lektsii (830015), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда на любом отрезке [−r, r], r < R, рядan x сходится равномерно.PPJ В точке r интервала сходимости рядan xn сходится абсолютно, т.е. сходится ряд|an |rn . Аnnтак как |an x | 6 |an |r при x ∈ [−r, r], то по признаку Вейерштрасса ряд на отрезке [−r, r] сходитсяравномерно. IPТеорема 15.3 (вторая теорема Абеля). Теорема 16.3 Пусть рядan xn имеет радиус сходимости R > 0. Если этот ряд сходится в точке R (точке −R), то он сходится равномерно на любомотрезке [−r, R] (отрезке [−R, r]), 0 6 r < R.∞Xαn (x)βn (x) =an xnn=0сходится на [0, R] равномерно.
I15.2. Интегрирование и дифференцирование степенных рядовсходится равномерно на любом отрезке [−r, r], 0 < r < R, причем Z x XX Z xanxn dx =an xn dx.0ÔÍ-12Из изложенногоясно, что степенной ряд можно почленно интегрировать. Именно, если дан стеPпенной рядan xn с радиусом сходимости R > 0, то степенной ряд XX Z xxn+1nanx dx =ann+10ÌÃÒÓn=0∞XÔÍ-12J Доказательство этого утверждения опирается на признак Абеля. Мы можем считать, что r = 0.В самом деле, например, для случая сходимости в точке R отрезок [r, R] содержится в [0, R] при r > 0 иявляется объединением двух отрезков [r, 0] и [0, R] при r < 0.
Но если ряд на каждом из двух множествсходится равномерно, то он будет сходитьсяравномерно и на объединении этих множеств. nPxn, n = 1, 2, . . ., получим, что рядαn (x) сходится равномерПоложив αn (x) = an R , βn (x) =Rно на [0, R] (это просто числовой ряд), последовательность {βn (x)} для каждого значения x ∈ [0, R]является монотонной и равномерно ограниченной на [0, R] (числом 1). По признаку Абеля ряд0ÌÃÒÓÌÃÒÓan =ÔÍ-12ÔÍ-12n→∞√2nÌÃÒÓÌÃÒÓlimÌÃÒÓÔÍ-12Это равносильно вычислению пределаÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ74ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12PJ Это утверждениеследует из предыдущей теоремы. Действительно, рядan xn может бытьPn−1получен из рядаnan xпочленным интегрированием. Значит радиусы сходимости этих двухрядов совпадают.
При этом Z x XXX Z xnn−1an x =nan ξ=nan xn−1 .00Остается продифференцировать записанное равенство, и мы получим равенство (15.3). I15.3. Ряд ТейлораТеорема 15.6. Если функция f (x) есть сумма ряда∞Pan (x − x0 )n , сходящегося на интервалеn=0|x − x0 | < R, то f ∈ C ∞ (x0 − R, x0 + R) иf (n) (x0 ).n!(15.4)J Бесконечная дифференцируемость функции f констатируется следствием из предыдущей теоремы. Кроме того, из этой теоремы следует, что степенной ряд можно почленно дифференцироватьлюбое число раз в его интервале сходимости.
Поэтому(an (x − x0 )n )(k) =an n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)(x − x0 )n−k =n=0=∞Xan n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)(x − x0 )n−k = |n − k = m| =n=k=∞Xam+k (m + k)(m + k − 1) · . . . · (m + 1)(x − x0 )mm=0Полагая x = x0 , получим f (k) (x0 ) = ak k(k − 1) · . . . · 1, что равносильно (15.4). IÔÍ-12n=0∞XÌÃÒÓ∞XÌÃÒÓan =ÔÍ-12Следствие 15.2. Суммастепенного ряда является функцией, бесконечно дифференцируемой вPинтервале сходимости:an xn ∈ C ∞ (−R, R).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓJ Нам осталось показать, что радиус сходимости степенного ряда при интегрировании не увеP xn+1Pличивается. Пусть рядan, полученный интегрированием рядаan xn , сходится в точке x0 .n+1Тогда xn+1 n+1 x nn+1 nn0|an x | = an6Mq ,n + 1 |x0 |x0|x0 |P n+1 n xn+1 xгде M = supan 0 , q =.
Нетрудно убедиться, что рядMq сходится абсолютно приn+1x0x0Pn|q| < 1. Согласно признаку сравнения заключаем, что ряд an x сходится при |x| < |x0 |, а это значит,что радиус сходимости исходного ряда не меньше, чем радиус сходимости проинтегрированного. IPPТеорема 15.5. Если R — радиус сходимости степенного рядаan xn , то рядnan xn−1 , полученный почленным дифференцированием исходного, имеет тот же радиус сходимости R и, крометого,X0 X0nan x=an xn .(15.3)ÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 15.4. Степенной ряд можно интегрировать почленно.
