lektsii (830015), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Зачастую такое исследование требует привлечения некоторых тонких и неочевидных фактов из теории функций. Условие полноты системы функцийпроще, но оно является лишь необходимым.Все рассказанное об ортогональных системах касалось конкретного функционального пространства R[a, b], но на самом деле верно для произвольных бесконечномерных евклидовых пространств.ÌÃÒÓÌÃÒÓi=1вспомним, что m-я частичная сумма Sm (f ) ряда Фурье функции f обеспечивает наименьшее уклонениеот f , т.е. kf − Sm (f )k 6 kf − hk < ε. Так как последовательность {kf − Sn (f )k} является монотонной,то, начиная с номера m, имеем Sm (f ) ∈ Uε (f ).
Так как ε можно выбрать произвольным образом,последовательность Sn (f ) сходится к функции f , т.е. эта функция равна сумме своего ряда Фурье.Если любая функция f есть сумма своего ряда Фурье, то каждая такая функция является пределомпоследовательности частичных сумм ряда, которые представляют собой линейные комбинации функций ортогональной системы.
Значит, в любой окрестности любой функции f содержатся линейныекомбинации функций системы. Поэтому система функций {fn } замкнута. IÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12P 2и фундаментальность {Sn (f )} по норме следует из сходимости рядаαi .Сходящаяся последовательность всегда фундаментальна. Критерий Коши утверждает, что фундаментальная числовая последовательность сходится. Это утверждение легко распространяется напроизвольные конечномерные евклидовы пространства, так как сходимость в конечномерном пространстве равносильна сходимости по координатам в фиксированном базисе.
Однако в произвольномбесконечномерном пространстве фундаментальность уже не означает сходимость.Евклидово пространство называют полным, если в этом пространстве любая фундаментальнаяпоследовательность сходится. Любое конечномерное евклидово пространство является полным. Бесконечномерное полное евклидово пространство называют гильбертовым. Рассмотренное ранее пространство R[a, b] не является полным, так как по норме пространства функциональная последовательность может сходиться к неограниченной функции, которая неинтегрируема по Риману. Например,пределом последовательности интегрируемых функций(0,x < 1/n,fn (x) =1/x,x > 1/nТеорема 16.6. В полном евклидовом пространстве всякая полная ортогональная система замкнута.т.е.
элемент g ортогонален всем элементам ϕn . Если система {ϕn } полна, то для любого элемента fзаключаем, что g = 0. Но тогда f = f0 и элемент f есть сумма своего ряда Фурье. Согласно теореме17.5, это равносильно замкнутости системы {ϕn }. IТригонометрической системой называют систему функций 1, cosnπxπx,lsinπx,l. . ., cosnπx,lsin, . . . , рассматриваемую на отрезке [−l, l]. Эта система ортогональна, но не является ортоlнормированной:nπx nπx 2 2k1k2 = 2l,cos = sin = l.llÔÍ-1216.5.
Тригонометрическая системаÌÃÒÓJ Как уже было показано, последовательность частичных сумм ряда Фурье по ортогональной системе {ϕn } произвольного элемента f евклидова пространства E является фундаментальной по нормепространства. Если E полно, то это означает сходимость ряда Фурье к некоторому элементу f0 . Приэтом ряд Фурье элемента f является и рядом Фурье своей суммы f0 , т.е.
f, ϕn = f0 , ϕn . Положимg = f − f0 . Тогда g, ϕn = f − f0 , ϕn = f, ϕn − f0 , ϕn = 0,ÔÍ-12является неограниченная функция 1/x.Проблема неполных евклидовых пространств решается при помощи их пополнения. Если E —e чтонеполное евклидово пространство, то можно построить такое полное евклидово пространство E,e причем скалярные произведения двухE является линейным всюду плотным подпространством в E,e и называют пополненипространств на E совпадают. Построение такого линейного пространства Eем E.
Пополнение евклидова пространства R[a, b] есть гильбертово пространство L2 [a, b] функций,суммируемых с квадратом.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓi=n+1ÔÍ-12ÔÍ-12i=n+1ÌÃÒÓÌÃÒÓ2mm XXkSn (f ) − Sm (f )k = αi fi =αi2 ,2ÌÃÒÓÔÍ-12Отметим, что замкнутая ортогональная система всегда полна, так как полнота вытекает из условияпредставимости любой функции рядом Фурье, равносильного замкнутости системы. В определенныхевклидовых пространствах понятия замкнутости и полноты совпадают, т.е. полнота ортогональнойсистемы в таком пространствеозначает и ее замкнутость.PПусть f ∈ R[a, b] иαi fi — ее ряд Фурье.
