lektsii (830015), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если a = −l, b = l, p =, то интеграл под знаком предела в лемме Римана даетlзначение коэффициентов Фурье (с точностью до числового множителя). В этом частном случае равенство предела нулю вытекает из свойства коэффициентов Фурье, стремящихся к нулю при возрастанииномера.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ91ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕJ Доказательство сводится к использованию интегрального представления частичных сумм рядаФурье и к анализу этого представления.Итак,ZπZ0f (x − t) DN (t) dt =SN (f ) =−πf (x − t) DN (t) dt +−πZπZπf (x − t) DN (t) dt =+0f (x − t) + f (x + t) DN (t) dt.0ÔÍ-12ÔÍ-12f (x0 − 0) + f (x0 + 0).2ÌÃÒÓÌÃÒÓТогда ряд Фурье функции f (x) сходится в точке x0 к значениюZπf (x0 − 0) + f (x0 + 0)DN (t) dt =2−πZπf (x0 − 0) + f (x0 + 0) DN (t) dt.0Вычитая это тождество из представления SN (f ), получаемf (x0 − 0) + f (x0 + 0)=2ZπZπf (x + t) − f (x + 0) DN (t) dt +f (x − t) − f (x − 0) DN (t) dt.
(17.3)=00Рассмотрим один из этих двух похожих интегралов, например первый. Для него имеемf (x + t) − f (x + 0) DN (t) dt =0f (x + t) − f (x + 0)1sin N +t dt.22 sin 2tÌÃÒÓ0ZπÔÍ-12ZπÌÃÒÓSN (f ) −ÔÍ-12ÔÍ-12f (x0 − 0) + f (x0 + 0)=2ÌÃÒÓÌÃÒÓИз свойств ядра Дирихле вытекает тождествоÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12t2интегрируема на отрезке [−π, π], по лемме Римана приходим к выводу, что интеграл стремится кнулю при N → ∞. Аналогичное утверждение верно и для второго интеграла в (17.3).
Значит,SN (f ) −f (x0 − 0) + f (x0 + 0)→02при N → ∞. IСледствие. Если интегрируемая на [−π, π] функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то рядФурье этой функции в точке x0 сходится к значению f (x0 ).J Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то существует конечный пределf (x0 + t) − f (x0 )= f 0 (x0 ).t→±0tlimПоэтому условия Дини в точке x0 выполнены и можно применить теорему Дини.
IЗамечание 17.4. Из доказанной теоремы вытекает, что если функция f в точках −π и π имеетодносторонние производные, то ряд Фурье в этих точках сходится к значению 21 [f (−π) + f (π)]. Поусловиям периодичности функции f правосторонний предел в точке −π следует рассматривать какправосторонний предел и в точке π, и аналогично трактуется левосторонний предел.Эта теорема дается без доказательства. Однако отметим, что функция f (x) имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда представима в виде разности двух монотонных функций.Из этого критерия нетрудно заключить, что функция ограниченной вариации в каждой точке имеетодносторонние пределы и, следовательно, в каждой точке отрезка [−π, π] определено выражение (17.4).J Условие кусочной монотонности означает, что отрезок [−π, π] можно разбить на конечное числоотрезков так, что на каждом частичном отрезке функция монотонна. Нетрудно увидеть, что призаданных условиях функция f (x) имеет ограниченную вариацию.
IÔÍ-12Следствие. Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле:• функция f (x) кусочно непрерывна на [−π, π];• функция f (x) кусочно монотонна на [−π, π].Тогда ряд Фурье функции f (x) сходится всюду на [−π, π] к значению (17.4).ÌÃÒÓТеорема 17.5 (Дирихле). Ряд Фурье функции f ограниченной вариации сходится в каждойточке x ∈ [−π, π] к значениюf (x − 0) + f (x + 0).(17.4)2ÔÍ-12Замечание 17.5. Из теоремы Дини получаем следующее.
Если интегрируемые функции f (x) иg(x) совпадают в окрестности точки x0 , то их разность f (x) − g(x), равная нулю в окрестности x0 ,удовлетворяет условиям теоремы Дини. Ряд Фурье разности функций сходится к нулю в точке x0 .Таким образом, ряды Фурье функций f (x) и g(x) сходятся или расходятся одновременно, причем, еслисходятся, то к одному и тому же значению.Описанное свойство означает, что поведение ряда Фурье функции в фиксированной точке определяется поведением функции в окрестности этой точки, а характер функции в удаленных точках на рядФурье в данной точке совершенно не влияет. Поэтому это свойство иногда называют локальностьюряда Фурье.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ2 sinÔÍ-12ÔÍ-12f (x + t) − f (x + 0)ÌÃÒÓÌÃÒÓϕ+ (t) =ÌÃÒÓÔÍ-12Так как функцияÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ92ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Если функция f (x) определена на [−l, l] и четна, то ее синус-коэффициенты Фурье равны нулю,так как их значение определяется интегралом от нечетной функции по симметричному промежутку.Аналогично косинус-коэффициенты Фурье для нечетной функции также равны нулю. В этих случаяхформулы для ненулевых коэффициентов можно модифицировать, используя значения функции толькона половине отрезке, например правой. Для четной функции:1an =lZlnπx2f (x) cosdx =ll−lZlf (x) cosnπxdx,ln = 0, 1, 2, . . . ;0для нечетной функции:1bn =lZlnπx2f (x) sindx =ll−lZlf (x) sinnπxdx,ln = 1, 2, .
