lektsii (830015), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Однако ограничиться сравнением лишь с одним универсальным“ рядом”не удастся.PPТеорема 12.5. Для любого сходящегося ряда an существуетсходящийся ряд bn , дляPкоторогоPan = o(bn ) при n → ∞. Для любого расходящегося рядаcn существует расходящийся рядdn , длякоторого dn = o(cn ) при n → ∞.PJ Пустьan сходится. Положим∞Xak ,ÔÍ-12An =n = 1, 2, .
. .k=n+1ppbn = An − An+1 ,n = 1, 2, . . .Тогда lim An = 0 иn→∞nXbk =pA1 −ÌÃÒÓÔÍ-12Пример. РядÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 12. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫppAn+1 → A1 ,√√Cn+1 − Cn , где Cn —В простейшем случае сравнение с некоторым стандартным“ рядом может быть сформулировано”в виде самостоятельного признака сходимости, который на практике более удобен, чем непосредственное сравнение. К таким признакам относятся два наиболее известных (может быть, в силу своейпростоты) — признаки Коши и Даламбера.Теорема 12.6 (признак Коши радикальный). Если существует предел√lim n an = q,где an > 0, n = 1, 2, . .
., то:P• при q < 1 рядP an сходится;• при q > 1 рядan расходится.J Если q < 1, то, выбрав произвольное число q 0 , q < q 0 < 1, заключаем, что, начиная с некоторого√номера, n an < q 0 . Но тогда an < (q 0 )n , т.е. исходный ряд мажорируется геометрической прогрессиейсо знаменателем q 0 < 1 а потому сходится.√Если q > 1, то, начиная с некоторого номера n an > 1 илиPan > 1, откуда следует, что не выполняется необходимый признак сходимости рядов. Поэтому рядan расходится.
Iliman+1= q,anгде an > 0, n = 1, 2, . . ., то:P• при q < 1 рядP an сходится;• при q > 1 рядan расходится.ÔÍ-12Теорема 12.7 (признак Даламбера). Если существует пределÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Второе утверждение Pдоказывается аналогично. Необходимо положить dn =частичные суммы рядаcn .
IÌÃÒÓÌÃÒÓbn сходится. При этом при n → ∞√√bnAn − An+11→ ∞.==√√anAn − An+1An + An+1ÔÍ-12ÔÍ-12при n → ∞, т.е. рядÌÃÒÓÌÃÒÓk=1PÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ59Доказательство этого признака строится по той же схеме, что и для признака Коши, его предлагается освоить самостоятельно.Пример. Ряд∞ X1−n=11nn2ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 12. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫlimn→∞√nan = limn→∞Ряд11−nn=ÌÃÒÓÌÃÒÓсходится, так как по признаку Коши1< 1.e∞Xn!nn1an+1nn1n = < 1.= lim=1nn→∞ ann→∞ (n + 1)elim 1 + nlimn→∞Теорема 12.8 (признак Коши интегральный).
Пусть функция f (x) определена на промежутке[0, +∞), неотрицательна и монотонно убывает на этом промежутке. Тогда несобственный интеграл+∞∞RPf (x) dx и рядf (n) сходятся или расходятся одновременно.n=10ÌÃÒÓÌÃÒÓтакже сходится, так как по признаку ДаламбераJ В силу монотонности функции f (x) для любого натурального числа n имеем неравенстваZn+1f (n + 1) 6ÔÍ-12ÔÍ-12n=1f (x) dx 6 f (n).nNXn=1n=0Zn=0Nf (x) dx =N−1 Z n+1X1∞PN−1 Z n+1Xn=1ZNf (x) dx =nf (x) dx0f (x) dx 6nN−1Xf (n).n=1f (n) сходится, то его частичные суммы ограничены. Значит, для некоторого числа Mn=1верно неравенствоNZf (x) dx 6 M.1Таким образом, функция F (x) =Rxf (x) dx монотонно возрастает, так как подынтегральная функция1Если сходится несобственный интегралR∞1f (x) dx, то функция, определенная равенством F (x) =1=Rxf (x) dx, ограничена. Значит, ограничена последовательность частичных сумм SN =0∞Pчтио равносильно сходимости знакоположительного рядаNPn=1f (n).
