lektsii (830015), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Примерами триортогональных систем координат являются цилиндрическая(полярная на плоскости) и сферическая. Длины векторов координатного репера триортогональнойсистемы называют коэфффициентами Ламе. В триортогональной системе координат вместо координатного репера r u , r v , r w удобно использовать ортонормированный репер eu , ev , ew , полученныйнормированием векторов базиса.Формулы для дифференциальных операций в криволинейных координатах достаточно сложны. Нов частном случае триортогональной системы координат удается сочетать гибкость криволинейныхкоординат и относительную простоту формул для дифференциальных операций.ÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 11.2ÌÃÒÓÌÃÒÓluЭтому параллелепипеду соответствует криволинейный параллелепипед в системе координат (x, y, z).Объем этого криволинейного параллелепипеда вычисляется тройным интеграломZZZV =J(u, v, w) dudvdw,где J(u, v, w) — якобиан координатного отображения.ÌÃÒÓ(V )ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12[u0 , u0 +∆u] × [v0 , v0 + ∆v] × [w0 , w0 + ∆w].ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ54Граница криволинейного параллелепипеда разбивается на 6 граней — поверхностей, параметризуемых парами криволинейных координат.
По формуле считаем поверхностные интегралы, описывающие поток через всю границу. Группируем противоположные грани. Например, поток через граньu = u0 + ∆u имеет видv0Z+∆vZZPu1 =an dS =w0Z+∆wa(u0 + ∆u, v, w)(r v ×r w )|u=u0 +∆u dw,dvv0u=u0 +∆uw0ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12а через противоположную ей — с учетом направления нормалиv0Z+∆v w0Z+∆wZZPu0 = −andS = −u=u0ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯa(u0 , v, w)(r v ×r w )|u=u0 dvdw.v0w0w0где ∆u обозначает приращение по переменной u.
По теореме Лагранжа и теореме о среднем длядвойного интегралаi∂ ha(r v ×r w ) (u1 , v1 , w1 ) ∆u∆v∆w.Pu1 − Pu0 =∂uСуммируя три пары граней и переходя к пределу, когда приращения стремятся к 0, получаемформулу1 ∂∂∂div a =a(r v ×r w ) +a(r w ×r u ) +a(r u ×r v ) .(11.2)J ∂u∂v∂wВ случае триортогональной системы координат якобиан равен произведению коэфффициентов Ламе, а смешанные произведения в (11.2) легко считаются.
Получаем формулу 1∂ ∂ ∂div a =λv λw au +λw λu av +λu λv aw .λu λv λw ∂u∂v∂wÔÍ-12ÔÍ-12Лапласиан. Формулу для лапласиана можно получить, комбинируя формулы для дивергенции иградиента. Окончательный ответ для триортогональной системы координат:1∂ λv λw ∂f∂ λw λu ∂f∂λu λv ∂f∆f =++.λu λv λw ∂uλu ∂u∂vλv ∂v∂wλw ∂wÌÃÒÓРотор. Рассуждения аналогичны. Чтобы вычислить проекции rot a на координатные векторы eu ,ev , ew триортогональной системы координат, достаточно вычислить циркуляцию по границам гранейрассмотренного выше криволинейного параллелепипеда и разделить на площадь грани.
Параметризация ребер и граней параллелепипеда выбирается как и прежде. Приведем окончательную формулу(как и ранее для сокращения используем форму определителя): λu eu λv ev λw ew ∂∂∂rot a = ∂u∂v∂w . λu au λv av λw aw ÌÃÒÓÌÃÒÓv0ÔÍ-12ÔÍ-12∆u a(r v ×r w ) dvdw,Pu1 − Pu0 =ÌÃÒÓÌÃÒÓv0Z+∆v w0Z+∆wÔÍ-12ÔÍ-12Группируя эти интегралы, получаемÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-126688........................................................................................1111131314Лекция 4.
Приложения кратных4.1. Площадь . . . . . . . . . . .4.2. Объем . . . . . . . . . . . . .4.3. Механические приложения .4.4. Плоский случай . . . . . . .............................................................................................1515161617Лекция 5. Несобственные интегралы5.1. Интеграл от неотрицательной функции . . . . . . .5.2. Абсолютная сходимость . . . . . . .
. . . . . . . . .5.3. Расстановка пределов в несобственных интегралах5.4. Замена переменных в несобственном интеграле . .5.5. Интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . ...............................................................................................................181919212122интегралов.
. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .....................Лекция 6. Криволинейный интеграл266.1. Криволинейный интеграл 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2. Криволинейный интеграл 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 2831313234Лекция 8. Полный дифференциал8.1. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути8.2. Условия независимости интеграла от пути . . . .8.3. Циклические постоянные . . . . . . . . . . . . . .8.4. Трехмерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................Лекция 9. Поверхностный интеграл9.1. Площадь поверхности .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2. Поверхностный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Свойства поверхностного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . .9.4. Поверхностный интеграл 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода . . . . . . . . .9.6. Связь поверхностного интеграла с криволинейным и тройным ...........................................................................................39394141414243102............................ÔÍ-12....3535363738ÌÃÒÓЛекция 7. Формула Грина7.1.
Интеграл по замкнутому контуру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3. Вычисление площадей при помощи криволинейных интегралов . . . . . . . . . . . . . . .ÔÍ-12Лекция 3. Замена переменных в кратном интеграле3.1. Двойной интеграл .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Произвольный кратный интеграл . . . . . . . . . .3.3. Полярные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Цилиндрические и сферические координаты . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 2. Вычисление кратных интегралов2.1. Двойной интеграл . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Техника вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÔÍ-12ÔÍ-121133ÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 1. Мера Жордана1.1. Площадь плоского множества . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Кратный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ..........................................................................................Лекция 11. Специальные векторные поля11.1. Векторные дифференциальные операции 2-го порядка .11.2. Оператор Гамильтона . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .11.3. Потенциальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4. Соленоидальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5. Гармоническое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.6. Разложение поля на потенциальное и соленоидальное .11.7. Криволинейные координаты .
. . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................4949495050515252Лекция 12. Числовые ряды12.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2. Операции над рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3. Знакоположительные числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55555657Лекция 13. Знакопеременные числовые ряды13.1. Другие признаки сходимости . . . .
. . . .13.2. Группировки . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . .13.4. Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . .6161636465.....................................................................................................................................Лекция 14. Функциональные ряды6614.1. Функциональные последовательности . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.2. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.3. Признаки равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 70........................................................................7272747577Лекция 16. Ортогональные системы16.1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2. Задача о наилучшем приближении . . . . .16.3. Свойства ряда Фурье . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