. .0n=1коэффициенты в которых можно вычислять по формуламZlf (x) cosnπxdx,ln = 0, 1, 2, . . .(17.5)ÔÍ-122an =l0Если же было выбрано нечетное продолжение, то функция будет представлена рядомf (x) =∞Xbn sinn=1ÌÃÒÓПредположим, на отрезке [0, l] определена функция f (x). Ее можно продолжить на симметричныйотрезок [−l, l] двумя способами: четным способом f (x) = f (−x), x ∈ [−l, 0), и нечетным способомf (x) = −f (−x), x ∈ [−l, 0) (в последнем случае нужно также изменить на 0 значение при x = 0).
Еслиисходная функция была интегрируема на отрезке [0, l], то продолженная функция будет интегрируемойна отрезке [−l, l]. Значит, ее можно представить рядом Фурье, который сходится к функции в среднемквадратичном. Но при четном продолжении в этом ряде будут присутствовать только слагаемые скосинусами:∞nπxa0 X+an cos,f (x) =2lÔÍ-12ÌÃÒÓ17.4. Ряд Фурье по косинусам (синусам) кратных угловÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ93ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕnπx,lZlf (x) sinnπxdx,ln = 1, 2, .
. .(17.6)0nπxСказанное означает, что на отрезке [0, l] системы функций cos nπxl , n = 0, 1, 2, . . ., и sin l ,n = 1, 2, . . ., замкнуты. Нетрудно убедиться, что эти системы являются на [0, l] ортогональными,а формулы (17.5) и (17.6) представляют собой формулы Эйлера — Фурье для этих систем.17.5. Разложение функции на произвольном отрезкеПусть функция f (x) определена и интегрируема на отрезке [a, b]. Тогда ее можно продолжитьпериодически на всю числовую ось, переопределив, если необходимо, в концах отрезка. Продолженнуюфункцию можно представить рядом Фурье с периодом T = 2l = b − a.
При этом, в силу периодичностиÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-122bn =lÌÃÒÓÌÃÒÓкоэффициенты которого можно вычислять по формуламÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12и продолженной функции f (x), и тригонометрических функций,1an =lÌÃÒÓf (x) cos2nπxdx,b−an = 0, 1, 2, . . . ,anπx1f (x) sindx =llZbf (x) sin2nπxdx,b−an = 1, 2, . . .a−lИтак, на любом отрезке [a, b] есть замкнутая система функций1, cos2πx2πx4πx4πx2nπx2nπx, sin, cos, sin, . . . , cos, sin, ...b−ab−ab−ab−ab−ab−aНесложно убедиться, что эта система ортогональна.17.6. Комплексная форма записи ряда ФурьеZbПредставление функции f ее тригонометрическим рядом Фурье можно рассматривать в рамкахунитарного пространства Rc [−l, l]. Это позволяет при помощи формул Эйлера перейти от тригонометрических функций к показательной функции. Действительно,inπxl+ e−2inπxl,nπxesin=linπxl− e−2iinπxlÔÍ-12f (x) g(x) dx.f, g =a.∞a0 Xnπxnπx +an cos+ bn sin2lln=1можно записать в виде∞∞Xinπxinπx iinπxa0 1 Xh− ll+(an − ibn )e+ (an + ibn )e=cn e l ,22n=−∞ÌÃÒÓenπxcos=lПоэтому тригонометрический рядÌÃÒÓМожно расширить понятие линейного пространства, допуская, что его элементы могут умножатьсяне только на действительные числа, но и на комплексные.
В результате возникает понятие линейного пространства над полем комплексных чисел, или, короче, комплексного линейногопространства. Аксиомы в таком линейном пространстве те же, что и в действительном линейномпространстве. Однако аксиомы скалярного произведения немного другие: вместо коммутативности скалярного произведения используется аксиома x, y = y, x , где черта сверху обозначает комплексное сопряжение. Линейное пространство с таким измененным скалярным произведением называютэрмитовым или унитарным пространством.Примеры комплексных линейных пространств дают функциональные пространства, элементамикоторых являются функции действительного переменного с комплексными, вообще говоря, значениями.Комплекснозначная функция интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируемы ее действительная и мнимая части.
В линейном пространстве Rc [a, b] комплекснозначных интегрируемых функцийскалярное произведение можно ввести следующим образом:ÔÍ-12ÔÍ-12ZlÔÍ-12Zbnπx1f (x) cosdx =llÌÃÒÓÌÃÒÓZl−l1bn =lÌÃÒÓÌÃÒÓ94ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ1(an − ibn ),n > 0;2a0,n = 0;cn =21 (a−n + ib−n ), n < 0.2ÌÃÒÓгдеÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12n=1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ95Коэффициенты an и bn выражаются через коэффициенты cn следующим образом:an = cn + c−n ,∞PРядbn = i(cn − c−n ),n = 0, 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