Тогда последовательность Sn (f ) частичных суммэтого ряда по норме евклидова пространства является фундаментальной, т.е. ∀ε > 0 ∃N ∀n, m > NkSn (f ) − Sm (f )k < ε. Действительно,ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ84ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ85Она замкнута и, следовательно, полна (это будет доказано позже).
Ряд Фурье произвольной функцииf по этой системе записывается следующим образом:∞a0 X nπxnπx f∼+an cos+ bn sin,2lln=1ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ1an =lZlnπxf (x) cosdx,ln = 0, 1, . . . ,−lZlf (x) sinnπxdx,ln = 1, 2, . .
.−lНеравенство Бесселя в данном случае имеет вид∞a20 X 21+(an + b2n ) 62ln=1Zlf 2 (x) dx−lи фактически является равенством (равенством Парсеваля) в силу свойства замкнутости.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ∞ cos nxP√рядом Фурье какой-либо функции?nn=1ÌÃÒÓÔÍ-12Задача. Является ли рядÔÍ-12ÔÍ-121bn =lÌÃÒÓÌÃÒÓгде коэфффициенты an и bn определяются по формулам Эйлера — Фурье:ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-1217.1. О равномерной сходимости ряда ФурьеТеорема 17.1.
Если тригонометрический рядan cosn=1nπxnπx + bn sin.ll(17.1)сходится равномерно на отрезке [−l, l] к некоторой функции f (x), то он является рядом Фурье функцииf (x) и, следовательно, сходится к f (x) в среднем квадратичном.x∈[−l,l]Используя это, находимS(x)k22Zl=2Sn (x) − S(x) dx 6sup−l2Sn (x) − S(x) dx = 4l2 supx∈[−l,l]2Sn (x) − S(x) .x∈[−l,l]Следовательно,kSn (x) − S(x)k2 6 2l supSn (x) − S(x) .x∈[−l,l]Из последнего неравенства вытекает, что если последовательность {Sn (x)} сходится к S(x) на [−l, l]равномерно, то сходится и в среднем квадратичном.
Согласно теореме 17.1 тригонометрический рядесть ряд Фурье своей суммы в смысле сходимости в среднем квадратичном. I∞X|an | + |bn | < +∞,n=11В нашем случае такое сильное утверждение не нужно, так как члены тригонометрического ряда непрерывны, аравномерный предел непрерывных функций есть непрерывная функция.86ÔÍ-12О равномерной сходимости ряда Фурье можно судить непосредственно по его виду. ЕслиÌÃÒÓ−lZlÔÍ-12J Отметим, что равномерный предел интегрируемых функций есть интегрируемая функция1 .Учитывая это, мы получим утверждение теоремы, доказав, что из равномерной сходимости вытекаетсходимость к той же функции в среднем квадратичном.Пусть последовательность Sn (x) (в нашем случае это последовательность частичных сумм тригонометрического ряда) сходится на отрезке [−l, l] равномерно к некоторой функции S(x).
Это значит,чтоsup |Sn (x) − S(x)| → 0, n → ∞.ÌÃÒÓa0 +∞ XÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓНаряду с понятиями сходимости тригонометрических рядов Фурье в среднем квадратичном (т.е. понорме, введенной в евклидовом пространстве R[a, b]) важное значение имеют поточечная и равномернаясходимости. Однако, записав ряд Фурье данной функции, мы априори не можем утверждать, что этотряд сходится к функции хотя бы в одной точке. Сходимость в среднем квадратичном дает лишьуверенность, что по ряду Фурье можно восстановить функцию. Это восстановление упрощается, еслиряд Фурье сходится к функции поточечно, а еще лучше, равномерно.ÌÃÒÓÔÍ-12Теорема о равномерной сходимости.
Гладкость функции и скорость сходимости ряда Фурье. Условиясходимости ряда Фурье в точке. Разложение четных и нечетных функций. Разложение функций покосинусам и синусам. Разложение на произвольном отрезке.ÔÍ-12ÌÃÒÓТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕРЯДЫ ФУРЬЕÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 17kSn (x) −ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1217.2. Порядок малости коэффициентов и дифференцируемостьТеорема 17.2.
Если 1 1 ,b=O,nnp+εnp+εгде p — натуральное число, то ряд (17.1) сходится на отрезке [−l, l] к функции f (x), имеющей p − 1непрерывную производную.an = OJ Условия теоремы позволяют применить последовательно p − 1 раз теорему о почленном дифференцировании функционального ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
