lektsii (830015), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В этом случае потенциальность силового поля означает отсутствие внешних сил, а независимостьлинейного интеграла от пути означает, что от пути не зависит работа потенциального силового поля.Потенциальное поле вполне характеризуется своим потенциалом. Так как потенциал определяетсяс точностью до постоянной, для его полной определенности достаточно знать его значение в некоторойточке. В случае неограниченной области потенциал часто выбирают так, что он равен 0 в ∞.
Поверхности уровня потенциала называют эквипотенциальными поверхностями. Если векторноеполе — это поле сил, то при движении по эквипотенциальной поверхности поле не производит работы.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓrot rot a = ∇×(∇×a) = ∇(∇a) − ∇2 a = grad div a − ∆a,ÔÍ-12ÔÍ-12получаем следующеее соотношениеÌÃÒÓÌÃÒÓa×(b×c) = (ac)b − (ab)cÌÃÒÓÔÍ-12Из известной формулы для двойного векторного произведения:ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ50ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ11.5. Гармоническое полеdiv grad u = div a = 0,т.е. скалярный потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа ∆u = 0. Такие функции называютгармоническими. Название поля берет свое начало из названия уравнения или типа функции.Отметим важнейшие свойства гармонических функций.
Во-первых, верна теорема о среднем:тройной интеграл от гармонической функции по шару, деленный на объем этого шара, равен значениюÔÍ-12Если векторное поле a является одновременно и потенциальным, и соленоидальным, то его называют гармоническим или лапласовым.Будучи потенциальным, это поле (хотя бы локально) может быть описано скалярным потенциаломu. Соленоидальность поля означает, чтоÌÃÒÓЭта система имеет заведомо неединственное решение даже с точностью, например, до постоянной.Если мы выберем пару функций ξz и ξy , удовлетворяющих первому уравнению, то второе и третьеуравнения можно рассматривать как систему двух уравнений в частных производных относительнофункции ξx .
Как и в случае восстановления первообразной полного дифференциала, необходимо выполнение дополнительного условия для существования решения — равенства возникающих смешанныхпроизводных. В конечном счете это ограничение сводится к условию div a = 0.Эти рассуждения показывают, что локально условие div a = 0 является достаточным для соленоидальности a.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Условие div a является необходимым, чтобы поле a было соленоидальным. Оно является достаточным при дополнительных ограничениях на область G определения поля. Именно, нужно, чтобыобласть была объемно односвязной, т.е. любая замкнутая поверхность в G ограничивала область,целиком лежащую в G.Чтобы доказать утверждение, запишем уравнение rot ξ = a в координатах:∂ξy∂ξz−= ax ,∂y∂z∂ξx ∂ξz−= ay ,∂z∂x∂ξx ∂ξy−= az .∂x∂yÌÃÒÓÌÃÒÓРис.
11.1ÌÃÒÓÔÍ-12поле магнитной напряженности. Эта составляющая электромагнитного поля отличается тем, что неявляется порождением статических элементов типа статического электрического заряда. Отсутствиемагнитных зарядов в природе с математической точки зрения есть свойство соленоидальности полямагнитной напряженности.Для соленоидального поля a рассмотрим векторную трубку с направляющей γ (рис.
11.1). ПустьS1 и S2 два (трансверсальных) сечения трубки. В результате мы получаем трехмерную область G,ограниченную боковой поверхностью трубки и сечениями S1 и S2 . Поток через эту поверхность равен 0.К тому же равен 0 и поток через боковую поверхность трубки, так как в точках боковой поверхностивекторное поле ортогонально нормали (иначе говоря, касается поверхности). С учетом ориентацииприходим к заключению, что поток через любое сечение векторной трубки одинаков (постоянен). Этупостоянную величину называют интенсивностью векторной трубки.ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ51ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓгармонической функции в центре шара. Иными словами, значение функции в центре шара (сферы)совпадает со средним значением функции в шаре (на сфере).Из теоремы о среднем немедленно следует, что гармоническая функция не может иметь локальных экстремумов, так как тогда значение в точке экстремума должно быть больше любого близкогозначения, а следовательно, и больше среднего.
Векторные линии гармонического поля не могут бытьзамкнутыми, так как циркуляция по таким линиям должна быть ненулевой. Они всегда начинаютсяи заканчиваются на границе области.11.6. Разложение поля на потенциальное и соленоидальноеЛюбое поле a может быть представлено в виде суммы двух полей a = a1 + a2 , одно из которых,скажем, a1 , является потенциальным, а второе — соленоидальным. Действительно, попробуем найтитакое потенциальное поле a1 , которое удовлетворяет уравнению(11.1)div a1 = div a.Так как a1 потенциально, оно может быть описано скалярным потенциалом u. Сводя уравнениек этому потенциалу, получим уравнение ∆u = div a, которое называют уравнением Пуассона.
