lektsii (830015), страница 26
Текст из файла (страница 26)
. . ,n = 1, 2, . . .cn einπx/l называют тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.n=−∞ÔÍ-12Zlf (x)e−inπxl dx,n ∈ N,(17.7)−lчто можно записать через скалярное произведение в комплексном пространстве:inπx f, e lcn = inπx ,e l 2так как inπx 2e l =Zlinπxinπxe l e− lZldx =dx = 2l.−l−lФормулы (17.7) вытекают из формул Эйлера — Фурье для произвольной ортогональной системы,но могут быть получены и из формул Эйлера — Фурье для тригонометрической системы. Например,при n > 0 имеем:Zlinπxf (x) cosdx −l2l−lZlf (x) sinnπxdx =l−l1=2lZlZlinπxnπxnπx 1f (x) cos− i sindx =f (x)e− l dx.ll2lÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ−lÌÃÒÓÔÍ-12−lÌÃÒÓ1an − ibn=cn =22lÔÍ-12ÌÃÒÓ1cn =2lÌÃÒÓÌÃÒÓЕго коэффициенты могут быть найдены по формуламÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Лекция 18ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕÌÃÒÓÌÃÒÓПредельный переход в ряде Фурье. Обоснование интеграла Фурье. Интеграл Фурье четных и нечетных функций. Косинус- и синус-преобразования Фурье. Комплексная форма записи. Интегральноепреобразование Фурье и его основные свойства. Преобразование Фурье дельта-функции Дирака.Рассмотрим ряд Фурье функции f на произвольном отрезке [−l, l]:∞a0 Xnπxnπx f (x) ∼+an cos+ bn sin.2llПодставим в него формулы для коэффициентов:1f (x) ∼2lZl−lZl∞1 Xhnπxf (x) dx +coslln=1nπtnπxf (t) cosdt + sinll−lZl∞1 Xhf (x) dx +lZlf (t) cosn=1 −linπ(x − t) dt .lЕсли f (x) абсолютно интегрируема на числовой оси, то при l → ∞ первый интеграл сходится кнулю. Оставшаяся часть напоминает интегральную сумму, составленную для разбиения положительной полуоси на равные интервалы длиной π/l.
Это, конечно, не интегральная сумма, так как такаясумма составляется для конечного интервала, но если пренебречь строгостью, то в пределе при l → ∞мы приходим к интегралу от функцииϕ(y) =f (t) cos y(x − t) dt−∞и представлению исходной функции в виде1f (x) =πZ∞1ϕ(y) dy =πZ∞Z∞dy0f (t) cos y(x − t) dt.(18.1)−∞0−∞Z∞Z∞dt−∞f (t) cos y(x − t) dy =0Z∞=Z∞f (t) dt−∞cos y(x − t) dy =096Z∞−∞sin y(x − t) ∞f (t) dt · .x−t0ÔÍ-12dyf (t) cos y(x − t) dt =ÔÍ-12Z∞ÌÃÒÓИнтеграл в правой части (18.1) называют интегралом Фурье, а само равенство (18.1) — формулой Фурье.Формула Фурье может быть доказана путем указанного предельного перехода, который мы не обосновали.
Однако проще поступить по-другому. Вспомним, что представление функции рядом Фурьебыло получено подстановкой интегралов вместо коэффициентов Фурье и перестановкой интеграловсо знаком суммы. Здесь мы вместо знака суммы имеем второй интеграл. Переставим в повторноминтеграле пределы интегрирования:Z∞ÔÍ-12Z∞ÌÃÒÓÌÃÒÓnπt idt =lÌÃÒÓÔÍ-12f (t) sin−l0ÌÃÒÓZl−l1=2lÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12n=1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ97Мы получили некорректное выражение, говорящее о том, что вот так в лоб“ менять порядок инте”грирования в несобственном интеграле нельзя.
