lektsii (830015), страница 26

Файл №830015 lektsii (А. Н. Канатников Кратные интегралы и ряды, конспект лекций) 26 страницаlektsii (830015) страница 262021-02-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

. . ,n = 1, 2, . . .cn einπx/l называют тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.n=−∞ÔÍ-12Zlf (x)e−inπxl dx,n ∈ N,(17.7)−lчто можно записать через скалярное произведение в комплексном пространстве:inπx f, e lcn = inπx ,e l 2так как inπx 2e l =Zlinπxinπxe l e− lZldx =dx = 2l.−l−lФормулы (17.7) вытекают из формул Эйлера — Фурье для произвольной ортогональной системы,но могут быть получены и из формул Эйлера — Фурье для тригонометрической системы. Например,при n > 0 имеем:Zlinπxf (x) cosdx −l2l−lZlf (x) sinnπxdx =l−l1=2lZlZlinπxnπxnπx 1f (x) cos− i sindx =f (x)e− l dx.ll2lÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ−lÌÃÒÓÔÍ-12−lÌÃÒÓ1an − ibn=cn =22lÔÍ-12ÌÃÒÓ1cn =2lÌÃÒÓÌÃÒÓЕго коэффициенты могут быть найдены по формуламÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Лекция 18ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕÌÃÒÓÌÃÒÓПредельный переход в ряде Фурье. Обоснование интеграла Фурье. Интеграл Фурье четных и нечетных функций. Косинус- и синус-преобразования Фурье. Комплексная форма записи. Интегральноепреобразование Фурье и его основные свойства. Преобразование Фурье дельта-функции Дирака.Рассмотрим ряд Фурье функции f на произвольном отрезке [−l, l]:∞a0 Xnπxnπx f (x) ∼+an cos+ bn sin.2llПодставим в него формулы для коэффициентов:1f (x) ∼2lZl−lZl∞1 Xhnπxf (x) dx +coslln=1nπtnπxf (t) cosdt + sinll−lZl∞1 Xhf (x) dx +lZlf (t) cosn=1 −linπ(x − t) dt .lЕсли f (x) абсолютно интегрируема на числовой оси, то при l → ∞ первый интеграл сходится кнулю. Оставшаяся часть напоминает интегральную сумму, составленную для разбиения положительной полуоси на равные интервалы длиной π/l.

Это, конечно, не интегральная сумма, так как такаясумма составляется для конечного интервала, но если пренебречь строгостью, то в пределе при l → ∞мы приходим к интегралу от функцииϕ(y) =f (t) cos y(x − t) dt−∞и представлению исходной функции в виде1f (x) =πZ∞1ϕ(y) dy =πZ∞Z∞dy0f (t) cos y(x − t) dt.(18.1)−∞0−∞Z∞Z∞dt−∞f (t) cos y(x − t) dy =0Z∞=Z∞f (t) dt−∞cos y(x − t) dy =096Z∞−∞sin y(x − t) ∞f (t) dt · .x−t0ÔÍ-12dyf (t) cos y(x − t) dt =ÔÍ-12Z∞ÌÃÒÓИнтеграл в правой части (18.1) называют интегралом Фурье, а само равенство (18.1) — формулой Фурье.Формула Фурье может быть доказана путем указанного предельного перехода, который мы не обосновали.

Однако проще поступить по-другому. Вспомним, что представление функции рядом Фурьебыло получено подстановкой интегралов вместо коэффициентов Фурье и перестановкой интеграловсо знаком суммы. Здесь мы вместо знака суммы имеем второй интеграл. Переставим в повторноминтеграле пределы интегрирования:Z∞ÔÍ-12Z∞ÌÃÒÓÌÃÒÓnπt idt =lÌÃÒÓÔÍ-12f (t) sin−l0ÌÃÒÓZl−l1=2lÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12n=1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ97Мы получили некорректное выражение, говорящее о том, что вот так в лоб“ менять порядок инте”грирования в несобственном интеграле нельзя.

