lektsii (830015), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Тогда их линейной комбинацией α0 · 1 + α1 x + . . . + αn xn является многочлен, который обращается в 0, только если всего его коэффициенты равны 0.Функциональную последовательность {fn }, fn ∈ R[a, b], n = 1, 2, . . ., называют ортогональнойсистемой, если все функции этой последовательности попарно ортогональны, т.е.
fn , fm = 0 длялюбой пары натуральных чисел n и m, n 6= m. Если к тому же kfn k2 = fn , fn = 1 для каждойфункции fn , то такую последовательность называют ортонормированной системой.ÌÃÒÓÔÍ-12Непосредственной проверкой легко убедиться, что в этом случае выполняются все аксиомы скалярногопроизведения, кроме последней. Последняя аксиома, утверждающая, что если kf k = 0, то f = 0,конечно, неверна. Из положения выходят, считая, что равны любые функции f и g, для которыхRbkf − gk2 = |f − g|2 dx = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12aÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ80Эта последовательность не является ортонормированной, так как квадрат нормы функции 1 равен2l, а квадраты норм для остальных функций все равны l.
Ортонормированной будет следующаяпоследовательность функций:11πx 1πx 12πx 12πx√ , √ cos, √ sin, √ cos, √ sin, ...llll2lllllÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫPn (t) =n1 dn 2t−1,2n n! dtnÌÃÒÓÌÃÒÓПример 16.2. Последовательность многочленов Лежандраn = 1, 2, . . .является ортогональной системой в пространстве R[−1, 1]. Действительно,2n+mn!m! Pn , Pm =Z1 2(n) 2(m)(t − 1)n(t − 1)mdt =−1ÔÍ-12=−−1так как многочлен (t2 − 1)n имеет корни −1 и 1 кратности n, и его производные до порядка n − 1включительно в этих точках обращаются в 0.Предполагая, что n > m, повторяем интегрирование по частям n раз и в конечном счете приходимк равенствуZ1(m+n)(−1)nPn , Pm = n+m(t2 − 1)n (t2 − 1)mdt.2n!m!−1(t2 −1)m(−1)nkPn k = n 2(2 n!)2Z1(2n)(2n)!(t − 1) (t2 − 1)ndt = (−1)n n 2(2 n!)2−1Z1(t2 − 1)n dt.−1Полученный интеграл интегрируем по частям и приходим к рекуррентному соотношению:1Z1(t − 1) dt = t(t − 1) − 2n t2 (t2 − 1)n−1 dt = −2n(Tn + Tn−1 ),2nn−1−1откуда2Следовательно, многочлен Pn имеет квадрат нормы, равный.
Система многочленов не является2n + 1ортонормированной.q2n + 1Замечание. Последовательность многочленовPn (t) можно построить, если последова2nтельность простейших мономов {t }, n = 0, 1, . . ., подвергнуть процессу ортогонализациии Грама —Шмидта.ÔÍ-122nTn−1 .2n + 1Непосредственно убеждаемся, что T1 = −4/3, а по рекуррентной формуле получаем значение интеграла:(2n)!!2(−1)n (2n n!)2Tn = 2(−1)n=(2n + 1)!!2n + 1 (2n)!Tn = −ÌÃÒÓ−12ÔÍ-12Но (m+n)-я производная многочленастепени 2m равна 0, так что под знаком интеграла стоитфункция, которая тождественно равна нулю. Значит, Pn , Pm = 0.Если n = m, мы получаемTn =ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ 2(n−1) 2(m+1)(t − 1)n(t − 1)mdt,ÌÃÒÓÌÃÒÓZ1Z1ÔÍ-12−1ÌÃÒÓÔÍ-12−1ÔÍ-121Z1 2 2 2(n−1)(m)n (n−1)m (m+1) −(t−1)(t−1)dt == (t − 1)n(t2 − 1)mÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ8116.2.
