lektsii (830015), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если γ являетсявекторной линией для v, то этот вектор должен быть касателен к вектору v(ϕ(τ ), ψ(τ ), χ(τ )). Записавусловие коллинарности:ϕ0 (τ ) = λvx ϕ(τ ), ψ(τ ), χ(τ ) , ψ 0 (τ ) = λvy ϕ(τ ), ψ(τ ), χ(τ ) , χ0 (τ ) = λvz ϕ(τ ), ψ(τ ), χ(τ ) ,ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯÔÍ-12y 0 = λvy (x, y, z),z 0 = λvz (x, y, z),ÔÍ-12ÔÍ-12dydzdx==,vxvyvzÌÃÒÓкоторые называют уравнениями векторных линий.Если поверхность S такова, что в каждой точке вектор v касается этой поверхности, то ее называютвекторной поверхностью. Векторная поверхность характеризуется тем, что если векторная линияначинается на этой поверхности, то она все время остается на ней.
Векторную поверхность можнополучить, если выбрать кривую γ, не являющуюся векторной линией, а затем образовать поверхностьиз всех векторных линий, пересекающих γ. Если кривая γ представляет собой простой контур, топостроенную таким образом векторную поверхность называют векторной трубкой (рис. 10.1).x0 = λvx (x, y, z),ÔÍ-12Коэффициент λ связан с выбором параметризации кривой (иными словами, со скоростью прохождениякривой).
Избавляясь от него, приходим к уравнениямÌÃÒÓгде vx , vy , vz — координаты векторного поля. Эти уравнения означают, что параметрически заданнаякривая является решением системы дифференциальных уравненийПусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a с координатами ax , ay , az в данной системекоординат. Криволинейный интегралZZax dx + ay dy + az dz = adrγγна самом деле от системы координат не зависит, что и фиксирует его новая запись. В векторноманализе его называют линейным интегралом.
Новая, векторная форма записи подчеркивает физическую интерпретацию этого интеграла как работу силового поля a при перемещении материальнойточки единичной массы.Если линейный интеграл вычисляется по контуру, т.е. кривая γ замкнута, то его называют циркуляцией векторного поля.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-1210.3.
Линейный интеграл и потокÌÃÒÓÌÃÒÓРис. 10.1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ47Поверхностный интеграл 2-го родаZZZZax dydz + ay dzdx + az dxdy =(ax cos α + ay cos β + az cos γ) dSSSназывают потоком векторного поля через поверхность S. Физический смысл этого интеграла— количество жидкости, протекающей через площадку, если векторное поле представляет собой полескоростей текущей жидкости. Альтернатива — явления переноса, например, тепла, газа, заряда и т.п.10.4.
Вихрь и формула Стоксаγγint γÌÃÒÓна ay означает взятие соответствующей частной производной.где умножение“, например,∂x”Хотя вихрь определен в координатной форме, на самом деле выбор системы координат не являетсясущественным, так как проекции этого вектораRadrÌÃÒÓна вектор нормали. Этот вектор в теории поля называют вихрем или ротором векторного поля a.Обозначение: b = rot a. Вихрь векторного поля a с учетом правил раскрытия определителей можетбыть вычислен по формуле ijk ∂∂ rot a = ∂, ∂x ∂y ∂z ax ay az ÔÍ-12При фиксированном векторе нормали n полученный поверхностный интеграл имеет предел пристягивании контура в точку, равный скалярному произведению bn вектора∂az ∂ay ∂ax ∂az ∂ay ∂axb=−,−,−∂y∂z ∂z∂x ∂x∂yÔÍ-12Циркуляция является протяженной характеристикой, но если контур исчезающе мал, то циркуляция уже характеризует поведение поля в окрестности точки.
Пусть контур γ расположен в плоскостис единичным вектором нормали n. Тогда по формуле Стокса IIZ Z ∂ay∂ay∂az∂ax ∂az∂axadr = ax dx + ay dy + az dz =nx +ny +nz dS−−−∂y∂z∂z∂x∂x∂yÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯlimµ(Sn )→0∂Snµ(Sn )(Sn — площадка, перпендикулярная вектору n) не зависят от какой-либо системы координат.Формула Стокса принимает видIZZadr =n rot a dS,γint γв котором ее чаще всего и используют.ÌÃÒÓ10.5. Дивергенция и формула ОстроградскогоПоток, также являясь интегральной, протяженной характеристикой, в пределе приводит к локальной характеристике. Пусть векторное поле гладко в области G. Выберем в G некоторый объем V ,ограниченный гладкой поверхностью ∂V .
Применим к нему формулу Остроградского:ZZZZZZZ ∂az∂ax ∂ay++dxdydz.⊂⊃ andS = ⊂⊃ ax dydz + ay dzdx + az dxdy =∂x∂y∂zVÔÍ-12ÌÃÒÓ∂VÌÃÒÓÔÍ-12∂VÔÍ-12ÔÍ-12(rot a)n =ÔÍ-12ÌÃÒÓ∂ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ48В пределе, когда диаметр объема V стремится к 0, полученный тройной интеграл сходится к значениюподинтегральной функции, если, конечно, эта функция непрерывна. Величина∂ax ∂ay∂az++,∂x∂y∂zвычисленная в точке, называется дивергенцией векторного поля a в этой точке и обозначаетсяdiv a. Другое определение дивергенции вытекает из формулы Остроградского: div a — это число,равноеRRRandS∂Vdiv a = limV →0µ(V )(поток на единицу объема). Эта формула показывает, что дивергенция не связана с выбором системыкоординат.
