижняя и верхняя части границы области G.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ8ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВFFEЗамечание 2.2.R Если функция f имеет точки разрыва, то может получиться так, что внутреннийинтеграл ϕ(x) = f (x, y) dy (или двойственный ему) не будет существовать для некоторых значеFний x.
Такие точки могут быть устранимыми точками разрыва ϕ(x) и тогда их наличие не влияетна существование внешнего интеграла. Либо эти точки являются неустранимыми точками разрывафункции ϕ(x), но по неявному утверждению теоремы таких точек мало (лебеговой меры 0 в Rn ).Общий случай сводится к рассмотренному в теореме 2.1. В самом деле,ZZZf (x, y) dxdy = dxf (x, y) dy,GEF (x)где E — проекция G ⊂ Rn+m на пространство Rn , F (x0 ) — сечение множества G гиперплоскостьюx = x0 .Остановимся на практическом применении полученных результатов к вычислению кратных интегралов.
Остановимся на случаях двойного и тройного интегралов.Пример 2.1. Рассмотрим интегралZZ(x + y)2 dxdy16x2 +y 2 64ÔÍ-12Двойной интеграл. Мы уже рассмотрели случай, когда область ограничена графиками двухфункций одного переменного и, возможно, отрезками двух вертикальных прямых (рис. 2.2). Такуюобласть мы будем называть стандартной. В общем случае область может быть разделена на несколько стандартных и интеграл вычисляется с использованием свойства аддитивности интеграла.ÌÃÒÓ2.3. Техника вычисленияÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓEÌÃÒÓÔÍ-12GÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 2.1.
Пусть G = E×F , где E ⊂ Rn , F ⊂ Rm . Если функция f (x, y), x ∈ E, y ∈ F ,интегрируема на множестве G, тоZZZZZf (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy = dy f (x, y) dx.ÌÃÒÓÔÍ-12Подобно тому, как двойной интеграл сводится к повторному, состоящему из двух определенныхинтегралов, кратный n-мерный интеграл сводится к повторному, содержащему n определенных интегралов. Решающей здесь является следующая теорема.ÔÍ-12ÔÍ-122.2. Общий случайÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Z−1dxÌÃÒÓ4−x2√f (x, y) dy +√dxdxf (x, y) dy.√11−x2− 4−x2y5yG3G2G1G1G41G33511 32 x5 xG25Рис. 2.3Рис. 2.4Область интегрирования может быть формально стандартной, но функция входа (или функциявыхода) составлена из нескольких функций, определенных на смежных интервалах.
И в этом случаедля вычисления интеграла нужно исходную область разделить на несколько простых.Пример 2.2. В качестве области рассмотрим прямоугольник P со сторонами: 2x − y = 5, 2x − y =−5, x + 2y = 5, x + 2y = −5 (рис. 2.4). Графики функций входа и выхода составлены из двух отрезковкаждый. Чтобы вычислить интеграл, можно провести две вертикальные прямые x = −1 и x = 1. Врезультате получимZZZZZZZZf (x, y) dxdy =f (x, y) dxdy +f (x, y) dxdy +f (x, y) dxdy =PG1G2−3G32x+5Z−0.5x+2.5ZZ1f (x, y) dy +−0.5x−2.5dx−1−0.5x+2.5ZZ3f (x, y) dy +−0.5x−2.5dx1f (x, y) dy.2x−5Тройной интеграл. Применяем общую теорему 2.1. При этом E и F могут иметь, соответственно, размерности 1, 2 или 2, 1.
Рассмотрим эти два случаяПусть в R3 имеется множество G. Спроектируем его на ось Oz, получим отрезок [a, b]. Для каждогоz ∈ [a, b] построим сечение тела G плоскостью, параллельной координатной плоскости Oxy, котороезависит от выбранного z, обозначим его через S(z). Тогдаf (x, y, z) dxdydz =aGZZdzf (x, y, z) dxdy.S(z)Внутренний двойной интеграл может быть превращен в повторный способом, описанным выше.Z1ZZZf (x, y, z) dxdydz =GZZdz0f (x, y, z) dxdy.ÔÍ-12Пример 2.3. Рассмотрим интеграл по области G, ограниченной поверхностями x2 +y 2 −z 2 +2z = 1и z = 0.Описанное тело представляет собой конус с вершиной в точке (0, 0, 1) и основанием, лежащим вплоскости Oxy. Оно описывается неравенствами x2 + y 2 6 (z − 1)2 и z > 0. Проекция на ось Oz — этомножество тех значений z, при которых система указанных неравенств разрешима относительно x иy.
