lektsii (830015), страница 24
Текст из файла (страница 24)
При каждом дифференцировании мы получаем равномерносходящийся ряд, что означает законность почленного дифференцирования. Последнее (p − 1)-е дифференцирование дает равномерно сходящийся ряд, сумма которого является непрерывной функцией.Эта сумма есть (p − 1)-я производная суммы исходного ряда. IОтметим, что сумма тригонометрического ряда, сходящегося поточечно на отрезке [−l, l], естьпериодическая с периодом 2l функция, так как все члены ряда имеют период 2l, а сходимость будет навсей числовой оси.
Поэтому, например, функция f (x) = x, рассматриваемая на отрезке [−l, l], несмотряна всю свою гладкость, не может быть суммой своего ряда Фурье на всем отрезке. Действительно,сумма ряда Фурье этой функции есть периодическая функция S(x), которая удовлетворяет условиюS(−l) = S(l). Но f (l) 6= f (−l).Итак, говоря о представимости функции своим рядом Фурье, мы должны предполагать либо периодичность функции, либо равенство значений функции на концах отрезка. Последнее позволяетпродолжить функцию как периодическую на всю числовую ось. Отметим, что изменение функциив одной или конечном числе точек не повлияет на ее ряд Фурье, так как коэффициенты этого рядавыражаются интегралами. Поэтому на самом деле мы всегда можем считать выполненным условие периодичности, изменяя, если нужно, значения функции на концах отрезка.
Но при этом периодическоепродолжение функции может оказаться разрывным в точках (2k + 1)l, где k — любое целое.J Из формул Эйлера — Фурье, используя дифференцируемость функции и формулу интегрирования по частям, получаем для n = 1, 2, . . .Zl−lnπx1f (x) cosdx =lnπZlf (x) d sinnπx=l−lZlZl1nπx l1nπx1nπxl0=f (x) sinf (x) sindx = −f 0 (x) sindx = − b(1), −nπl −l nπlnπlnπ n−l−lÌÃÒÓ1an =lÔÍ-12Теорема 17.3.
Если периодическая с периодом 2l функция f (x) имеет непрерывную (p−1)-ю производную, являющуюся кусочно непрерывно дифференцируемой функцией, то для ее коэффициентовФурье верны соотношения11an = O p , bn = O p .nnÌÃÒÓÌÃÒÓто ряд Фурье (17.1) сходится равномерно. Это вытекает непосредственно из признака Вейерштрассаравномерной сходимости функционального ряда, так какnπxnπx acos+bcos n 6 |an | + |bn |, n = 1, 2, . .
.nllÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ87ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ(1)Zlf (x) sinnπxl (1)dx =a ,lnπ nn = 1, 2, . . .−lПовторяя процедуру интегрирования по частям, получаем соотношениеlp (p)c(nπ)p nÔÍ-12cn = ±ÌÃÒÓ1bn =lÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12где bn — синус-коэффициент функции f 0 (x). АналогичноÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ88(p)где символ c использован для общего обозначения коэффициентов, cn обозначает соответствующийкоэффициент Фурье функции f (p) (x), являющейся кусочно непрерывной функцией. Для такой функции,согласно неравенству Бесселя,∞X2(p) 2< +∞.|a(p)n | + |bn |n=1ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕÔÍ-12ÔÍ-12Замечание 17.2.
Доказанных теорем достаточно, чтобы обосновать замкнутость тригонометрической системы в евклидовом пространстве R[−l, l] и его пополнении. В самом деле, интеграл любойинтегрируемой функции аппроксимируется своей интегральной суммой, т.е. для любого ε можно выбрать разбиение отрезка так, что lZmX f (x) dx −f (ξk ) ∆xk < ε.k=1ÌÃÒÓНо указанная интегральная сумма может рассматриваться как интеграл кусочно постоянной функцииf (ξ1 ), x0 6 x 6 x1 ;f (ξ2 ), x1 < x 6 x2 ;fe(x) =. . . .
