lektsii (830015), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Отметим основные факты, которыми ряды отличаются от последовательностей.ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫÌÃÒÓrn (x) =∞Xfk (x).k=n+1J Утверждение немедленно вытекает из соотношения rn (x) = S(x) − Sn (x), в котором S(x) —сумма ряда в точке x, Sn (x) — n-я частичная сумма ряда в точке x и которое верно для любогонатурального n. IPТеорема 14.6 (необходимый признак сходимости).
Если рядfk (x) сходится равномернона множестве X, то fk (x) −→0приk→∞.−→XДоказательство то же, что и в случае числовых рядов.k=n+1k=n+1k=n+1Pоткуда krn k∞ 6 αn . В силу сходимости рядаan последовательность αn его остатков сходится к 0.−→А это означает, что krn k∞ −→ 0 при n → ∞. IÔÍ-12Теорема14.7 (признакPP Вейерштрасса). Теорема 15.7 Если |fn (x)| 6 an при x ∈ X и n ∈ N,рядan сходится, то рядfn (x) сходится на X равномерно.PJ В каждойточкеx∈Xчисловойрядfn (x) сходится абсолютно в силу 1-го признака сравнения.PЗначит,fn сходится на X поточечно.
Для доказательства равномерной сходимости воспользуемсятеоремой 15.4. В каждой точке x ∈ X имеем оценку∞∞∞ XXX|rn (x)| = fk (x) 6|fk (x)| 6ak = αn ,ÌÃÒÓÔÍ-12XÔÍ-12ÔÍ-12PТеорема 14.5. Пусть ФРfk (x) сходится на множестве X поточечно. Тогда этот ряд сходитсяна X равномерно ⇐⇒ rn (x) −→0−→ при n → ∞, гдеXÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12k=n+1∞Теорема 14.8 (признак Дирихле).
Теорема 15.8 Пусть:P• последовательность частичных сумм рядаαn (x) равномерно ограничена на множестве X;• последовательность {βn (x)} монотонна для любогоPТогда функциональный рядαn (x)βn (x) сходится на X равномерно.J Вспоминаем преобразование Абеля:n+pXαk (x)βk (x) = An+p (x)βn+p (x) − An (x)βn+1 (x) +где An (x) =nPn+p−1XAk (x) bk (x) − bk+1 (x) ,k=n+1αk (x). Учитывая, что частичные суммы An (x) для рядаPαn (x) равномерно ограни-k=1чены, т.е. существует такая константа M , что ∀n ∈ N ∀x ∈ X |An (x)| 6 M , заключаем, что n+pn+p−1 XX bk (x) − bk+1 (x) =αk (x)βk (x) 6 M bn+p (x) + M bn+1 (x) + Mk=n+1k=n+1= M bn+p (x) + M bn+1 (x) + Mn+p−1Xk=n+1= M bn+p (x) + M bn+1 (x) + M bn+1 (x) − bn+p (x) = 2M bn+1 (x).
n+p PСледовательно, αk βk ство. Ik=n+1∞6 kbn+1 k ∞ .Применение критерия Коши ззавершает доказатель-Доказательство аналогично предыдущей теореме, но использует несколько модифицированное преобразование Абеля. Как видно уже из доказательства предыдущей теоремы, практически воспроизводится обоснование аналогичного признака для числовых рядов. Детали предлагается восстановитьсамостоятельно.ÔÍ-12Теорема 14.9 (признак Абеля).
Теорема 15.9 Пусть:P• рядαn (x) равномерно сходится на множестве X;• последовательность {βn (x)} монотонна для любого x ∈ X и на X равномерно ограничена.PТогда функциональный рядαn (x)βn (x) сходится на X равномерно.ÌÃÒÓbk (x) − bk+1 (x) =ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12kfn k∞ = ∞.ÌÃÒÓÌÃÒÓPÔÍ-12Замечание 14.2.