Задача о наилучшем приближенииПусть в пространстве R[a, b] задана ортогональная система из n функций f1 , . . ., fn (n фиксировано).Поставим следующую задачу: для произвольной функции f ∈ R[a, b] найти такие коэффициенты α1 ,. . ., αn , чтобы величинаnX(16.2)αk fk f −ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ2nnnXXXαk fk = f −αi fi , f −αj fj =f −k=1i=1 = f, f − f,j=1nXnnnX X Xαj fj −αi fi , f +αi fi ,αj fj =j=1= kf k2 − 2i=1nXi=1αi f, fi +n XnXj=1αi αj fi , fj =i=1 j=1= kf k2 − 2nXn Xαi f, fi +αi2 kfi k2 . (16.3)i=1i=1Мы получили, что квадрат нормы относительно неизвестных коэффициентов αi представляет собоймногочлен 2-й степени от n переменных. Этот многочлен имеет точку минимума, которую можнонайти обычным порядком, используя необходимое условие локального экстремума. Приравняв всечастные производные нулю, получим систему уравнений:i = 1, .
. . , n,откудаαi =f, fi(16.4)kfi k2Если система f1 , . . ., fn ортонормирована, формулы (16.4) упрощаются:ÔÍ-122αi kfi k2 − 2 f, fi = 0,ÌÃÒÓÌÃÒÓi=1ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12имела наименьшее значение. Другими словами, требуется найти такую линейную комбинацию функций f1 , . . ., fn , которая наиболее близка к функции f . Такую задачу называют задачей о наилучшемприближении.Рассмотрим квадрат величины (16.2). Его можно записать через скалярное произведение и преобразовать:ÌÃÒÓÌÃÒÓk=1∞Xαk fk ,(16.5)k=1коэффициенты αk которого вычисляются по формулам (16.4), обладает тем свойством, что его частичные суммы Sn (f ) являются наилучшими приближениями функции f .
Отсюда, в частности, следует,что последовательность норм kf − Sn (f )k монотонно убывает. Действительно, частичную сумму Sn (f )можно рассматривать как линейную комбинацию функций f1 , . . ., fn+1 с коэффициентами α1 , . . ., αn ,0 (αi вычисляются по формулам (16.4) ), которая дает худшее приближение, чем линейная комбинацияс коэффициентами α1 , . . ., αn , αn+1 , т.е. частичная сумма Sn+1 (f ).Ряд (16.5) называют рядом Фурье функции f по ортогональной системе {fk }, а формулы (16.4),по которым вычисляются коэффициенты ряда Фурье, называют формулами Эйлера — Фурье.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Пусть задана бесконечная ортогональная система {fn }. РядÌÃÒÓÌÃÒÓαi = f, fi .ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12∞Pαi fi по ортогональной системе {fi } сходится по норме к функции f ,i=1то коэффициенты αi этого ряда вычисляются по формулам (16.4).J Пусть Sn — последовательность частичных сумм рассматриваемого ряда.
При помощи неравенства Коши — Буняковского получаем оценку| f − Sn , fi | 6 kf − Sn k kfi k → 0при n → ∞. Однако при n > i f − Sn , fi = f, fi − Sn , fi = f, fi − αi kfi k2 ,так что рассматриваемая последовательность | f − Sn , fi |, начиная с n = i + 1, является постоянной.Поэтому на самом деле при n > i выполняется равенство f − Sn , fi = 0, так как предел последовательности равен 0. Следовательно,f, fi − αi kfi k2 = 0и коэффициент αi равен коэффициенту Эйлера — Фурье функции f . IТеорема 16.2 (неравенство Бесселя). Теорема 17.2 Если {αn } — последовательность коэффи∞Pциентов Фурье для функции f ∈ R[a, b] по ортонормированной системе {fn }, то рядαn2 сходитсяn=1и∞XJ Поскольку речь идет о знакоположительном ряде, нам достаточно доказать, что все частичныеnPсуммы Sn =αi2 ограничены числом kf k2 .
