lektsii (830015), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если его внутренность не содержит выколотой точки O(0, 0), то к нему применима формула Грина и соответствующий интеграл равен 0. Еслиже он охватывает точку O, то его значение равно ±κ, знак определяется направлением обхода.Если контур в G имеет самопересечения, то его можно представить как сумму нескольких контуровбез самопересечений. Тогда значение интеграла равно nκ, где n — некоторое целое число. Это числопоказывает кратность обхода контуром особой точки O с учетом направления обхода. Например,для контура на рис. 8.1 значение интеграла равняется 2κ.ÌÃÒÓТеорема 8.4.
Если функции P и Q определены и непрерывно дифференцируемы в односвязнойобласти G, причем Q0x (x, y) = Py0 (x, y) всюду в G, то дифференциал P dx + Q dy является полным и,следовательно, соответствующий криволинейный интеграл не зависит от пути.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ37ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛxРис. 8.1Рис. 8.2Величина κ, играющая такую важную роль в значении интеграла по замкнутому контуру, называется циклической постоянной.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12OÌÃÒÓyÔÍ-12ÔÍ-12R2 | 0ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ38Наш частный случай распространяется на общий. Пусть область G ограничена конечным числом кусочно гладких контуров, некоторые из которых, возможно, вырождаются в точку (рис. 8.2).Вычислим интеграл по каждому внутреннему контуру границы, обходя его против часовой стрелки.Получим набор значений κ1 , .
. . , κm — циклических постоянных для области G. Значение любогоинтеграла по замкнутому контуру в G может быть представлено в виде n1 κ1 + . . . + nm κm . Числаni показывают кратность обхода каждого внутреннего контура границы. В частности, обобщеннаяформула Грина равносильна утверждению, что интеграл по внешнему контуру области равен суммевсех циклических постоянных.8.4.
Трехмерный случайНа трехмерный случай переносятся утверждения теорем 8.1 и 8.2. Если функции P , Q, R определены и непрерывны в трехмерной открытой области G, то интегралZP dx + Q dy + R dzне зависит от пути в области G, если и только если выражение P dx + Q dy + R dz является дифференциалом некоторой функции F (x, y, z), т.е., по нашей терминологии, полным дифференциалом.Функция F (x, y, z) определяется с точностью до постоянной и равна значению интегралаZMÔÍ-12γÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ∂Q∂2F∂P==,∂x∂x∂y∂y∂R∂2F∂P==,∂x∂x∂z∂z∂R∂2F∂Q==.∂y∂y∂z∂zЭти равенства являются необходимыми. Они достаточны для того, чтобы дифференциал былполным, если на область наложить некоторые ограничения, аналогичные односвязности. Но для получения нужного результата необходим трехмерный аналог формулы Грина.Замечание. Функция F , для которой выражение P dx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом, является решением системы дифференциальных уравнений в частных производных∂F= P,∂x∂F= Q,∂y∂F= R,∂zÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓкоторая, как можно показать, имеет решение локально при выполнении необходимых условий.
Указанное соображение представляет собой второй способ доказательства критерия полноты дифференциала.ÌÃÒÓÔÍ-12от некоторой фиксированной точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до точки M (x, y, z).Если Fx0 = P , Fy0 = Q, Fz0 = R, то по теореме о равенстве смешанных производных получаемÔÍ-12ÌÃÒÓM0ÌÃÒÓÌÃÒÓP dx + Q dy + R dzÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 9ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛОдносторонние и двусторонние поверхности. Поверхностный интеграл 1-го рода и его вычисление.Свойства интеграла 1-го рода.
Поверхностный интеграл 2-го рода и его вычисление. Формула Стокса. Формула Остроградского — Гаусса.Изучение поверхностных интегралов начнем с одной практической задачи. Пусть требуется найтимассу тонкой искривленной пластинки S, в каждой точке которой задана поверхностная плотностьρ. Как и ранее, пластинку делим на мелкие части ∆Si , а затем составляем интегральную суммуσ=mXρi µ(∆Si ),i=1где µ(∆Si ) — площадь поверхности ∆Si , а ρi — средняя плотность i-й части, в качестве каковойможно взять значение в какой-либо точке ∆Si .
Точное значение есть результат предельного переходав интегральной сумме при неограниченном измельчении разбиения.Это рассуждение требует осмысления понятия площадь поверхности“.”ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓy = ψ(u, v),z = χ(u, v).ÌÃÒÓопределенными в двумерной области G и непрерывно дифференцируемыми. Пусть отображение G →S, заданное этими функциями является взаимно однозначным. Тогда параметры u и v можно трактовать как координаты на поверхности S.Разобъем область G прямоугольной сеткой на части ∆Gi . Тогда каждому прямоугольнику разбиения соответствует элемент разбиения ∆Si поверхности S (рис. 9.1). Так как функции ϕ, ψ, χнепрерывно дифференцируемы, поверхность S имеет в каждой точке касательную плоскость, котораяможет быть задана парой касательных векторов (ϕ0u , ψu0 , χ0u ) и (ϕ0v , ψv0 , χ0v ).
Можно показать (с помощьютеоремы о неявной функции), что если указанные векторы не коллинеарны, то локально отображениеR2 → R3 взаимно-однозначно. Естественно предполагать, что это требование выполняется всюду в G.rv DSiruÌÃÒÓDSiРис. 9.1В каждом элементе разбиения ∆Gi области G выберем точку (ui , vi ).