If (n),ÔÍ-12неотрицательна, причем F (N ) 6 M . Значит, F (x) ограничена и имеет предел при x → +∞. НоR∞существование предела равносильно сходимости несобственного интеграла f (x) dx.ÌÃÒÓÌÃÒÓf (n + 1) 6иЕсли рядÔÍ-12f (n) =N−1XÔÍ-12ÔÍ-12Складывая эти неравенства для различных значений n, получаемn=1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ60Замечание. Если функция f (x) определена, неотрицательна и убывает на промежутке [a, +∞),∞Pдля знакоположительного рядаan равенство an = f (n) выполняется, начиная с некоторого номераn=1N , то утверждение теоремы 13.4 остается в силе. Действительно, в этом случае достаточно рассмо∞Pтреть функцию fe(x) = f (x + N ), определенную на [0, +∞), и остатокan исходного ряда. Вn=N +1ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 12.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ∞X1.npn=1Если p 6 0, данный ряд расходится согласно необходимому признаку. Поэтому остановимся наслучае p > 0. В этом случае функция f (x) = 1/xp неотрицательна и монотонно убывает на промежутке[1, +∞). Можно применить интегральный признак Коши, и мы заключаем, что сходимость рядаэквивалентна сходимости соответствующего интеграла, который можно вычислить непосредственно:(Z ∞+∞сходится при p > 1,dx1=−—pp−1x(p − 1)x1расходится при p 6 1.1ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Итак, ряд Дирихле сходится, если показатель степени p превышает 1, и расходится в остальныхслучаях.ÔÍ-12ÔÍ-12Пример. Исследуем на сходимость ряд ДирихлеÌÃÒÓÌÃÒÓэтом случае условия теоремы будут выполненными и сходимость ряда будет равносильна сходимостиинтеграла.
Предпринятые модификации интеграла и ряда не влияют на их сходимость.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЗнакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося знакопеременного числового ряда. Признаки Дирихле и Абеля. Свойства знакопеременных числовых рядов (группирование, изменение порядка суммирования, умножение рядов).Знакочередующиеся числовые ряды.
Признак Лейбница. Оценка суммы и остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница.P|an | сходится, то и рядan тоже сходится.PJ Док-во использует критерий Коши. Если ряд|an | сходится, то по критерию Кошиn+pX|ai | < ε.i=n+1Но тогда для выбранного δi=N +1что равносильно сходимости рядаPi=N +1an . IЗамечание. Приведенное доказательство наиболее естественно. Для сравнения приведем другое,более красивое, хотя и не такое очевидное доказательство. Положим((a,a>0,0, an > 0,nna+a−.n =n =0, an 6 0,−an , an 6 0.13.1.
Другие признаки сходимостиPРядan называют знакочередующимся, еслиPлюбые два соседних члена ряда имеют проивоположные знаки. Такой ряд можно записать в виде (−1)n |an |, разделив знак и абсолютное значениечленов ряда.61ÔÍ-12Если q < 1, то по признаку Коши ряд|an | сходится, т.е. исходный ряд сходится абсолютно. Еслиже q > 1, то, как следует из доказательства признака Коши, последовательность {|an |} не стремитсяк 0. Но тогда это верно и для последовательности {an }, т.е.
для ряда не выполняется необходимыйпризнак сходимости и потому он расходится. Те же рассуждения верны и для признака Даламбера.ÌÃÒÓn→∞PÔÍ-12+ + a− и a = a+ − a− . Из первого равенства вытекает сходимость знакоположительныхТогда P|an | = aPnnnnnP+рядовan иa−,аизвторого—сходимостьan .nPPPРядan ,Pдля которого|an | сходится, называют абсолютно сходящимся. Если рядanсходится, но|an | расходится, то его называют сходящимся условно. Теорема 14.1 утверждает,что абсолютная сходимость влечет за собой обычную сходимость или, другими словами, абсолютнаясходимость есть усиление требования обычной сходимости.Признак абсолютной сходимости — простейший признак сходимости знакопеременных рядов.
