lektsii (830015), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Отметим важнейшие: а) линейность, б) аддитивность,в) теорема об оценке интеграла (в частности, интеграл от неотрицательной функции всегда неотрицателен, а если подынтегральная функция непрерывна, то положителен). Эти свойства, как и ранее,являются следствием свойств интегральных сумм, сохраняющихся при предельном переходе от суммык интегралу.9.4.
Поверхностный интеграл 2-го родаÔÍ-12Пусть у нас в пространстве задано поле скоростей текущей жидкости (или газа). Важной характеристикой процесса является кодичество жидкости, проходящей через ту или иную поверхностьв пространстве. Например, количество жидкости, протекающей через сферу, говорит о том, каковамощность источников внутри сферы.Выберем поверхность S в пространстве и предположим, что в каждой точке M ∈ S задан единичный вектор n(m) нормали к поверхности, причем функция n, являющаяся отображением с поверхностиS в пространство R3 , т.е. вектор-функцией, непрерывна на поверхности S.
Построим разбиениеповерхности на элементы ∆Si , в каждом элементе выберем точку Ni . Если элемент ∆Si достаточно мал, то перенос жидкости через этот элемент приближенно равен скалярному произведениюρµ(∆Si )v(Ni )n(Ni ) вектора скорости v(Ni ) на вектор нормали n(Ni ) частиц жидкости в районе ∆Si ,ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ9.3. Свойства поверхностного интегралаÌÃÒÓÔÍ-12GÔÍ-12ÔÍ-12SÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 9.2. Пусть поверхность S задана параметрически уравнениями (9.1) при помощи непрерывно дифференцируемых функций с областью определения G, причем ранг матрицы Якоби отображения в каждой точке в G равен 2 (т.е.
максимален). Тогда для любой непрерывной функции f ,определенной на этой поврехности, существует поверхностный интеграл (9.4), который может бытьвычислен по формулеZZZZf (M ) ds =f (ϕ(u, v), psi(u, v), χ(u, v)|r u (u, v)×r v (u, v)| dudv.(9.5)ÔÍ-12ÔÍ-12SÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ42vРис.
9.2умноженному на площадь элемента разбиения (рис. 9.2) и на плотность ρ. Суммируя результаты повсем элементам разбиения, получим интегральную суммуσ=ρXÌÃÒÓÌÃÒÓnÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 9. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛv(Ni )n(Ni )µ(∆Si ).9.5. Вычисление поверхностного интеграла 2-го родаZZZZvndS =Svr u ×r vdS =|r u ×r v |SZZP Q R ϕ0u ψu0 χ0u dudv,ϕ0v ψv0 χ0vZZv r u ×r v dudv =SSгде определитель выражает смешанное произведение трех векторов.ÔÍ-12Интеграл 2-го рода может быть вычислен как и любой поверхностный интеграл по формуле (9.5).Однако следует учесть, что выбор координат на поверхности (ее параметризации), например,u и v,означает и выбор ее ориентации, так как вектор r u ×r v нормален к поверхности, а для получения единичной нормали достаточно его разделить на длину |r u ×r v |.
В результате из формулы (9.6) получаемÌÃÒÓИнтеграл (9.7) — это поверхностный интеграл, но он играет особую роль. В нем в качестве элементов подынтегрального выражения участвуют направляющие косинусы нормали. Во-первых, не длявсякой поверхности можно выбрать непрерывную нормаль. Пример — небезызвестный лист Мебиуса,нна котором не существует непрерывного поля нормали. Выбор нормали фактически оззначает выборстороны поверхности. Различают поверхности двусторонние (например, сфера) и односторонние (листМебиуса).
Интеграл (9..7) можно корректно определить только для двусторонних поверхностей.Во-вторых, сторона поверхности может быть выбрана двумя способами. Изменение стороны поверхности означает изменение знака у нормали и в конечном счете изменение знака интеграла. Врассмотренной задаче выбираемая нормаль означает положительное движение жидкости (например,для сферы может быть движение изнутри наружу и наоборот).Выбор стороны у двусторонней поверхности по-иному называют выбором ее ориентации. Таким образом, интеграл (9.7) берется по ориентированным поверхностям. В этом смысле он ближе ккриволинейному интегралу 2-го рода.
Его и называют поверхностным интегралом 2-го рода вотличие от интеграла (9.4), который называют поверхностным интегралом 1-го рода.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓSÌÃÒÓÔÍ-12Полагая, что вектор n = (cos α, cos β, cos γ) выражен через свои направляющие косинусы, вектор v =(P, Q, R) также записан в координатах, получаем координатное представление интеграла (9.6):ZZM =ρ(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS.(9.7)ÔÍ-12ÌÃÒÓSÌÃÒÓÔÍ-12В предельном переходе при диаметре разбиения, стремящемся к 0, мы получим поверхностныйинтеграл видаZZM =ρvn dS.(9.6)ÔÍ-12ÔÍ-12iÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12В интеграле выбирается знак +, если направление нормали совпадает с направлением оси Oz (точнее,угол между этими направлениями острый).
Это аналогично вычислению криволинейного интеграла2-го рода по графику функции одной переменной. В связи с этим для указанного интеграла используется обозначениеZZZZR cos γ dS =R dxdy.SSУчитывая оставшиеся две составляющие, получимZZZZP dydz + Q dzdx + R dxdy.(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS =SS9.6. Связь поверхностного интегралас криволинейным и тройнымВ интегральном исчислении важнейшую роль играют две формулы, которые аналогичны формулеГрина. Первая связывает поверхностный интеграл 2-го рода с криволинейным, а вторая — с тройным.Пусть имеет двусторонняя поверхность S, на которой расположен простой контур γ. Этот контурограничивает часть поверхности. Мы будем считать, что он проходится в таком направлении, чтоограниченнная им часть поверхности находится слева, если смотреть с выбранной стороны поверхности.γint γJ Формула Стокса линейна относительно входящих в нее трех функций.