Пусть ∆Ŝi — проекцияэлемента ∆Si на плоскость πi , касающуюся S в точке Mi с криволинейными координатами (ui , vi )(т.е. точке, которая является образом точки (ui , vi ) при отображении G → S). Составим суммуXσ=µ(∆Ŝi )(9.2)ÔÍ-12ÔÍ-12(9.1)ÔÍ-12ÔÍ-12Площадь поверхности основывается на предположении, что в малом поверхность почти плоская“.”Поверхность может быть задана параметрически как отображение R2 → R3 . Пусть поверхность Sзадается тремя функциями x = ϕ(u, v),ÌÃÒÓÌÃÒÓ9.1.
Площадь поверхностиiÌÃÒÓÔÍ-1239ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12по всем элементам разбиения. Отметим, что граница элемента ∆Ŝi состоит из дуг четырех непрерывнодифференцируемых кривых, являющихся образами границ прямоугольника. Можно показать, что вэтом случае этот элемент является измеримым множеством и потому сумма составлена корректно1 .Если сумма (9.2) имеет предел, когда диаметр разбиения стремится к 0, то этот предел называютплощадью поверхности S.В качестве точки (ui , vi ) возьмем нижний левый угол прямоугольника ∆Gi . Наряду с проекцией∆Ŝi элемента ∆Si на касательную плоскость рассмотрим лежащий в этой плоскости параллелограмм,образованный касательными векторами r u = (ϕ0u , ψu0 , χ0u ) и r v = (ϕ0v , ψv0 , χ0v ).
Этот параллелограммявляется линеаризацией криволинейного четырехугольника ∆Ŝi и отличается от последнего на величину большего порядка малости, чем площадь каждого из них. Поэтьому в сумме (9.2) можноплощади криволинейных четырехугольников заменит ь площадями параллелограммов. Но площадьпараллелограмма вычисляется через векторное произведение. Получим следующую сумму:Xσ̂ =|r u (ui , vi )×r v (ui , vi )|∆ui ∆vi .ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ40ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 9. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛGкоторый и равен площади поверхности S.
Точный результат следующий.Теорема 9.1. Пусть поверхность S задана параметрически уравнениями (9.1) при помощи непрерывно дифференцируемых функций с областью определения G, причем ранг матрицы Якоби отображения в каждой точке в G равен 2 (т.е. максимален). Тогда для поверхности S определена площадьµ(S), которая может быть вычислена по формуле (9.3).Пример 9.1. Рассмотрим сферу радиуса R.
При помощи сфериченских координат она мложетбыть задана уравнениями x = R sin ϑ cos ϕ,y = R sin ϑ sin ϕ,Интересующие нас векторы имеют видттr ϑ = R(cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, − sin ϑ) ,r ϕ = R(− sin ϑ sin ϕ, sin ϑ cos ϕ, 0) .Поэтому площадь сферы равнаZ2πZπZ2π|r ϑ ×r ϕ | dϑ =dϕµ(S) =00Zπdϕ02R sin ϑdϑ = 2πR02Zπsin ϑdϑ = 4πR2 .0Замечание. Если поверхность представляет собой график некоторой функции двух переменныхz = f (x, y), то в качестве координат на поверхности удобно взять пространственные координаты x иy. В этом случае векторы r x и r y имеют вид r x = (1, 0, fx0 ), r y = (0, 1, fy0 ).
Их векторное произведениеравноr x ×r y = (−fx0 , −fy0 , 1).G1Если G не является прямоугольником, то на границе G элементы разбиения имеют криволинейные граничные дуги.Поэтогму строгие рассуждения требую/т доказать, что при непрерывно дифференцируемом отображении измеримоеплоское множество перейдет снова в измеримое.ÔÍ-12Учитывая это заключаем, что если функция f непрерывно дифференцируема, то ее график над измеримой плоской областью G имеет площадьZZ qS=(fx0 )2 + (fy0 )2 + 1 dxdy.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓz = R cos ϑ.ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12(9.3)ÌÃÒÓÌÃÒÓПри переходе к пределу мы получим двойной интегралZZ|r u (u, v)×r v (u, v)| dudv,µ(S) =ÔÍ-12ÔÍ-12iÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ419.2.
Поверхностный интегралПоверхностный интеграл определяем в соответствии с примером, рассмотренным в начале лекции.Пусть поверхность S имеет площадь (т.е. измерима по Жордану). Пусть на поверхности S задананекоторая непрерывная функция f . Разобъем поверхность S на измеримые элементы ∆Si . Выберем вкаждом таком элементе точку Ni и составим суммуXσ(T ) =f (Ni ) µ(∆Si ),iкоторую называют интегральной. Если интегральная сумма стремится к некоторому пределу I(G),когда диаметр разбиения стремится к 0, и если этот предел не зависит от выбора точек Ni , то егоназывают поверхностным интегралом и обозначаютZZf (M ) ds.(9.4)ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 9. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛSGЗамечание.
Отметим важный частный случай, когда поверхность S является графиком непрерывно дифференцируемой функции z = ϕ(x, y). В этом случае формула (9.5) сводится к следующей:ZZZZqf (M ) ds =f x, y, ϕ(x, y) 1 + (fx0 )2 + (fy0 )2 dudv.По своим свойствам поверхностный интеграл близок к криволинейному интегралу 1-го рода, являясь, по существу, его двумерным аналогом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