Попробуем поступить немного иначе:Z∞ZTdy0f (t) cos y(x − t) dt =−∞Z∞−∞Z∞sin T (x − t)sin y(x − t) Tf (t)f (t) dt ·dt. =x−tx−t0−∞Получился интеграл, весьма близкий к тому, который мы анализировали при доказательстве теоремыДини и который можно рассматривать как аналог интеграла, представляющего с помощью ядра Дирихле частичные суммы ряда Фурье. Далее используем прежнюю схему. Разбиваем интеграл Фурьена два:1πZ∞Z∞Z∞Z∞sin T (x − t)sin(T t)sin(T t)11sin(T t)f (t)f (x − t)f (x + t)dt =dt =dt + f (x − t)dt =x−tπtπtt−∞−∞000Отметим без доказательства, что2πZ∞sin(T t)dt = 1.t0ÔÍ-12Z∞ sin(T t)1 f (x + t) + f (x − t)=dt.πtÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 18.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ1πZ∞sin T (x − t)f (x + 0) + f (x − 0)f (t)dt −=x−t2−∞2=πZ∞ Z∞ f (x + t) − f (x + 0)f (x − t) − f (x − 0)2sin(T t) dt +sin(T t) dt.tπt00ÌÃÒÓÌÃÒÓПоэтомуÌÃÒÓϕ(t) sin(T t) dt.0Теорема 18.1 (Дини). Если в точке x абсолютно интегрируемая функция f (x) удовлетворяетусловию ДиниZδ f (x ± t) − f (x ± 0) dt < +∞,tÔÍ-12Если функция ϕ абсолютно интегрируема, то указанный интеграл сходится к нулю при T → ∞.Отметим, что если T = nπ/l и функция ϕ(t) равна нулю вне отрезка [0, l], то этот интеграл даетn-й коэффициент Фурье этой функции на отрезке [−l, l]. Последовательность коэффициентов Фурьеинтегрируемой функции стремится к нулю. Это, разумеется, лишь ассоцияция и ничего всерьез недоказывает.
Доказательство же проводится модификацией леммы Римана.Итак, изложен эскиз вывода интеграла Фурье, в котором не были проверены утверждения:1) возможность перестановки пределов интегрирования в несобственном интеграле (после заменыодного из пределов на T интеграл остался несобственным);Z∞sin(T t)π2) равенствоdt = ;t2Z∞03) лемма Римана, согласно которой limϕ(t) sin(T t) dt = 0 для абсолютно интегрируемой функT →∞ции ϕ.0Окончательный результат такой.ÌÃÒÓÔÍ-12Z∞ÔÍ-12ÔÍ-12Итак, оцениваемая разность свелась к двум однотипным интегралам вида0ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12dy0f (x + 0) + f (x − 0)f (t) cos y(x − t) dt =.2Теорема 18.2 (Дирихле). Если функция f (x) абсолютно интегрируема на R и удовлетворяетусловиям Дирихле (кусочно непрерывна и кусочно монотонна на любом конечном отрезке), то в каждойточке x ∈ R верно представление (18.2).18.1.
Четные и нечетные функцииДля четных и нечетных функций, как и в рядах Фурье, интеграл Фурье можно упростить. Еслиf (x) четна, то1f (x) ∼πZ∞Z∞1f (t) cos y(x − t) dt =πdy−∞0Z∞Z∞dy−∞Z∞02=πf (t) cos xy cos ty + sin xy sin ty dt =Z∞2f (t) cos xy cos ty dt =πdy00Z∞cos xy dyf (t) cos ty dt.0Формула Фурье распадается на две симметричные формулы:r Z∞2F (y) =f (t) cos ty dt,πr Z∞2f (x) =F (y) cos xy dx,π0(18.3)0(18.4)ÔÍ-12Симметричная форма интеграла Фурье, аналогичная косинус- или синус-преобразованию Фурье,в общем случае может быть получена в классе комплекснозначных функций. Отметим, что в силучетности косинусаÌÃÒÓПо существу, это одна и та же формула, определяющая в линейном пространстве абсолютно интегрируемых функций линейный оператор, а представление функции интегралом Фурье означает, чтоуказанный оператор является обратным самому себе.Разумеется, четные функции можно получать как четное продолжение функций, определенныхна промежутке [0, +∞).