ПризнакP Вейерштрасса неPявляется необходимым. Именно, можно построитьсходящийся равномерно рядfn , для которогоkfn k∞ расходится. Далеко ходить не надо, так какдля частного случая функционального ряда — числового — признак Вейерштрасса превращается впризнак абсолютной сходимости !Но даже если потребовать, чтобы fn (x) > 0, x ∈ X, n = 1, 2, . . ., избавляясь от эффекта абсолютнойсходимости, признак Вейерштрасса не станет необходимым. Рассмотрим последовательность функций114(n+1)(n+1)x−11−nx,x∈,,n+1 nfn (x) =110,x∈/.,n+1 nPРядfn сходится поточечно на [0, 1], так как в каждой точке отрезка только один из членов рядаотличен от 0.
При этом ∞ X4(k + 1)1krn k∞ = fk = max=,k>n+1 4k(k + 1)n+1k=n+1ÌÃÒÓÌÃÒÓ71PЗамечание 14.1. Рядan , на основании которого делают вывод о равномерной сходимости ФР,называютмажорантой. Минимальной мажорантой для данного ФР на множестве XPявляется рядPkfn k∞ . Так что признак Вейерштрасса можно было бы сформулировать так: рядfn сходитсяPравномерно, если ряд kfn k∞ сходится. В такой интерпретации признак Вейерштрасса представляетсобой обобщение признака абсолютной сходимости.т.е.
сходимость равномерная. Однако kfn k∞ = n1 , так чтоÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫÌÃÒÓСТЕПЕННЫЕ РЯДЫ15.1. Интервал сходимостиn=0называют степенным. Параметр x0 — это центр степенного ряда, а члены последовательности{an } — коэффициенты степенного ряда.Область сходимости степенного ряда всегда непуста: рядсходится в своем центре, точкеP заведомоn получается из области сходимостиx0 . Отметим,чтообластьсходимостиDстепенногорядаax0nPD рядаan (x − x0 )n сдвигом на величину x0 влево (если первый сходится в точке y, то второй сходится в точке x = y + x0 , значит между точками двух областей устанавливается взаимно однозначноесоответствие y = x + x0 ).
Это соображение позволяет остановиться на частном случае степенногоряда, имеющего центр в точке 0, и тем самым несколько упростить изложение материала.Степенной ряд по своему характеру близок к геометрической прогрессии. Поэтому для него эффективно применение признаков Коши (радикального) и Даламбера.Пример 15.1. Исследуем на сходимость рядn.Положив an = xn /n, вычисляем варианту Даламбера q: n+1 an+1 xn nq = lim = lim · n = |x| lim= |x|.n→∞n→∞ n + 1 xn→∞ n + 1ann=1n=1Первый из них (точка x = −1) сходится согласно признаку Лейбница, второй расходится, так какявляется гармоническим рядом. Итак, областью сходимости указанного ряда является полуинтервал[−1, 1).ÔÍ-1272ÔÍ-12В общем случае областью сходимости степенного ряда является интервал, полуинтервал или отрезок.
Все варианты описываются термином связное множество“. При этом граничные точки могут”входить в область сходимости, а могут и не входить. Частным случаем интервала является вся числовая ось, а частным случаем отрезка — единственная точка, центр степенного ряда.PТеорема 15.1 (первая теорема Абеля). Если рядan xn сходится в точке x0 , то он сходитсяабсолютно в любой точке x, для которой |x| < |x0 |.ÌÃÒÓПри |x| < 1 ряд сходится абсолютно, при |x| > 1 ряд расходится (если варианта Даламбера превосходит1, то нарушается необходимый признак).