С учетом введенного понятия формула Остроградского принимает видZZZZZdiv a dv,⊂⊃ an dS =ÔÍ-12V∂VÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓгде dv — дифференциал объема, dv ≡ dxdydz.ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПотенциальное векторное поле и его свойства. Соленоидальное векторное поле и его свойства. Гармоническое (лапласово) поле и его свойства.
Оператор Гамильтона и его применение в теории поля.Векторные дифференциальные операции второго порядка.11.1. Векторные дифференциальные операции 2-го порядкаВихрь и дивергенция являются дифференциальными операциями, которые выполняются над векторными полями. Над скалярными полями может выполняться одна операция: взятие градиента.Эти три операции могут выполняться последовательно в определенных комбинациях, причем некоторые комбинации приводят к тривиальным результатам, а некоторые — к дифференциальнымоперациям второго порядка.Если исходный объект является скалярным полем, то первой операцией, которую к нему можноприменить — это градиент.
Далее возможны два случая:а) в первом второй операцией может быть ротор: ijk 2 2 2 ∂∂ f∂2f∂ f∂2f∂ f∂2f∂∂ rot grad f = ∂x ∂y ∂z = =−i+−j+−k = 0.∂y∂z ∂z∂y∂z∂x ∂x∂z∂x∂y ∂y∂x 000 fx fy fz б) во втором случае используем дивергенцию:∂fy0∂f 0∂2f∂2f∂2f∂fx0++ z =++= ∆f.∂x∂y∂z∂x2∂y 2∂z 2Дифференциальные операторы теории поля удобно записывать при помощи специального вектор”ного“ оператора∂∂∂∇=,,.∂x ∂y ∂zХарактерно, что тривиальные дифференциальные операции согласовываются с правилами выполнения скалярного, смешанного и векторных произведений:rot grad f = ∇×(∇f ) = (∇×∇) f,div rot a = ∇(∇×a) = (∇×∇) a.ÔÍ-1249ÔÍ-12Применение любого линейного оператора можно трактовать как умножение. С учетом этого заключаем, чтоgrad f = ∇f,div a = ∇a,rot a = ∇×a,∆f = ∇∇f = ∇2 f.ÌÃÒÓ11.2. Оператор ГамильтонаÔÍ-12В результате получаем оператор Лапласа.
Отметим, что функции f , для которых ∆f = 0, называют гармоническими.Если исходное поле a является векторным, то для него определены комбинации: grad div a, div rot a,rot rot a.Можно убедиться, что div rot a ≡ 0. Поэтому имеется всего лишь три нетривиальных дифференциальных оператора 2-го порядка: оператор Лапласа ∆ для скалярных полей и операторы grad div,rot rot для векторных полей.ÌÃÒÓÔÍ-12СПЕЦИАЛЬНЫЕВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 11div grad f =ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓгде применение оператора Лапласа к векторному полю a выполняется покомпонентно, т.е. ∆a — этовекторное поле с компонентами (∆ax , ∆ay , ∆az ).
Таким образом, мы получили связь между двумядифференциальными операциями второго порядка, опираясь на формулу векторной алгебры.Техника векторной алгебры остается верной в векторном анализе потому, что раскрытие соответствующих определителей для векторного и смешанного произведений происходит по тем же правилам,а участвующие в раскрытом определителе операции умножения (скалярное, векторное и умножениена число) обладают важнейшим свойством — ассоциативностью.11.3. Потенциальное полеÔÍ-12Векторное поле a называют соленоидальным, если оно является вихрем некоторого поля b,a = rot b. При этом векторное поле b называют векторным потенциалом поля a. Необходимым условием такого соотношения является равенство div a = div rot b = 0.
Следовательно, потоксоленоидального поля через замкнутую поверхность равен 0. Если векторное поле представляет собой поле скоростей сплошной среды (жидкости), то поток этого поля через замкнутую поверхностьхарактеризует суммарную мощность источников или стоков (если поток отрицателен).Дивергенция есть точечная характеристика распределения источников и стоков. В случае соленоидального поля источники и стоки отсутствуют. Характерным примером такого поля являетсяÌÃÒÓ11.4. Соленоидальное полеÔÍ-12Потенциальным называют векторное поле a, которое может быть представлено как градиентнекоторого скалярного поля: a = grad f .
В этом случае скалярное поле f называют потенциаломвекторного поля a.Из свойств дифференциальных операций для потенциального поля получаем: rot a = rot gradf ≡ 0.Таким образом, условие rot a = 0 является необходимым для того, чтобы поле a было потенциальным.Если a = (ax , ay , az ) является потенциальным, то выражение ax dx + ay dy + az dz является полным дифференциалом, а первообразная представляет собой потенциал исходного векторного поля.
Изсвойств криволинейного интеграла получаем эквивалентность ряда условий:Rа) криволинейный интеграл R ax dx + ay dy + az dz не зависит от пути;б) криволинейный интеграл ax dx + ay dy + az dz по любому контуру равен 0;в) дифференциал ax dx +R ay dy + az dz является полным;г) линейный интегралa dr не зависит от пути;Hд) циркуляция a dr равна 0 по любому контуру;е) rot a = 0.Все эти условия эквивалентны, если векторное поле определено в односвязной (точнее, поверхностно односвязной)области. При этом потенциал поля может быть вычислен при помощи линейногоRинтеграла a dr с переменным верхним пределом.Указанные выше свойства получают естественную интерпретацию, если векторное поле — это полесил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