Тогда монотонная последовательность частичных суммi=1i=1i=1i=1что равносильно утверждению теоремы. IЗамечание 16.1. Неравенство Бесселя легко переносится на произвольные ортогональные системы. В этом случае это неравенство имеет видÔÍ-12будет иметь предел, равный сумме ряда, который не превосходит kf k2 .Рассмотрим норму разности между функцией и n-й частичной суммой ее ряда Фурье. Согласно(16.3) и формулам (16.4) получаем2nnnnXXX Xαk fk = kf k2 − 2αi f, fi +αi2 kfi k2 = kf k2 −αi2 > 0,f −ÌÃÒÓαn2 kfn k2 6 kf k2 .n=1Замечание 16.2. Отметим важное соотношение, которое мы получили при доказательстве теоремы.
Если αi — коэффициенты Фурье функции f по ортонормированной системе {fi }, то2nnXXkf k2 −αi2 = f −αk fk , n = 1, 2, . . .(16.6)i=1ÌÃÒÓÌÃÒÓαn2 6 kf k2n=1k=1ÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 16.1. Если рядÌÃÒÓÔÍ-1216.3. Свойства ряда Фурье∞Xk=1Теорема 16.3 (равенство Парсеваля). Теорема 17.3 Пусть {αn } — последовательность коэф∞Pфициентов Фурье для функции f ∈ R[a, b] по ортонормированной системе {fn }. Рядαi fi сходитсяi=1к функции f тогда и только тогда, когда верно следующее равенство Парсеваля∞Xαn2 = kf k2(16.7)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ82ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫn=1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ83J Воспользуемся соотношением (16.6).
Сходимость последовательности Sn (f ) ряда Фурье функцииf к самой функции означает, что kf − Sn (f )k → 0 при n → ∞. Согласно (16.6), это равносильноnPсоотношениюαi2 → kf k2 при n → ∞, т.е. равенству (16.7). Ii=116.4. Условия сходимости ряда Фурье к функцииНельзя надеяться на то, что ряд Фурье данной функции f по произвольной ортогональной системебудет сходиться по норме к самой функции.
Действительно, убрав из ортогональной системы однуфункцию, мы, вообще говоря, получим другой ряд, так как из него уйдет одно слагаемое, и этот рядне может иметь ту же сумму, что и исходный.Это умозаключение наталкивает на мысль, что сто́ит рассматривать только такие ортогональные системы, которые нельзя расширить добавлением к ним новых функций. Такие ортогональныесистемы называют полными. Именно, ортогональная система {fn } полна, если условие f, fn = 0,n = 1, 2, . . ., выполняется только при f ≡ 0.Теорема 16.4. Если каждая функция f ∈ R[a, b] является суммой своего ряда Фурье по даннойортогональной системе {fn }, то эта система полна.J Действительно, если для некоторой функции f верны соотношения f, fn = 0, n = 1, 2, .
. ., торядом Фурье функции f будет тривиальный ряд, у которого все коэффициенты равны 0. Сумма такогоряда, очевидно, равна 0, т.е. функция, равная сумме своего ряда Фурье, есть тождественный 0. Ii=1со всем пространством1 .J Эквивалентность второго и третьего условий доказана ранее. Докажем эквивалентность этихусловий первому.Если система {fn } замкнута, то для произвольной функции f в любой ее окрестности Uε (f ) =mP{h ∈ R[a, b]: kh − f k < ε} имеется хотя бы одна линейная комбинация h =ci fi функций системы. НоÔÍ-12Теорема 16.5.
Для любой ортогональной системы {fn } следующие условия эквивалентны:• система {fn } замкнута;• любая функция есть сумма своего ряда Фурье;• для любой функции f верно равенство Парсеваля.ÌÃÒÓИтак, полнота ортогональной системы является необходимым условием для представления всякойфункции рядом Фурье. Чтобы получить достаточное условие, введем еще одно понятие.
Ортогональную систему {fn } называют замкнутой, если всевозможные конечные линейные комбинациифункций системы плотны в R[a, b], т.е. множество всех функций, которые можно представить в видеmPci fi с некоторым набором коэффициентов ci , имеет замыкание в пространстве R[a, b], совпадающееÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫНапомним, что замыкание множества получается присоединением к этому множеству всех его предельных точек.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-121ÔÍ-12Условие замкнутости для конкретной системы проверить сложно, введенное понятие, скорее, даеториентир, как исследовать данную систему функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