Этотпризнак, в частности, позволяет для анализа знакопеременных рядов применять признаки Даламбераи Коши. В самом деле, рассмотрим пределplim n |an | = q.ÌÃÒÓ N +p N+p XXai 6|ai | < ε,ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N =⇒ÔÍ-12ÌÃÒÓPÌÃÒÓÌÃÒÓЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕЧИСЛОВЫЕ РЯДЫÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 13Теорема 13.1. Если рядÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12P(−1)n an , an > 0,n→∞б) an+1 6 an , n = 1, ∞.Тогда ряд сходится.J Знак первого члена ряда не является существенным (при необходимости можно ряд умножить на−1).
Для определенности считаем, что он положителен. Тогда последовательность четных частичныхсумм ряда является возрастающей, ограниченной сверху любой нечетной частичной суммой. С другойстороны, последовательность нечетных частичных сумм монотонно убывает и ограничена снизу любойчетной частичной суммой. В самом деле,S2n+2 = S2n + a2n+1 − a2n+2 > S2n ,S2n+3 = S2n+1 − a2n+2 + a2n+3 6 S2n+1ÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 13.2 (Признак Лейбница). Пусть для знакочередующегося рядапри n = 1, ∞, выполняются условия:а) lim an = 0;ÌÃÒÓ62ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13.
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫS2n+2 = S2n+1 − a2n+2 6 S2n+1Эти выкладки означают, что последовательности четных и нечетных частичных сумм имеют предел. Но разность этих последовательностей есть последовательность членов ряда, т.е. стремится к 0.Поэтому единая последовательность частичных сумм имеет предел, т.е. ряд сходится. IЗамечание. Анализируя доказательство, можно получить неравенствоÔÍ-12ÔÍ-12S2n+1 = S2n + a2n+1 > S2nЗначит, сумма остатка знакочередующегося ряда не превосходит первого отброшенного члена.
Таким образом, теорема 14.2 дает не только доказательство сходимости ряда, но и оценку его остатка.Например, чтобы вычислить приближенно сумму ряда∞X(−1)nс точностью 0.001, нужно взять 1000 первых членов ряда. Можно было бы точнее оценить остатокряда, но в данном случае признак Лейбница дает завышение всего лишь в 2 раза.Следующие два признака основываются на техническом приеме, аналогичном интегрированию почастям.Пример. Рассмотрим интегралZ∞sin xdxxπНепосредственно трудно сказать, сходится ли этот несобственный интеграл. Но если его проинтегрировать по частям:Z∞Z∞Z∞1cos x ∞cos xsin xdx = −d (cos x) = −dx, −xxx πx2πππÌÃÒÓÌÃÒÓnÔÍ-12ÔÍ-12n=1ÌÃÒÓÌÃÒÓ|Sn − S| 6 an+1 .Рассмотрим две последовательности {an } и {bn }.
СуммаS=n+pXak bk(13.1)k=n+1(сегмент ряда) может быть преобразована следующим образом. Выберем последовательностьP{Sn }так, что an = Sn − Sn−1 , n = 1, ∞ (например, Sn — последовательность частичных сумм рядаan ).ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12то приходим к интегралу, сходящемуся абсолютно. Поэтому исходный интеграл сходится.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Подставим выражение an через Sn в сумму (13.1):S=pX(Sn+k − Sn+k−1 ) bn+k =k=1pX=pXSn+k bn+k −pXSn+k−1 bn+k =k=1p−1XSn+k bn+k+1 = Sn+p bn+p − Sn bn+1 +k=0p−1XSn+k (bn+k − bn+k+1 ) .k=1Полученное преобразование аналогично рассмотренному выше интегрированию по частям, рольпроизводных играют первые разности последовательностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