При этом радиус сходимостипроинтегрированного степенного ряда не изменяется.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ75Поскольку полученный в процессе почленного интегрирования ряд тоже является степенным, он потеореме 16.1 сходится на интервале (−R, R) абсолютно.Остается неясным вопрос, может ли при интегрировании степенного ряда увеличиться радиуссходимости (из изложенного выше вытекает, что он не уменьшается)?f (k) (x) =ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Следствие 15.3. Если∞Pan (x − x0 )n =n=0∞PÔÍ-12ÌÃÒÓ76bn (x − x0 )n в некоторой окрестности точки x0 , тоn=0an = bn , n = 1, 2, . . .J И коэффициенты an , и коэффициенты bn определяются по формуле (15.4) одной и той же функцией, которая в окрестности точки x0 равна сумме каждого из рядов. IÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫПример 15.4. Функцияf (x) =( 1e− x2 ,0,x 6= 0;x = 0,бесконечно дифференцируема всюду на действительной оси, ее производные f (n) (0) в точке 0 все равны нулю. Следовательно, ее ряд Тейлора является тривиальным: все коэффициенты степенного рядаявляются нулевыми. Сумма такого ряда есть тождественный нуль, что совпадает со значением функции только в точке 0.
#Чтобы убедиться в сходимости ряда Тейлора к самой функции f (x) нужно оценить по абсолютнойвеличине разность rn (x) = f (x) − Sn (x; f ) между функцией и n-й частичной суммой ряда, взятой впроизвольной точке x. Эта разность фигурирует в формуле Тейлора как остаток, который может бытьзаписан в различной форме.
Наиболее известна запись остатка в форме Лагранжа.Отметим, что остаток в формуле Тейлора — это не есть остаток ряда Тейлора. Их совпадение,собственно, и означает, что функция равна сумме своего ряда Тейлора. Необходимым и достаточнымусловием такого совпадения является условиеlim rn (x) = lim f (x) − Sn (x; f ) = 0,n→∞n→∞(15.5)которое должно выполняться в каждой точке x некоторой окрестности точки x0 — центра ряда Тейлора.Отметим важный частный случай, когда выполняется сформулированный критерий (15.5).n=0где 0 6 ϑ 6 1, ∆x = x − x0 и |∆| 6 δ. Так как остаток стремится к 0 в каждой точке интервала(x0 − δ, x0 + δ), функция совпадает на этом интервале с суммой своего ряда Тейлора. IÔÍ-12J Запишем остаток rn (x; f ) формулы Тейлора в форме Лагранжа и оценим его абсолютную величину: f (n+1) (x + ϑ∆x)M δ n+10n+1 |rn (x; f )| = (x − x0 )→ 0,6 (n + 1)! n→∞(n + 1)!ÌÃÒÓТеорема 15.7.
Пусть f ∈ C ∞ (x0 − δ, x0 + δ). Если существует такая константа M > 0, что ∀n ∈ N∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) |f (n) (x)| 6 M , то функция f (x) в интервале (x0 − δ, x0 + δ) равна сумме своего рядаТейлора:∞Xf (n) (x0 )f (x) =(x − x0 )n , x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).n!ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Очевидно, что бесконечная дифференцируемость функции является необходимым условием дляразложения ее в ряд Тейлора. Если функция бесконечно дифференцируема, то ряд Тейлора для нееможно выписать, однако он может не сходиться к этой функции. Таким образом, условие бесконечнойдифференцируемости функции не является достаточным для представления ее степенным рядом.ÌÃÒÓÌÃÒÓназывают рядом Тейлора бесконечно дифференцируемой в окрестности точки x0 функции f (x).ÔÍ-12ÔÍ-12n=0(x − x0 )n ,ÌÃÒÓÌÃÒÓn!ÔÍ-12ÔÍ-12∞Xf (n) (x0 )ÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 15.1. РядÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓИсходя из формулы Тейлора для основных элементарных функций, можно получить разложениеэтих функций в ряд Тейлора.Показательная функция ex .
Так как для этой функции f (n) (x) = ex , заключаем, что в каждоминтервале (−R, R) выполняется неравенство |f (n) (x)| 6 M , где в качестве M можно взять M = eR .Согласно теореме 16.7 получаем представлениеex =∞Xxnn=0n!,верное в каждом интервале (−R, R), а потому и на всей числовой оси.из которых следует, что все производные функций sin x и cos x ограничены на всей числовой осиконстантой M = 1. Применение соответствующих формул Тейлора и теоремы 16.7 даетsin x =∞X(−1)k x2k+1(2k + 1)!x ∈ R,,cos x =∞X(−1)k x2kk=0(2k)!x ∈ R.,[(1 + x)p ](n) = p(p − 1) · .
