lektsii (830015), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Этот предел равен нулю всилу абсолютной интегрируемости функции f . Поэтому подстановки ∞ в выражение f (t)e−iwt даютнулевое значение.Итак,F [f 0 ](w) = (iw)F [f ](w).(18.7)ÔÍ-12ÔÍ-12−∞и линейное дифференциальное уравнение L(y) = f в изображениях оказывается алгебраическим:L(iw)Y = F , где Y и F — изображения функций y и f . Недостаток предложенной схемы — в том, чтонеизвестное решение, как, впрочем и правая часть уравнения, не обязаны быть абсолютно интегрируемыми и иметь изображение.
Этот недостаток удалось обойти в рамках операционного исчисления,которое базируется на идеях, очень близких к преобразованию Фурье.Свойство 3. Если функция tk f (t) абсолютно интегрируема, то F [f ] имеет k производных.J Дело сводится к последовательному дифференцированию интеграла по параметру. Покажемосновную идею для случая k = 1. По определениюF [f ](w) =f (t) e−iwt dt.ÌÃÒÓÌÃÒÓZ∞−∞Продифференцировав по параметру, получаем:Z∞dF [f ](w) =dwÔÍ-12ÔÍ-12Замечание. Важное соотношение (18.7) часто называют теоремой о дифференцированииизображения.
Оно открывает путь для решения линейных дифференциальных уравнений. Действительно,F [y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an y](w) = (iw)n + a1 (iw)n−1 + . . . + an F [y],ÌÃÒÓÌÃÒÓПоэтому |F [f ](w)| = |w|−k |F [f (k) ](w)| 6 M |w|−k , так как, в силу свойства 1, изображение любойабсолютно интегрируемой функции ограничено. I(−it) f (t) e−iwt dt,причем интеграл справа сходится, в силу абсолютной интегрируемости tf (t), равномерно на всейчисловой оси. Это доказывает законность дифференцирования по параметру под знаком интеграла. IДля абсолютно интегрируемых функций f и g интегралZ∞f (t) g(x − t) dt,h(x) =ÔÍ-12ÔÍ-12−∞−∞ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓМожно показать, что операция свертки коммутативна и ассоциативна, а по отношению к сложению функций дистрибутивна, т.е.
обладает свойствами, характерными для операции умножения.Однако функции, играющей для этой операции роль единицы, нет. Операция свертки настолько часто используется в приложениях, что естественно попытаться расширить класс функций так, чтобысвертка имела свою единицу. Такое расширение приводит к обобщенным функциям, а роль единицыпо отношению к свертке играет известная в физических приложениях дельта-функция Дирака.Свойство 4. Для абсолютно интегрируемых функций f и g верно тождествоF [f ∗ g] = F [f ] F [g].J Доказательство основано на том, что преобразование Фурье свертки представляет собой несобственный повторный интеграл, в котором можно переставить пределы интегрирования. Действительно,F [f ∗ g](w) =(f ∗ g)(x)e−iwx dx =−∞Z∞e−iwx dx−∞Z∞=Z∞dt−∞Z∞ÌÃÒÓZ∞f (t) g(x − t) dt =−∞−iwxf (t) g(x − t)eZ∞dx =−∞Z∞dt−∞Z∞f (t) g(y)e−iw(y+t) dy =−∞−iwtf (t) edtg(y)e−iwy dy = F [f ](w) F [g](t).−∞ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Возможность перестановки пределов вытекает, например, из того, что соответствующий несобственный двойной интеграл по области R2 сходится абсолютно.
IÔÍ-12−∞Z∞ÔÍ-12ÔÍ-12R2ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ101если сходится, дает абсолютно интегрируемую функцию, которую называют сверткой функций f иg. Ее обычно обозначают так: h = f ∗ g. Указанный интеграл сходится, если функции f и g абсолютноинтегрируемы и ограничены. Действительно, если |g(t)| 6 M , то |f (t) g(x − t)| 6 M |f (t)|, и интегралсходится для любого x равномерно на R согласно признаку Вейерштрасса. При этом функция h(x)абсолютно интегрируема, так как в этом случае сходится несобственный двойной интегралZZ|f (t) g(x − t)| dt dx.=ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-126688........................................................................................1111131314Лекция 4.