Попробуем поступить немного иначе:Z∞ZTdy0f (t) cos y(x − t) dt =−∞Z∞−∞Z∞sin T (x − t)sin y(x − t) Tf (t)f (t) dt ·dt. =x−tx−t0−∞Получился интеграл, весьма близкий к тому, который мы анализировали при доказательстве теоремыДини и который можно рассматривать как аналог интеграла, представляющего с помощью ядра Дирихле частичные суммы ряда Фурье. Далее используем прежнюю схему. Разбиваем интеграл Фурьена два:1πZ∞Z∞Z∞Z∞sin T (x − t)sin(T t)sin(T t)11sin(T t)f (t)f (x − t)f (x + t)dt =dt =dt + f (x − t)dt =x−tπtπtt−∞−∞000Отметим без доказательства, что2πZ∞sin(T t)dt = 1.t0ÔÍ-12Z∞ sin(T t)1 f (x + t) + f (x − t)=dt.πtÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 18.

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ1πZ∞sin T (x − t)f (x + 0) + f (x − 0)f (t)dt −=x−t2−∞2=πZ∞ Z∞ f (x + t) − f (x + 0)f (x − t) − f (x − 0)2sin(T t) dt +sin(T t) dt.tπt00ÌÃÒÓÌÃÒÓПоэтомуÌÃÒÓϕ(t) sin(T t) dt.0Теорема 18.1 (Дини). Если в точке x абсолютно интегрируемая функция f (x) удовлетворяетусловию ДиниZδ f (x ± t) − f (x ± 0) dt < +∞,tÔÍ-12Если функция ϕ абсолютно интегрируема, то указанный интеграл сходится к нулю при T → ∞.Отметим, что если T = nπ/l и функция ϕ(t) равна нулю вне отрезка [0, l], то этот интеграл даетn-й коэффициент Фурье этой функции на отрезке [−l, l]. Последовательность коэффициентов Фурьеинтегрируемой функции стремится к нулю. Это, разумеется, лишь ассоцияция и ничего всерьез недоказывает.

Доказательство же проводится модификацией леммы Римана.Итак, изложен эскиз вывода интеграла Фурье, в котором не были проверены утверждения:1) возможность перестановки пределов интегрирования в несобственном интеграле (после заменыодного из пределов на T интеграл остался несобственным);Z∞sin(T t)π2) равенствоdt = ;t2Z∞03) лемма Римана, согласно которой limϕ(t) sin(T t) dt = 0 для абсолютно интегрируемой функT →∞ции ϕ.0Окончательный результат такой.ÌÃÒÓÔÍ-12Z∞ÔÍ-12ÔÍ-12Итак, оцениваемая разность свелась к двум однотипным интегралам вида0ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12dy0f (x + 0) + f (x − 0)f (t) cos y(x − t) dt =.2Теорема 18.2 (Дирихле). Если функция f (x) абсолютно интегрируема на R и удовлетворяетусловиям Дирихле (кусочно непрерывна и кусочно монотонна на любом конечном отрезке), то в каждойточке x ∈ R верно представление (18.2).18.1.

Четные и нечетные функцииДля четных и нечетных функций, как и в рядах Фурье, интеграл Фурье можно упростить. Еслиf (x) четна, то1f (x) ∼πZ∞Z∞1f (t) cos y(x − t) dt =πdy−∞0Z∞Z∞dy−∞Z∞02=πf (t) cos xy cos ty + sin xy sin ty dt =Z∞2f (t) cos xy cos ty dt =πdy00Z∞cos xy dyf (t) cos ty dt.0Формула Фурье распадается на две симметричные формулы:r Z∞2F (y) =f (t) cos ty dt,πr Z∞2f (x) =F (y) cos xy dx,π0(18.3)0(18.4)ÔÍ-12Симметричная форма интеграла Фурье, аналогичная косинус- или синус-преобразованию Фурье,в общем случае может быть получена в классе комплекснозначных функций. Отметим, что в силучетности косинусаÌÃÒÓПо существу, это одна и та же формула, определяющая в линейном пространстве абсолютно интегрируемых функций линейный оператор, а представление функции интегралом Фурье означает, чтоуказанный оператор является обратным самому себе.Разумеется, четные функции можно получать как четное продолжение функций, определенныхна промежутке [0, +∞).