Значит, формулы (18.3) верны для любой функции на [0, +∞). Указанныйлинейный оператор называют косинус-преобразованием Фурье.Для нечетных функций на R или функций на [0, +∞), продолженных нечетным образом, рассуждаяаналогично, получаем синус-преобразование Фурье:ÌÃÒÓÌÃÒÓZ∞0r Z∞2F (y) =f (t) sin ty dt,πr Z∞2f (x) =F (y) sin xy dx.π0018.2. Симметричная форма интеграла Фурье1πZ∞Z∞dy0−∞f (t) cos y(x − t) dt = y = −zZ0Z∞ 1=dzf(t)cosz(x−t)dt.
π−∞−∞Поэтому формулу Фурье можно переписать в виде1f (x) =2πZ∞Z∞dy−∞f (t) cos y(x − t) dt.ÔÍ-12ÔÍ-12(18.2)−∞−∞ÔÍ-12ÌÃÒÓZ∞ÌÃÒÓÔÍ-12Z∞ÔÍ-12ÌÃÒÓ1πÌÃÒÓÔÍ-12тоÌÃÒÓ98ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Z∞dy−∞f (t) sin y(x − t) dt,−∞−T−∞ВеличинуZTlimT →∞−Tϕ(x) dxграл (18.5) равен нулю в смысле главного значения. Сложим интеграл Фурье с этим, равным нулюинтегралом, умноженным на мнимую единицу. Получим1f (x) =2πZ∞Z∞dyf (t) cos y(x − t) + i sin y(x − t) dt =−∞1=2πZ∞Z∞dy−∞iy(x−t)f (t)e−∞Z∞1dt =2πixyeZ∞dy−∞f (t)e−iyt dt.−∞Таким образом, формула Фурье распадается на две:Z∞F (y) =f (t)e−iyt dt,1f (x) =2πZ∞F (y)eixy dx.(18.6)−∞Формулы (18.6) определяют прямое и обратное преобразование Фурье. Прямое преобразованиеФурье определено для любой абсолютно интегрируемой функции. Обратное преобразование Фурьеописывает линейный оператор, обратный прямому преобразованию Фурье, и позволяет восстановитьфункцию по ее образу.
Интеграл Фурье показывает, что любая приличная“ функция восстанавли”вается по своему преобразованию Фурье. Но при этом интеграл в обратном преобразовании Фурьепонимается в смысле главного значения.Преобразование Фурье функции f будем обозначать F [f ].
Таким образом, F [f ](w) — значениефункции F [f ] в точке w.18.3. Свойства преобразования ФурьеZ∞|fn − f | dx → 0,n → ∞,−∞то F [fn ] −→−→ F [f ] при n → ∞.ÔÍ-12Свойство 1. Если функциональная последовательность {fn } абсолютно интегрируемых функцийсходится к некоторой функции f в среднем, т.е.ÌÃÒÓЗамечание. В теории преобразования Фурье исходную функцию часто называют оригиналом, аее преобразование Фурье — изображением.
Преобразование Фурье данной функции также называютее спектром.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ϕ(x) dx. Таким образом, инте-−∞ÌÃÒÓÌÃÒÓR∞ÔÍ-12называют главным значением несобственного интеграла−∞ÔÍ-12(18.5)если сходится, равняется нулю как интеграл от нечетной функции на симметричном промежутке. Нов любом случаеZTZ∞1dyf (t) sin y(x − t) dt = 0.limT →∞ 2π−∞ÌÃÒÓZ∞ÌÃÒÓÌÃÒÓ12πÌÃÒÓÔÍ-12ИнтегралÌÃÒÓ99ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ100J Это утверждение вытекает из неравенства kF [f ]k∞ 6 kf k1 , гдеZ∞kϕk∞ = sup |ϕ(w)|,kf k1 =w|f (x)| dx.I−∞Свойство 2. Если функция f и все ее производные до порядка k включительно абсолютно интегрируемы на R, тоM|F [f ](w)| 6.|w|kJ Если f и f 0 абсолютно интегрируемы, то, используя правило интегрирования по частям, получаемZ∞Z∞∞00−iwt−iwt +f (t)(iw)e−iwt dt = (iw)F [f ](w).F [f ](w) =f (t)edt = f (t)eÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ−∞−∞Здесь мы использовали следующее соображение. Если f 0 абсолютно интегрируема, то f (t) имеетпредел при t → ∞, определяемый несобственным интегралом от f 0 (t).