Убеждаемся, что проекция есть отрезок [0, 1]. Плоское множество S(z) описывается неравенствомx2 + y 2 6 (z − 1)2 , в котором z играет роль параметра. Таким образом,ÌÃÒÓZbZZZÔÍ-12Z−1= dxx2 +y 2 6(z−1)2ÌÃÒÓÔÍ-12f (x, y) dy +√Z4−x2ÔÍ-12ÌÃÒÓdx√Z2Z−1− 4−x2G44−x2ÌÃÒÓÔÍ-12f (x, y) dy +√ÔÍ-12ÌÃÒÓZ1√−1− 4−x21−x2−ZZ1ZG3G2ÌÃÒÓ−2√ÌÃÒÓÔÍ-12G1GÔÍ-12по кольцу G.
Прямыми x = −1 и x = 1 кольцо разделяется на четыре стандартные области G1 , G2 ,G3 , G4 (рис. 2.3). ПоэтомуZZZZZZZZZZf (x, y) dxdy =f (x, y) dxdy +f (x, y) dxdy +f (x, y) dxdy +f (x, y) dxdy =0ÔÍ-12ÌÃÒÓ9ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Внутренний интеграл берется− 1|. В данном случаеp по окружности с переменным радиусом |zp22функцией входа будет ϕ(x) = − (1 − z) − x , а функцией выхода — ψ(x) = (1 − z)2 − x2 . Окончательный результат:√(1−z)2 −x21−zZZZZZ1Zf (x, y, z) dy.f (x, y, z) dxdydz = dzdx√00G22ÔÍ-12Второй способ состоит в том, чтобы спроектировать тело на координатную плоскость, например,Oxy.
Проекция представляет собой некоторое плоское множество S. Тогда согласно теореме 2.1ZZZZZZf (x, y, z) dz,f (x, y, z) dxdydz =dxdyGSI(x,y)где I(x, y) — сечение тела G прямой, параллельной координатной оси Oz. В простейшем случае I(x, y)— интервал, левый (нижний) конец которого в зависимости от x и y представляет собой функцию входаϕ(x, y), а правый (верхний) — функцию выхода ψ(x, y). Получаем представлениеZZZψ(x,y)ZZZf (x, y, z) dxdydz =Gf (x, y, z) dz.dxdySϕ(x,y)Пример 2.4.
Для интеграла из предыдущего примера проекцией на плоскость Oxy будетp круг222+ y 6 1. Каждая точка (x, y) круга определяет сечение конусаp по отрезку 0 6 z 6 1 − x + y ,22т.е. функция входа ϕ(x, y) ≡ 0, а функция выхода ψ(x, y) = 1 − x + y . Поэтомуx2ZZf (x, y, z) dxdydz =Gdxdyx2 +y 2 61√22Zx +yZ1f (x, y, z) dz = dx00√1−Z1−x2dy√− 1−x2√22Zx +yf (x, y, z) dz.0ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12В конечном счете за счет изменения порядка переменных двойной интеграл сводится к повторномудвумя способами, а тройной — шестью.ÔÍ-121−ZZZÌÃÒÓЕсли множество I(x, y) для любой пары (x, y) ∈ S представляет собой интервал (отрезок), то телоG называют стандартным. В общем случае тело можно разделить на несколько частей, являющихсястандартными, так же, как и в плоском случае. Деление тела на части может понадобиться и в случае,когда оно стандартное, но функции входа и выхода являются составными, т.е.
задаются различнымиформулами в разных частях области определения.ÔÍ-12ÌÃÒÓ(1−z) −xÌÃÒÓÌÃÒÓ−ÔÍ-12ÌÃÒÓ10ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 3ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХВ КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЗамена переменных в кратном интеграле. Случай двойного и тройного интегралов. Вычислениедвойного интеграла в полярных координатах. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических исферических координатах.сводится к некоторой области G. Рассмотрим двойной интеграл от функции f (x, y) по области G.Если преобразование является простейшим — линейным (аффинным): ϕ(u, v) = αu + βv, ψ(u, v) =γu + νv, — то область G, получающаяся в результате этого преобразования, будет параллелограммом.Функция f (x, y) может быть выраженачерез переменные u и v: f (x, y) = f (ϕ(u, v), ψ(u, v)), и мыRRмогли бы составить интегралP f (ϕ(u, v), ψ(u, v) dudv по исходному прямоугольнику.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