Значит, формулы (18.3) верны для любой функции на [0, +∞). Указанныйлинейный оператор называют косинус-преобразованием Фурье.Для нечетных функций на R или функций на [0, +∞), продолженных нечетным образом, рассуждаяаналогично, получаем синус-преобразование Фурье:ÌÃÒÓÌÃÒÓZ∞0r Z∞2F (y) =f (t) sin ty dt,πr Z∞2f (x) =F (y) sin xy dx.π0018.2. Симметричная форма интеграла Фурье1πZ∞Z∞dy0−∞f (t) cos y(x − t) dt = y = −zZ0Z∞ 1=dzf(t)cosz(x−t)dt.

π−∞−∞Поэтому формулу Фурье можно переписать в виде1f (x) =2πZ∞Z∞dy−∞f (t) cos y(x − t) dt.ÔÍ-12ÔÍ-12(18.2)−∞−∞ÔÍ-12ÌÃÒÓZ∞ÌÃÒÓÔÍ-12Z∞ÔÍ-12ÌÃÒÓ1πÌÃÒÓÔÍ-12тоÌÃÒÓ98ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Z∞dy−∞f (t) sin y(x − t) dt,−∞−T−∞ВеличинуZTlimT →∞−Tϕ(x) dxграл (18.5) равен нулю в смысле главного значения. Сложим интеграл Фурье с этим, равным нулюинтегралом, умноженным на мнимую единицу. Получим1f (x) =2πZ∞Z∞dyf (t) cos y(x − t) + i sin y(x − t) dt =−∞1=2πZ∞Z∞dy−∞iy(x−t)f (t)e−∞Z∞1dt =2πixyeZ∞dy−∞f (t)e−iyt dt.−∞Таким образом, формула Фурье распадается на две:Z∞F (y) =f (t)e−iyt dt,1f (x) =2πZ∞F (y)eixy dx.(18.6)−∞Формулы (18.6) определяют прямое и обратное преобразование Фурье. Прямое преобразованиеФурье определено для любой абсолютно интегрируемой функции. Обратное преобразование Фурьеописывает линейный оператор, обратный прямому преобразованию Фурье, и позволяет восстановитьфункцию по ее образу.

Интеграл Фурье показывает, что любая приличная“ функция восстанавли”вается по своему преобразованию Фурье. Но при этом интеграл в обратном преобразовании Фурьепонимается в смысле главного значения.Преобразование Фурье функции f будем обозначать F [f ].

Таким образом, F [f ](w) — значениефункции F [f ] в точке w.18.3. Свойства преобразования ФурьеZ∞|fn − f | dx → 0,n → ∞,−∞то F [fn ] −→−→ F [f ] при n → ∞.ÔÍ-12Свойство 1. Если функциональная последовательность {fn } абсолютно интегрируемых функцийсходится к некоторой функции f в среднем, т.е.ÌÃÒÓЗамечание. В теории преобразования Фурье исходную функцию часто называют оригиналом, аее преобразование Фурье — изображением.

Преобразование Фурье данной функции также называютее спектром.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ϕ(x) dx. Таким образом, инте-−∞ÌÃÒÓÌÃÒÓR∞ÔÍ-12называют главным значением несобственного интеграла−∞ÔÍ-12(18.5)если сходится, равняется нулю как интеграл от нечетной функции на симметричном промежутке. Нов любом случаеZTZ∞1dyf (t) sin y(x − t) dt = 0.limT →∞ 2π−∞ÌÃÒÓZ∞ÌÃÒÓÌÃÒÓ12πÌÃÒÓÔÍ-12ИнтегралÌÃÒÓ99ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ100J Это утверждение вытекает из неравенства kF [f ]k∞ 6 kf k1 , гдеZ∞kϕk∞ = sup |ϕ(w)|,kf k1 =w|f (x)| dx.I−∞Свойство 2. Если функция f и все ее производные до порядка k включительно абсолютно интегрируемы на R, тоM|F [f ](w)| 6.|w|kJ Если f и f 0 абсолютно интегрируемы, то, используя правило интегрирования по частям, получаемZ∞Z∞∞00−iwt−iwt +f (t)(iw)e−iwt dt = (iw)F [f ](w).F [f ](w) =f (t)edt = f (t)eÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ−∞−∞Здесь мы использовали следующее соображение. Если f 0 абсолютно интегрируема, то f (t) имеетпредел при t → ∞, определяемый несобственным интегралом от f 0 (t).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
41,31 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее