lektsii (830015), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . . . . .............................................................................................1515161617Лекция 5. Несобственные интегралы5.1. Интеграл от неотрицательной функции . . . . . . .5.2. Абсолютная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . .5.3. Расстановка пределов в несобственных интегралах5.4.
Замена переменных в несобственном интеграле . .5.5. Интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . ...............................................................................................................181919212122интегралов. . .
. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .....................Лекция 6. Криволинейный интеграл266.1. Криволинейный интеграл 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2. Криволинейный интеграл 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2831313234Лекция 8. Полный дифференциал8.1. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути8.2. Условия независимости интеграла от пути . . . .8.3. Циклические постоянные . . . . . . . . . . . . . .8.4. Трехмерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................Лекция 9. Поверхностный интеграл9.1. Площадь поверхности .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2. Поверхностный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Свойства поверхностного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . .9.4. Поверхностный интеграл 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . .
. .9.5. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода . . . . . . . . .9.6. Связь поверхностного интеграла с криволинейным и тройным ...........................................................................................39394141414243102............................ÔÍ-12....3535363738ÌÃÒÓЛекция 7. Формула Грина7.1. Интеграл по замкнутому контуру . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3. Вычисление площадей при помощи криволинейных интегралов . . . . . . . . . . . . .
. .ÔÍ-12Лекция 3. Замена переменных в кратном интеграле3.1. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Произвольный кратный интеграл . . . . . . . . . .3.3. Полярные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Цилиндрические и сферические координаты . . .
.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 2. Вычисление кратных интегралов2.1. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .2.3. Техника вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÔÍ-12ÔÍ-121133ÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 1. Мера Жордана1.1. Площадь плоского множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Двойной интеграл . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Кратный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ..........................................................................................Лекция 11. Специальные векторные поля11.1. Векторные дифференциальные операции 2-го порядка .11.2. Оператор Гамильтона .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3. Потенциальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4. Соленоидальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5. Гармоническое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.6. Разложение поля на потенциальное и соленоидальное .11.7. Криволинейные координаты . . . . .
. . . . . . . . . . .............................................................................................................................................4949495050515252Лекция 12. Числовые ряды12.1. Основные понятия . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2. Операции над рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3. Знакоположительные числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55555657Лекция 13.
Знакопеременные числовые ряды13.1. Другие признаки сходимости . . . . . . . .13.2. Группировки . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . .13.4. Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . .6161636465.....................................................................................................................................Лекция 14. Функциональные ряды6614.1. Функциональные последовательности . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.2. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.3. Признаки равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70........................................................................7272747577Лекция 16.
Ортогональные системы16.1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2. Задача о наилучшем приближении . . . . .16.3. Свойства ряда Фурье . . . . . . . . . . . . .16.4. Условия сходимости ряда Фурье к функции16.5. Тригонометрическая система .
. . . . . . .....................................................................................................797981828384......86868789939394...................................Лекция 17. Тригонометрические ряды Фурье17.1. О равномерной сходимости ряда Фурье . . .
. . . . . . .17.2. Порядок малости коэффициентов и дифференцируемость17.3. Условия сходимости ряда Фурье в точке . . . . . . . . .17.4. Ряд Фурье по косинусам (синусам) кратных углов . . . .17.5. Разложение функции на произвольном отрезке . . . . . .17.6. Комплексная форма записи ряда Фурье . . .
. . . . . . .............................................................................................................Лекция 18. Интеграл Фурье9618.1. Четные и нечетные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9818.2. Симметричная форма интеграла Фурье . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 9818.3. Свойства преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99ÔÍ-12....ÌÃÒÓ. . . .рядов. . . .. . . .ÔÍ-12Лекция 15. Степенные ряды15.1. Интервал сходимости . . . . . . .
. . . . . . . . . .15.2. Интегрирование и дифференцирование степенных15.3. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.4. Стандартные разложения в ряд Тейлора . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ..........ÔÍ-12ÔÍ-12..........ÌÃÒÓÌÃÒÓ.....454545464747ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 10. Элементы теории поля10.1. Скалярные и векторные поля . . .