Изкурса уравнений математической физики следует, что это уравнение всегда имеет решения. Такимобразом, и уравнение (11.1) имеет решения. Тогда векторное поле a2 = a − a1 удовлетворяет соотношению div a2 = 0, т.е. является соленоидальным.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ52ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12В области G эти кривые (их называют координатными) описываются уравнениямиx=ϕ(u+t,v,w),x=ϕ(u,v+t,w),000000 x = ϕ(u0 , v0 , w0 + t),y = ψ(u0 + t, v0 , w0 ),y = ψ(u0 , v0 + t, w0 ),y = ψ(u0 , v0 , w0 + t),lu :lv :lw :z = χ(u0 + t, v0 , w0 ),z = χ(u0 , v0 + t, w0 ),z = χ(u0 , v0 , w0 + t),ÌÃÒÓгде x, y, z — декартовы координаты точки в заданной области G, u, v, w — криволинейные координаты.Тогда в каждой точке M ∈ G определены кривые, которые в области G0 описываются уравнениями: u = u0 + t, u = u0 , u = u0 ,v = v0 ,v = v0 + t,v = v0 ,lu :lv :lw :w = w0 ,w = w0 ,w = w0 + t.ÔÍ-12Все выкладки теории поля до сих пор делались в декартовой системе координат.
Однако на практике могут использоваться и другие системы координат, связанные с течением процесса или развитиемсистемы. Декартова система координат выгодна тем, что в ней наиболее просто записываются формулы для расстояний и углов.
Может оказаться, что более важным являются не расстояния и углы,а вид уравнений, описывающих систему. Тогда вместо декартовой системы координат выбираетсякакая-то другая.Под криволинейными координатами в области G мы понимаем некоторое отображение областиG0 ⊂ R3 в G. Точками“ в G0 являются тройки чисел (строки длины 3). Если отображение G0 → G”является взаимно однозначным, то каждой точке M ∈ G будет поставлено в соответствие тройкачисел, составляющих прообраз точки при заданном отображении.Криволинейные координаты могут задаваться не всюду в данной области G, а локально, в некоторой окрестности точки.
Это удобно, если не удается построить координаты по всей области из-запотери однозначности.Пусть заданы криволинейные координаты при помощи формул x = ϕ(u, v, w),y = ψ(u, v, w),(u, v, w) ∈ G0 ,z = χ(u, v, w),ÌÃÒÓÌÃÒÓ11.7. Криволинейные координатыÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ53ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯlwrwrvlvruM0fw0fz0В координатной форме мы получаем следующую формулу:ÔÍ-12grad f =1 ∂f1 ∂f1 ∂feu +ev +ew .λu ∂uλv ∂vλw ∂wДивергенция. Дивергенцию будем интерпретировать как поток на единицу объема“. Для про”стоты будем считать, что система координат (u, v, w) является правой.
Это равносильно тому, чтоякобиан перехода к этим координатам положителен.Выберем в системе координат u, v, w прямоугольный параллелепипедÌÃÒÓÌÃÒÓfz0fz0ÔÍ-12Градиент. Градиент скалярного поля f в точке M0 — это вектор, указывающий направлениенаибольшего роста и имеющий длину, равную этому росту. В декартовой системе координат его координатами являются частные производные. Если (u, v, w) — криволинейная триортогональная системакоординат, то естественно выразить градиент через векторы ортонормированного координатного репера.Чтобы выразить вектор, заданный координатами в одном базисе, через другой, достаточно знатьматрицу перехода.
Базис r u , r v , r w выражается через ортонормированный базис eu , ev , ew при помощи диагональной матрицы D, на диагонали которой стоят коэффициенты Ламе. С другой стороны,D(x,y,z). Поэтомуматрицей перехода из базиса i, j, k в базис r u , r v , r w является матрица Якоби J = D(u,v,w)−1матрицей перехода из i, j, k в eu , ev , ew будет матрица JD . Координаты вектора grad f в базисеeu , ev , ew могут быть записаны в виде (с учетом ортогональности матрицы JD−1 ) fx0fx0fx0fu0−1 −1 T −1 −1 T 0 JD−1 fy = D J fy0 = D fv0 . fy0 = JDÌÃÒÓÌÃÒÓВзяв у этих кривых касательные векторы r u , r v , r w в точке M0 (u0 , v0 , w0 ), получим векторный базисв трехмерном пространстве, называемый репером (рис. 11.2).Если векторы репера попарно ортогональны, то криволинейную систему координат называюттриортогональной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