Поэтому она сводится ктрем симметричным вариантам: (P, 0, 0), (0, Q, 0) и (0, 0, R). В силу симметрии достаточно рассмотреть один из этих вариантов. Поэтому мы остановимся на доказательстве формулыIZZ∂P∂PP dx =dzdx −dxdy.∂z∂yint γZβP dx =γ0ZβP (x(t), y(t), z(t))x (t) dt =αP (x(t), y(t), z(t)) x0u u0 (t) + x0v v 0 (t) dt =αÔÍ-12IÔÍ-12Формула Стокса также аддитивна, т.е. если она верна для каждой из нескольких подобластей,на которые разделена область int γ, то она верна и для всей области. Это происходит потому, чтоповерхностные интегралы по прилегающим областям складываются, а интегралы по границам подобластей внутри γ взаимно уничтожаются, так как соответствующие кривые проходятся дважды впротивоположных направлениях.
Здесь повторяется та же ситуация, что и в формуле Грина.Эти два рассуждения позволяют ограничиться случаем, когда поверхность S задана параметрически в виде (9.1). Так как соответствие между поверхностью S и областью G в переменных u, vявляется взаимно однозначным и непрерывно дифференцируемым, контуру γ соответствует контур Cв плоскости uv, который описывается функциями u(t), v(t), t ∈ [α, β]. Легко убеждаемся, что интегралпо γ транслируется в интеграл по C на плоскости uv:ÌÃÒÓγÔÍ-12Теорема 9.3 (формула Стокса). Если функции P , Q, R определены на поверхности S и непрерывно дифференцируемы, то для простого гладкого контура γ, расположенного на поверхности S(int γ — область, ограниченная контуром γ) верно равенствоIZZ ∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂PP dx + Q dy + R dz =−dydz +−dzdx +−dxdy.∂y∂z∂z∂x∂x∂yÌÃÒÓÌÃÒÓпрOxy SÔÍ-12ÔÍ-12SÌÃÒÓÌÃÒÓSÌÃÒÓÔÍ-12Наиболее просто поверхностный интеграл считается, когда координатами на поверхности являютсядве пространственные координаты.
Например, если это координаты x и y, тоZZZZZZdxdyR cos γ dS =R cos γ=±R(x, y, z(x, y)) dxdy.| cos γ|ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ43ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 9. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Остается к правым частям формул (9.8) и (9.9) применить формулу Грина, чтобы убедиться в ихравенстве. IСледствие. Если всюду в односвязной области G ⊂ R3 выполняются услловия∂R∂Q=,∂y∂z∂P∂R=,∂z∂xто значение интегралаZBP dx + Q dy + R dzAне зависит от пути, соединяющего точки A и B и целиком лежащего в G.J В самом деле, достаточно доказать, что инитеграл по любому замкнутому контуру в G равен0. На простой контур γ натягиваем поверхность S, целиком лежащую в G. Тогда по формуле Стоксазаключаем, что интеграл по γ должен равняться 0. IЗамечание.
Понятие трехмерная односвязная область“ надо понимать так, что любой простой”контур является границей некоторой поверхности, лежащей в этой области. В этом смысле областьмежду двумя концентрическими сферами — односвязная область, а тор — нет.SJ Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство формулы Грина. Опятьтаки, формула Остроградского линейна относительно тройки функций, и мы можем остановиться начастном случае, когда P ≡ 0, Q ≡ 0. Формула Остроградского аддитивна, и мы можем ограничитьсяслучаем стандартной области, которая ограничена графиками двух функций z = ϕ1 (x, y) (снизу) иz = ϕ2 (x, y) (сверху).
Тогда∂Rdxdydz =∂zGϕ2Z(x,y)ZZdxdyGxy∂Rdz =∂zϕ1 (x,y)ZZZZR(x, y, ϕ2 (x, y)) dxdy −=GxyZZR(x, y, ϕ1 (x, y)) dxdy = ⊂⊃ R(x, y, z) dxdy,ÌÃÒÓZZZÔÍ-12Теорема 9.4 (формула Остроградского — Гаусса). Пусть трехмерная область G ограниченагладкой поверхностью S. Если функции P , Q, R определены и непрерывно дифференцируемы в G ина S, тоZZZZZ ∂P∂Q ∂R⊂⊃ P dydz + Q dzdx + R dxdy =++dxdydz.∂x∂y∂zGGxySгде Gxy — проекция области G на плоскость Oxy.
IÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12∂Q∂P=,∂x∂yÔÍ-12ÌÃÒÓПоверхностный интеграл по int γ также может быть преобразован в двойной интеграл по областиint C:ZZZZ0 Pz0 Py0∂P∂P ϕ0u ψu0 χ0u dudv,dzdx −dxdy =(9.9)∂z∂y000ϕψχvvvint γint CÌÃÒÓÔÍ-12CÌÃÒÓÌÃÒÓP (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v))ϕ0u du + P (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v))ϕ0v dv. (9.8)ÔÍ-12ÔÍ-12=ÌÃÒÓ44ÌÃÒÓÌÃÒÓIÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 9.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛÌÃÒÓÔÍ-126688........................................................................................1111131314Лекция 4. Приложения кратных4.1. Площадь . . . . . . . . . . .4.2. Объем . . . . . . . . . . . . .4.3. Механические приложения .4.4. Плоский случай .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
