lektsii (830015), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Это преобразование иногда называютпреобразованием Абеля.J Считаем, что bn > 0 дляP всех n. Пусть An — последовательность частичных сумм рядаПрименим к сегменту рядаan bn преобразование Абеля:n+pXak bk = An+p bn+p − An bn+1 +k=n+1p−1XPan .An+k (bn+k − bn+k+1 ) .k=1ÔÍ-12Теорема 13.3 (Признак Дирихле). Пусть:P1) последовательность частичных сумм рядаan ограничена;2) последовательность bn является монотонной и бесконечно малой.PТогда рядan bn сходится.ÌÃÒÓÌÃÒÓSn+k bn+k −k=1k=1ÔÍ-12ÌÃÒÓ63ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13.
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ n+pp−1 XXak bk 6 |An+p bn+p | + |An bn+1 | +|An+k | (bn+k − bn+k+1 ) 6k=n+1k=1"#p−1X(bn+k − bn+k+1 ) = M (bn+p + bn+1 + bn+1 − bn+p ) = 2M bn+1 .6 M bn+p + bn+1 +ÌÃÒÓÌÃÒÓОно приводит к оценке сегмента ряда (здесь M — некоторое положительное число):Теорема 13.4 (Признак Абеля). Пусть:P1) рядan сходится;2) последовательность bn является монотонной и ограниченной.PТогда рядan bn сходится.Признак доказывается аналогичноP предыдущему. В качестве последовательности Sn нужно взятьпоследовательность остатков рядаan , которая стремится к 0 при n → ∞.13.2.
ГруппировкиPРассмотрим рядan . При помощи любой строго возрастающейP последовательности {nk } натуральных чисел, начинающейся с 0, можно образовать новый рядbk , положивnk+1Xai .i=nk +1В результате получим ряд(a1 + . . . + an1 ) + (an1 +1 + . . . + an2 ) + . . .который получается из исходного группированием членов (грубо говоря, расстановкой скобок).Такое преобразование может быть полезно при исследовании на сходимость.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12bk =ÌÃÒÓÌÃÒÓПрименение критерия Коши завершает доказательство.
IÔÍ-12ÔÍ-12k=1ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1213.3. ПерестановкиÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Рассмотрим взаимно однозначное отображение p : NP→ N множества натуральных чисел наPсебя,p(n) — значение отображения для аргумента n. Рядap(n) называется перестановкой рядаan .Перестановка — расположение членов ряда в ином порядке. Утверждение, что после перестановки рядсходится к той же сумме, является обобщением закона коммутативности для конечных сумм.
Однакотакое утверждение верно лишь при некоторых дополнительных условиях. Сформулируем некоторыеиз таких условий.• Если существует такое число K, что p(n)−n < K при всех n, то исходный ряд и его перестановкасходятся или расходятся одновременно, причем если сходятся, то к одной сумме.P• Если рядan сходится абсолютно, то любая его перестановка сходится абсолютно и к той жесумме.• Если ряд сходится условно, то в результате его перестановки можно получить как расходящийсяряд, так и ряд, сходящийся к любому наперед заданному числу (теорема Римана).Первое утверждение близко по своей природе к соответствующему утверждению о группировках.Но наиболее существенным является второе. Теорема Римана, приведенная без доказательства, иллюстрирует необходимость требования абсолютной сходимости.
Мы остановимся на втором утвержденииподробнее. Оно распадается на два относительно самостоятельных утверждения:• перестановка знакоположительного сходящегося ряда всегда сходится;• при перестановке абсолютно сходящегося ряда сумма не меняется.Для доказательства первого достаточнопоказать ограниченностьчастичных сумм переставленPPного ряда. Пусть исходный рядan , переставленный —bn , где bn = ap(n) . Положим K(n) =max {p(1), .
. . , p(n)}. Тогда частичные суммы рядов An и Bn связаны соотношением Bn < AK(n) , таккак все слагаемые левой частичной суммы входят в правую. Неравенство доказывает, что последовательность {Bn } ограничена.Отметим, что перестановка является симметричной операцией: исходный ряд может быть восстановлен обратной перестановкой. Поэтому доказательство любого из утверждений в одну сторонуявляется доказательством и в обратную сторону. В терминологии предыдущегоP рассуждения частнаясумма Bn отличается от Ap(n) еще не добавленными членами, которые в ряде bn имеют номера болееÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЕсли общий член ряда стремится к 0, то и указанная сумма как сумма K бесконечно малых, тожестремится к 0.Если в ряде часть членов (конечное или бесконечное их число) равна 0, то их можно выбросить изряда.
При этом вновь полученный ряд будет сходиться или расходиться наравне с исходным. Описанная операция может интерпретироваться как вариант группирования (нулевые члены группируютсяс последним ненулевым из предшествующих членов). Но в этом случае дополнительных условий нетребуется. С точки зрения последовательности частичных сумм указаннная операция есть исключениев последовательности идущих подряд повторений.ÌÃÒÓÔÍ-12nk + 1 6 n 6 nk+1 .ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓСформулируем два утверждения, касающиеся сходимости группированного ряда:PP• если рядan сходится, то любой рядbn , полученный группировкой исходного, сходится к тойже сумме;PP• если общий член рядаan стремится к 0, рядпервого, причемP bn получен группировкойPкаждыйегочленестьсумманеболееKчленоврядаa,тоизсходимостиbследуетсходимостьnnPan .Отметим, что группировка ряда равнозначна выделению из последовательности Sn его частичныхсумм некоторой подпоследовательности Snk .