Приложения кратных4.1. Площадь . . . . . . . . . . .4.2. Объем . . . . . . . . . . . . .4.3. Механические приложения .4.4. Плоский случай . . . . . . .............................................................................................1515161617Лекция 5. Несобственные интегралы5.1. Интеграл от неотрицательной функции .
. . . . . .5.2. Абсолютная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . .5.3. Расстановка пределов в несобственных интегралах5.4. Замена переменных в несобственном интеграле . .5.5. Интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . ...............................................................................................................181919212122интегралов. . .
. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .....................Лекция 6. Криволинейный интеграл266.1. Криволинейный интеграл 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2. Криволинейный интеграл 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 2831313234Лекция 8. Полный дифференциал8.1. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути8.2. Условия независимости интеграла от пути . . . .8.3. Циклические постоянные . . . . . . . . . . . . . .8.4. Трехмерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................Лекция 9.
Поверхностный интеграл9.1. Площадь поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2. Поверхностный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Свойства поверхностного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . .9.4. Поверхностный интеграл 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода . .
. . . . . . .9.6. Связь поверхностного интеграла с криволинейным и тройным ...........................................................................................39394141414243102............................ÔÍ-12....3535363738ÌÃÒÓЛекция 7. Формула Грина7.1. Интеграл по замкнутому контуру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Формула Грина . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3. Вычисление площадей при помощи криволинейных интегралов . . . . . . . . . . . . . . .ÔÍ-12Лекция 3. Замена переменных в кратном интеграле3.1. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.
Произвольный кратный интеграл . . . . . . . . . .3.3. Полярные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Цилиндрические и сферические координаты . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 2. Вычисление кратных интегралов2.1. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Техника вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÔÍ-12ÔÍ-121133ÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 1. Мера Жордана1.1. Площадь плоского множества . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Кратный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ..........................................................................................Лекция 11. Специальные векторные поля11.1. Векторные дифференциальные операции 2-го порядка .11.2. Оператор Гамильтона . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .11.3. Потенциальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4. Соленоидальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5. Гармоническое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.6. Разложение поля на потенциальное и соленоидальное .11.7. Криволинейные координаты . . .
. . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................4949495050515252Лекция 12. Числовые ряды12.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2. Операции над рядами . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3. Знакоположительные числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55555657Лекция 13. Знакопеременные числовые ряды13.1. Другие признаки сходимости . . . . . . . .13.2. Группировки . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Перестановки .
. . . . . . . . . . . . . . . .13.4. Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . .6161636465.....................................................................................................................................Лекция 14. Функциональные ряды6614.1. Функциональные последовательности . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.2. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.3. Признаки равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70........................................................................7272747577Лекция 16. Ортогональные системы16.1. Определение . . . .
. . . . . . . . . . . . . .16.2. Задача о наилучшем приближении . . . . .16.3. Свойства ряда Фурье . . . . . . . . . . . . .16.4. Условия сходимости ряда Фурье к функции16.5. Тригонометрическая система . . . . . . . .....................................................................................................797981828384......86868789939394...................................Лекция 17.
Тригонометрические ряды Фурье17.1. О равномерной сходимости ряда Фурье . . . . . . . . . .17.2. Порядок малости коэффициентов и дифференцируемость17.3. Условия сходимости ряда Фурье в точке . . . . . . . . .17.4. Ряд Фурье по косинусам (синусам) кратных углов . . . .17.5. Разложение функции на произвольном отрезке . . . .
. .17.6. Комплексная форма записи ряда Фурье . . . . . . . . . .............................................................................................................Лекция 18. Интеграл Фурье9618.1. Четные и нечетные функции . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