. . . . . . . .f (ξn ), xn−1 < x 6 xn .ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ(p)Поэтому |cn | 6 M < +∞ как сходящаяся к нулю последовательность, а для коэффициентов an и bnполучаем нужное соотношение. I 1Замечание 17.1. Две доказанные теоремы имеют зазор в две единицы: если an , bn = O p , тоn 1f ∈ C p−2 , а если f ∈ C p , то an , bn = O p . Этот зазор, к сожалению, неустраним.
Однако примеры,nподтверждающие этот тезис, построить непросто. Мы их приводить не будем.Тем не менее, на практике эти две теоремы позволяют судить о порядке малости коэффициентовФурье по виду функции. Пусть функция f (x) кусочно непрерывна, причем всюду имеет кусочно непрерывные производные первого и второго порядка (в точках разрыва односторонние производные2 ).Тогда функцию можно представить в виде f (x) = f0 (x) + l(x), где f0 (x) — дважды непрерывно дифференцируема, а l(x) кусочно линейная функция, которая, возможно, имеет разрывы первого рода.Коэффициенты Фурье функции f0 (x), согласно теореме 18.3, имеют порядок 1/n2 , в то время какпорядок коэффициентов Фурье функции l(x) равен 1/n (это проверяется непосредственно).
Значит,функция f (x) имеет коэффициенты Фурье порядка 1/n.Если функция f (x) имеет непрерывную производную (с учетом условия периодичности), а втораяпроизводная кусочно непрерывна, то коэффициенты Фурье будут иметь порядок малости 1/n2 .ÔÍ-12−l l l ZlZ ZZl f (x) dx − fe(x) dx = f (x) − fe(x) dx = f (x) − fe(x) dx < ε. −l−l−l−lНо тогдаZlf (x) − fe(x)2 dx 6 maxf (x) − fe(x)Zl[−l,l]−lf (x) − fe(x) dx 6 2M ε,−lгде M — верхняя грань функции |f (x)|.
Таким образом, для любой интегрируемой функции f (x)можно выбрать кусочно постоянную функцию fe(x), отличающуюся от f (x) по норме на сколь угодномалую величину.2Таковы составные функции, совпадающие с элементарными функциями на частичных интервалах области определения.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓВыбрав в качестве точек ξk те, в которых достигается минимум f (x) на отрезке [xk−1 , xk ], получимÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Любая кусочно постоянная функция есть линейная комбинация функций вида(1, x ∈ [α, β],g(x) =0, x ∈/ [α, β],ÌÃÒÓÌÃÒÓгде −l 6 α 6 β 6 l. Но любую подобного вида функцию можно изменить в малой окрестности точек α иβ так, что получится бесконечнодифференцируемая функция (рис. 17.1). При этом разность исходнойи модифицированной функций может быть сколь угодно мала по норме.yl xlÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ89ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕБесконечнодифференцируемая функция есть сумма своего ряда Фурье, как следует из теорем 18.1и 18.3.
Значит, ее можно аппроксимировать частичными суммами ряда Фурье, являющимися линейными комбинациями тригонометрической системы.Итак, получилась цепочка последовательных приближений (рис. 17.2).êóñî÷íîïîñò.R[a,b]òðèãîíîì.ñèñòåìàÑ1[a, b]ÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 17.1Частичные суммы можно представить в интегральной форме, если в соответствующую суммувместо коэффициентов Фурье подставить их выражения по формулам Эйлера — Фурье.Для упрощения рассмотрим частный случай l = π. В суммуNSN (f ) =a0 X+(ak cos kx + bk sin kx)2ÔÍ-12ÔÍ-1217.3.