Таким образом, первое утверждение — это перефразировка следующего свойства сходящихся последовательностей: любая подпоследовательность сходящейсяпоследовательности сходится. Если каждая группа содержит не более фиксированного числа K членовисходного ряда, то любая из отброшеннных частичных сумм отличается от ближайшей оставшейсяне более чем на сумму модулей K подряд идущих членов исходного ряда:|Sn − Snk | 6 |ank +1 | + . .
. + |ank+1 |,ÔÍ-12ÌÃÒÓ64ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12В случае произведения двух рядов все попарные произведения образуют бесконечную в обе стороныматрицу:a1 b1 a1 b2 . . . a1 bm . . . a2 b1 a2 b2 . . . a2 bm . . . . . . . . . . . . . . . . . . an b1 an b2 . . . an bm . . . . . . .
. . . . . . . . . . .nXak bn−k+1 .(13.3)k=1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Группировка членов может обеспечить основную формулу (прозведение сумм равно сумме произведений) при более слабых условиях. В частности, если указанныеряды сходятся, причем хотя бы один изPних (не обязательно оба) сходится абсолютно, то рядcn с общим членом (13.3) сходится абсолютно,и его суммой является произведение сумм исходных рядов (это утверждение не доказываем).ÌÃÒÓcn =ÔÍ-12В общем случае сумма всех этих попарных произведений зависит от их порядка.
Поэтому для получения содержательного смысла суммы всех слагаемых необходимо дополнительное требование абсолютной сходимости.Если исходные ряды знакоположительны, то и ряд из их попарных произведений является знакоположительным. Суммируя по квадратам“, в последовательности частичных сумм будем иметь”подпоследовательность произведений частичных сумм исходных рядов.
Это доказывает и сходимость,и то, что сумма произведения рядов в этом случае равна произведению сумм исходных рядов. Как иранее, это сразу переносится на знакопеременные абсолютно сходящиеся ряды (если исходные рядысходятся абсолютно, то ряд из попарных произведений сходится тоже абсолютно, его можно суммировать по квадратам“).”Принято произведение рядов суммироватьпо диагоналям“ с группировкойчленов одной диагонаPPP”ли.
Именно, под произведением рядовan иbn понимают рядcn с членамиÌÃÒÓÔÍ-12При перемножении двух конечных сумм (a1 + . . . + an )(b1 + . . . + bm ) необходимо вычислить всепопарные произведения левых слагаемых с правыми, а потом все произведения сложить. Порядоксложения не является существенным. Все попарные произведения составляют матрицуa1 b1 a1 b2 . . .
a1 bm a2 b1 a2 b2 . . . a2 bm . . . . . . . . . . . . an b1 an b2 . . . an bmÌÃÒÓÌÃÒÓ13.4. Умножение рядовÔÍ-12ÔÍ-12n. Если этот ряд сходится абсолютно, то для любого ε можно выбрать такой номер n, что выполняетсянеравенство|bn+1 | + |bn+2 | + . . . < ε.(13.2)PВо-первых, это означает, что частичная сумма Bn отличается от суммы B рядаbn не более чем наε, так как |Bn − B| = |bn+1 + bn+2 + . . . |. Во-вторых, указанное неравенство приводит к соотношению|AK(n) −Bn | < ε, так как AK(n) получается из Bn добавлением некоторых из членов bk с k > n. Поэтому|AK(n) − B| < 2ε.
ОстаетсяPзаметить, что последовательность K(n) стремится к ∞, а потому {AK(n) }сходится к сумме A рядаan . Тем самым доказано, что A = B.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ65ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓФункциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.Основные свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование). Признаки равномерной сходимости Дирихле и Абеля.14.1. Функциональные последовательности66ÔÍ-12Такой подход к понятию сходимости ФП дает неограниченное множество конкретных вариантов.Подход может быть расширен еще больше, если вместо расстояния использовать непосредственноеописание окрестностей функций (превращая тем самым пространство функций в топологическоепространство).
Если понятие окрестности определено, то под пределом ФП надо понимать следующее: функция f есть предел последовательности {fn }, если для любой окрестности O(f ) функцииf существует такое натуральное N , что при n > N имеем fn ∈ O(f ). Таким способом может бытьвведена поточечная сходимость.Окрестности могут определяться расстоянием (метрикой). В свою очередь метрика в линейномфункциональном пространстве может задаваться нормой. Норма в линейном пространстве — этофункция, определенная на этом пространстве и обозначаемая kf k, которая удовлетворяет аксиомамнормы:ÌÃÒÓ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n(n > N =⇒ ρ(fn , f ) < ε).ÔÍ-12Функциональная последовательность (ФП) представляет собой последовательность, составленную из функций.
Другими словами, такая последовательность представляет собой отображениенатурального ряда в некоторое пространство функций. Мы будем полагать, что все члены функциональной последовательности имеют одну и ту же область определения, которую будем называтьобластью определения функциональной последовательности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