Наконец, при |x| = 1, т.е. в точках −1 и 1, признак Даламбераничего сказать не может, и мы должны исследовать ряд дополнительно. В этих точках степенной ряддает соответственно ряды∞∞XX(−1)n1и.nnÔÍ-12n=1ÌÃÒÓÔÍ-12an (x − x0 )nÌÃÒÓÌÃÒÓ∞XÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓПервая теорема Абеля. Интервал сходимости. Формула Коши — Адамара. Теогрема о равномернойсходимости. Основные свойства (непрерывность, почленное дифференцирование и интегрирование).Вторая теорема Абеля.∞XxnÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 15Функциональный ряд видаÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓСледствие 15.1. Любой степенной ряд имеет такой интервал (−R, R), внутри которого ряд сходится абсолютно, а вне — расходится. При этом на концах интервала ряд может как сходиться, таки расходиться.J Рассмотрим область D сходимости ряда и пусть R = sup{|z| : z ∈ D}.
Тогда согласно определению числа R ряд при |x| > R расходится. Пусть |x| < R. Существует такое значение x0 , что рядсходится в точке x0 и при этом |x| < |x0 | < R. Из первой теоремы Абеля заключаем, что в точке |x|ряд сходится абсолютно. IЧисло R называют радиусом сходимости степенного ряда, интервал (−R, R) — интерваломсходимости этого ряда. Область сходимости степенного ряда представляет собой его интервалсходимости с добавлением, возможно, граничных точек интервала.PПриме́ним к рядуan xn признак Коши (радикальный):pplim n |an xn | = |x| lim n |an | = |x|qÌÃÒÓn→∞n→∞pn|an | = q существует, то согласно признаку ряд сходится абсолютно при |x| < 1/q ирасходится при |x| > 1/q. Значит, число R = 1/q представляет собой радиус сходимости ряда.
Итак,p1= lim n |an |R n→∞(15.1)Соотношение (15.1) известно как формула Коши — Адамара.Предел в (15.1) может не существовать, тогда можно использовать более общую формулу(15.2)Если использовать не признак Коши, а признак Даламбера, то получим еще одну формулу длярадиуса сходимости: an+1 1,= limR n→∞ an Пример 15.2. Рассмотрим ряд∞Xak x2k ,ÌÃÒÓв которой также можно заменить обычный предел на верхний (если обычный не существует).Применение формулы Коши — Адамара может приводить к ошибкам. Поэтому более предпочтительным является исследование степенного ряда непосредственно при помощи признака Коши илиДаламбера.ÔÍ-12p1= lim n |an |R n→∞ÌÃÒÓЕсли предел limÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ73PJ Так как рядan xn0 сходится, последовательность {an xn0 } является бесконечно малой и потомуограничена.
Это значит, что существует такое положительное число M , что |an xn0 | 6 M . Но тогда x nn x |an x | = |an x0 | 6 M ,x0x0 Pxт.е. ряд an xn при |x| < |x0 | мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q = < 1,x0а потому сходится согласно 1-му признаку сравнения. In→∞ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫсодержащий только четные степени. Лобовое“ применение формулы Коши — Адамара к последова”тельности {ak } приводит к пределу√lim n an ,в то время как правильно применять эту формулу к последовательности(ak ,n = 2k,bn =0,n + 2k + 1.ÌÃÒÓn→∞ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12k=0ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12qlimn→∞√nan(предел по нечетным членам последовательности равен 0).
В результате предел limрезультат, если он отличен от 1. #√nan дает неверныйРадиус сходимости может быть нулевым. В этом случае область сходимости состоит из одногоцентра ряда. Радиус может быть и бесконечным, тогда область сходимости есть вся числовая ось.∞PПример 15.3. Рядnn xn расходится всюду, кроме точки 0, так какn=1√1= lim n nn = lim n = ∞.n→∞R n→∞Ряд∞Pxnnn=1 n, наоборот, сходится всюду на числовой оси, так как111= lim √=lim= 0.nR n→∞ nn n→∞ nТеорема15.2 (о равномерной сходимости). Пусть0 — радиус сходимости степенногоPP R>nnрядаan x .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