Условия сходимости ряда Фурье в точкеÌÃÒÓÌÃÒÓРис. 17.2k=1подставим интегральные формулы для коэффициентов. ПолучимZπ1SN (f ) =2πZπZπN1 Xf (t) dt +cos kx f (x) cos kt dt + sin kx f (x) sin kt dt =πk=1−πÌÃÒÓ12πf (t) dt +−πZπ1=2π−π1π−πN ZπXk=1−πN Zπ1Xf (t) dt +πk=1−π−πf (x) cos kx cos kt + sin kx sin kt dt =1f (x) cos k(x − t) dt =πZπ−πN1 Xf (t)+cos k(x − t) dt.2k=1ÌÃÒÓ=ZπNDN (t) =1 X+cos kt.2(17.2)k=1Так как2 k=12 sinα1cos kα =α22 sin2 k=11αisinN+α − sin1122sin k + α − sin k − α =,α222sinÌÃÒÓÔÍ-12k=11α2 sinN hX2ÔÍ-12cos kα =NXÌÃÒÓNXÔÍ-12ÔÍ-12Выражение в скобках, зависящее от x − t, определяет функциюÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12DN (t) =2 sin.ПоэтомуSN (f ) =1πZπf (t) DN (x − t) dt =−π1π1sin N + (x − t)Zπf (t)−π2x−t2 sin2dt =1π1sin N + tZπ2f (x − t)2 sin−πt2dt.Функцию DN (t) называют ядром Дирихле. Через эту функцию частичные суммы ряда Фурье представляются следующим образом:ZπZπ1f (t) DN (x − t) dt =π−πf (x − t) DN (t) dt.−πÔÍ-12ÔÍ-122t2Ядро Дирихле обладает двумя важнейшими свойствами:• ядро Дирихле — четная и периодичная (период 2π) функция;ZπZπ11•DN (t) dt =DN (x − t) dt = 1.ππ−πÌÃÒÓÌÃÒÓ1sin N + t1SN (f ) =π−πПервое свойство вытекает из вида ядра Дирихле.
Второе свойство нетрудно проверить непосредственно, проинтегрировав сумму (17.2). Это свойство можно также интерпретировать как представления рядом Фурье функции h(x) ≡ 1. Эта функция входит в тригонометрическую систему, и поэтомуее ряд Фурье содержит единственное ненулевое слагаемое. Очевидно, что он сходится всюду, причемвсе частичные суммы, начиная со второй одинаковы и равны сумме ряда, т.е. самой функции.Лемма 17.1 (лемма Римана). Для любой интегрируемой на отрезке [a, b] функции f и любогочисла p верно соотношениеZblimf (x) sin(px) dx = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12заключаем, чтоÌÃÒÓ90ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕaÔÍ-12ÔÍ-12p→∞J Если f (x) непрерывно дифференцируема, то, интегрируя по частям, получаем:Zb1f (x) sin(px) dx = −paZb b 1 Zb1f (x) d(cos(px)) = − f (x)cos(px) +f 0 (x) cos(px) dx.ppaaaaaпри p → ∞, где M — общая верхняя грань функций |f (x)| и |f 0 (x)|.Для произвольной функции f ∈ R[a, b] и любого ε > 0 можно указать такую непрерывно дифференцируемую функцию h(x), что kf − hk < ε.
Согласно неравенству Коши — Буняковского b b bZ Z Z f (x) sin(px) dx 6 h(x) sin(px) dx + f (x) − h(x) sin(px) dx 6 aaa bZ6 h(x) sin(px) dx + kf − hk ksin(px)k .ÔÍ-12ÔÍ-12 bZZb |f (a)| + |f (b)| 1M (b − a + 2) f (x) sin(px) dx 6+|f 0 (x)| dx 6→0pppÌÃÒÓÌÃÒÓСледовательно,aÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓТак как утверждение верно для функции h(x), величина bZ h(x) sin(px) dxaбудет меньше ε, начиная с некоторого номера.
Значит, bZ f (x) sin(px) dx 6 (1 + ksin(px)k)ε,aначиная с некоторого номера. Но это равносильно существованию нулевого предела. InπТеорема 17.4 (Дини). Теорема 18.4 Пусть интегрируемая на [−π, π] функция f (x) имеет в точкеx0 ∈ [−π, π] разрыв первого рода и в этой точке для некоторого δ > 0 выполнены условия ДиниZδ f (x0 ± t) − f (x0 ± 0)tdt < +∞.0ÔÍ-12Замечание 17.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