. . · (p − n + 1)(1 + x)p−n .ÌÃÒÓСтепенная функция (1 + x)p , p ∈ R. Разложение этой функции в степенной ряд с центром в 0возможно в только пределах интервала (−1, 1), так как при действительных отрицательных p функцияне определена в точке −1. Вычислим n-ю производную функцииÔÍ-12Тригонометрические функции. Для тригонометрических функций sin x и cos x рассуждения теже, что и для показательной функции. Нужно воспользоваться формуламиnπ nπ ,(cos x)(n) = cos x +,(sin x)(n) = sin x +22ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ7715.4. Стандартные разложения в ряд Тейлораk=0ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ∞Xp(p − 1) · . . . · (p − n + 1)n!n=1xn ,x ∈ (−1, 1).Чтобы доказать, что степенная функция действительно равна сумме своего ряда Тейлора в интервале (−1, 1), нужно использовать запись остатка не в форме Лагранжа, а в форме Кошиrn (x; f ) =f (n+1) (x0 + ϑ∆x)(1 − ϑ)n(x − x0 )n+1 .n!В нашем случаеrn (x; f ) = p(p − 1) . . .
(p − n)(1 + ϑx)p−n (1 − ϑ)n n+1(1 − ϑ)n xn+1x= p(p − 1) . . . (p − n)(1 + ϑx)p.n!(1 + ϑx)n n!При |x| < δ < 1 имеем 1 − ϑ n 11|rn (x; f )| 6 |1 + ϑx| 61 − ϑδ n!n!(1 − δ)min{0,p}→ 0.n→∞Если p является натуральным, то разложение функции (1 + x)p в ряд Тейлора приводит к биномуНьютона. Важен также частный случай p = −1, в котором мы приходим к формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем −x∞X1=(−1)n xn ,1+xx ∈ (−1, 1).(15.6)ÔÍ-12ÔÍ-12pÌÃÒÓÌÃÒÓ(1 + x)p = 1 +ÔÍ-12ÔÍ-12Поэтому ряд Тейлора для этой функции имеет видn=0ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ78Отметим также случай p = −2, в котором разложение имеет вид∞X1=(−1)n (n + 1)xn ,2(1 + x)x ∈ (−1, 1).n=0ln(1 + x) =∞X(−1)n−1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12x ∈ (−1, 1).ÔÍ-12ÌÃÒÓxn ,ÌÃÒÓÔÍ-12n=1nÌÃÒÓÌÃÒÓЛогарифмическая функция ln(1 + x). Так как указанная функция не определена в точке −1,то разложение этой функции в степенной ряд с центром в 0 возможно только в пределах интервала(−1, 1).
Конкретный вид разложения можно получить интегрированием формулы (15.6)ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 16ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫÌÃÒÓОртогональные системы в функциональных пространствах. Задача о наилучшем приближении.Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортогональные системы. Тригонометрическая система функций.ÌÃÒÓ16.1. ОпределениеМы приступаем к изучению тригонометрических рядов, которые записываются в видеa0 +∞ Xnπxnπx + bn sin.llan cosn=1(16.1)Zbf, g =f (x)g(x) dx.ÌÃÒÓИсследование таких рядов может идти с различных точек Pзрения.
Наиболее общий подход состоит в том, чтобы интерпретировать ряд (16.1) как ряд видаαn fn (x), построенный по некоторойпоследовательности функций {fn } и последовательности коэффициентов {αn }. Такой ряд являетсяобобщением понятия линейной комбинации в линейной алгебре. Мы ограничимся некоторым линейнымпространством функций (называемым также функциональным пространством). Рассмотрениеразложений функций по базису наиболее просто, когда линейное пространство евклидово, а базис —ортонормированный.Рассмотрим линейное пространство R[a, b] функций, определенных и интегрируемых на отрезке[a, b].
В этом пространстве определим скалярное произведение по формулеÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12πxπx2πx2πxnπxmπx cos, cos=llZlnπxmπx1cosdx =cosll2−lZl (n + m)πx(n − m)πxcos+ cosdx =ll−ll=sinn+m(n + m)πx l(n − m)πx ll + n − m sin = 0.ll−l−l79ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Пример 16.1. Последовательность 1, cos , sin , cos, sin, .
. . является ортогональнойllllв пространствеR[−l, l]. Чтобы убедиться в этом,нужно вычислить попарныескалярныепроизведеnπxmπxnπxmπx nπxmπx mπx mπx ния: cos, cos, n 6= m; sin, sin, n 6= m; cos, sin; 1, cos; 1, sin.llllllllНапример,ÌÃÒÓÌÃÒÓaВведенное нами евклидово пространство R[a, b] является бесконечномерным, так как ему принадлежат все функции xn , любой конечный набор которых образует линейно независимую систему функций.Возьмем функции 1, x, . . ., xn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