. . . .10.2. Векторные трубки . . . . . . . . . . . . .10.3. Линейный интеграл и поток . . . . . . . .10.4. Вихрь и формула Стокса . . . . . . . . . .10.5. Дивергенция и формула ОстроградскогоÌÃÒÓ103ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. ÊàíàòíèêîâÊÐÀÒÍÛÅ ÈÍÒÅÃÐÀËÛÈ ÐßÄÛÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÄëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè<Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà>ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓОсновные понятия теории поля.
Скалярное поле и его характеристики. Векторное поле. Векторныелинии и трубки. Дифференциальные уравнения векторных линий. Линейный интеграл и циркуляциявекторного поля. Формула Стокса. Вихрь (ротор) векторного поля и его свойства. Поток векторногополя. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского — Гаусса. Формулы для вычислениядивергенции и ротора векторного поля.10.1. Скалярные и векторные поляЕсли скалярное поле характеризуется поверхностями уровня, то векторное поле может характеризоваться векторными линиями. Если векторное поле представляет собой поле скоростей текущейжидкости, то векторная линия указывает траекторию движения частиц жидкости.
Эта траектория ха45ÔÍ-1210.2. Векторные трубкиÌÃÒÓПример 10.1. Рассмотрим поле температур U в пространстве. Тепло в пространстве движетсяв сторону убывания температуры, причем тем быстрее, чем быстрее убывает температура. Поэтому градиент температурного поля противоположен вектору потока тепла, так как вектор − grad Uпоказывает направление наибольшего убывания температуры.
Так как величина потока тепла пропорциональна скорости убывания температуры, получаем формулу для векторного поля потокатепла: q = −k grad U .ÔÍ-12Формулы для вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов громоздки и недостаточно удобны. Их можно упростить, если использовать векторную форму записи.
Кроме того,векторные понятия имеют более наглядный смысл, так как берут свое начало в математических приложениях (механика, физика).Простейшими математическими величинами, которыми оперируют в механике и физике, являютсяскаляры и векторы. Если в некоторой трехмерной области G в каждой точке определен скаляр (т.е.число), то говорят, что в G задано скалярное поле. Таким образом, скалярное поле — это функцияточки, имеющая скалярные значения. Введя в пространстве систему координат, мы можем описыватьточки тройками чисел. Соответственно, скалярное поле будет описываться функцией трех переменных.
Короче говоря, скалярное поле с математической точки зрения есть скалярная функция от трехпеременных.Аналогично, если в каждой точке области G определен вектор, то говорят, что в G задано векторное поле. В заданной системе координат векторное поле описывается отображением R3 → R3или тремя скалярными функциями от трех переменных.Для представления скалярного поля используют его поверхности уровня, т.е.
поверхности, накоторых поле имеет постоянное значение. Если скалярное поле описывается функцией F (x, y, z), тоего поверхности уровня описываются уравнениями F (x, y, z) = C, где C — постоянная, конкретноезначение которой определяет конкретную поверхность уровня. Через каждую точку проходит поверхность уровня, и при том только одна. Это значит, что область расслаивается“ на поверхности уровня”скалярного поля.Если в некоторой (декартовой) системе координат скалярное поле описывается функцией F (x, y, z),то вектор (Fx0 , Fy0 , Fz0 ), координатами которого являются частные производные функции F , вычисленные в данной точке, имеет особое значение. Он показывает в данной точке направление наибольшегороста функции.
В силу этого его выбор не связан с выбором системы координат, так как направлениенаибольшего роста не зависит от системы координат. Этот вектор называют градиентом скалярного поля и обозначают grad F . Так как градиент может быть вычислен в любой точке областиопределения скалярного поля, то мы, по-существу, получаем векторное поле градиента. Градиент в каждой точке перпендикулярен (ортогонален) поверхности уровня.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯÔÍ-12ÔÍ-12Лекция 10ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ46рактеризуется тем, что в каждой ее точке вектор поля касается кривой (вектор поля попросту являетсявектором скорости движущейся частицы).Пусть в области G задано векторное поле v. Пусть в этой области параметрически задана криваяγ в виде x = ϕ(τ )y = ψ(τ )z = χ(τ )Тогда вектор с кординатами {ϕ0 (τ ), ψ 0 (τ ), χ0 (τ )} является касательным к кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
