lektsii (830015), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

В этом случае можно сказатьи так: ФП — это отображение f : N×R → R, т.е. функция от 2-х переменных, причем первый аргументявляется натуральным, а второй — действительным.Фиксируя натуральный аргумент, получаем функцию действительного переменного, являющуюсячленом функциональной последовательности. Если же фиксировать действительный аргумент, мы получим числовую последовательность — последовательность значений членов ФП в даннойточке.

Множество тех точек области, в которых такая числовая последовательность сходится, называют областью сходимости Функциональной последовательности.Если множество X принадлежит области сходимости данной ФП, то также говорят, что ФП сходится на X поточечно. Областью сходимости X часто оказывается область определения ФП.Поточечная сходимость проста и естественна, так как опирается на свойства числовых последовательностей. Однако она не сохраняет важнейших свойств, присущих функциям: непрерывности,дифференцируемости и т.п. Например, последовательность {xn } непрерывных на [0, 1] функций сходится поточечно к функции, равной 0 на [0, 1) и 1 в точке 1.

Эта функция, очевидно, не являетсянепрерывной.На понятие сходимости ФП можно посмотреть в более широком плане. Предположим, что все членыФП являются элементами некоторого линейного пространства функций L (например, непрерывных,дифференцируемых и т.п.). Пусть в этом пространстве функций задано расстояние ρ(f, g) междулюбыми двумя функциями. Такое расстояние должно подчиняться аксиомам расстояния:• ρ(f, g) = ρ(g, f );• ρ(f, g) > 0, причем ρ(f, g) = 0 тогда и только тогда, когда f = g;• ρ(f, g) 6 ρ(f, h) + ρ(h, g) (неравенство треугольника).С таким расстоянием пространство L становится метрическим, и в нем можно определить сходимость обычным образом: последовательность {fn } ⊂ L сходится к некоторому пределу f ∈ L, еслиÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫÔÍ-12ÔÍ-12Лекция 14ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ67ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫkf k > 0;kλf k = |λ| kf k;kf k = 0 =⇒ f = 0;kf + gk 6 kf k + kgk (неравенство треугольника).Каждой норме kf k соответствует расстояние ρ(f, g) = kf − gk. Приведем примеры норм:••••kf k∞ = sup |f (x)|;ÔÍ-12bf 2 (x)dx.aСходимость на основе первой из этих норм называют равномерной сходимостью, обозначение:fn −→−→ f . Сходимость на основе второй обычно называют сходимостью в среднем квадратичном.XЭтот вариант сходимости встретится нам позже.Альтернативные формулировки для равномерной сходимости:⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N ∀n > N ∀x ∈ X |fn (x) − f (x)| < ε;• fn −→−→ fX−→⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N sup {|fn (x) − f (x)|} < ε.• fn −→ fXx∈XСравним первую из этих формулировок с определением на языке ε-δ“ поточечной сходимости:”fn to fX⇐⇒∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N = N (ε, x) ∈ N ∀n > N |fn (x) − f (x)| < ε.fn gn −→−→ f g;XXÌÃÒÓКак видим, изменился лишь порядок кванторов: квантор всеобщности, перемещенный влево (дляx), усиливает высказывание, так как в первом случае (равномерная сходимость) N зависит лишь отε, в то время как во втором — еще и от x.Равномерная сходимость, будучи сходимостью по норме, сохраняет основные свойства предела.Перечислим их:1) если fn −→f (см.

выше);−→ f , то fn −→XX2) если fn −→−→ f , gn −→−→ g, то: а) для любых действительных α и β αfn + βgn −→−→ αf + βg, б)ÔÍ-12ÌÃÒÓZkf k2 =ÌÃÒÓÌÃÒÓx∈XsXJ Из условия inf |f (x)| > c получаем, что в каждой точке x ∈ X |fn (x)| > |f (x)| − |fn (x) − f (x)| >x∈Xc/2. Поэтому1 − 1 = sup 1 − 1 = sup |fn (x) − f (x)| 6 2 kfn − f k fn f fn (x) f (x) c2x∈Xx∈X |fn (x)| |f (x)|I4) равномерно сходящаяся последовательность равномерно ограничена, т.е.

если fn −→−→ f , то сущеXствует такая постоянная M > 0, что kfn k∞ < M для любого n ∈ N (другими словами |f (x)| < M вкаждой точке x ∈ X и для любого n);5) критерий Коши: последовательность {fn (x)} равномерно сходится на множестве X, если и только если∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m, n > N sup |fn (x) − fm (x)| < ε(14.1)ÌÃÒÓÌÃÒÓXÔÍ-12ÔÍ-12X3) если fn −→−→ f , причем для некоторого действительного числа c > 0 выполняется неравенствоX|f (x)| > c в каждой точке x ∈ X, то 1/fn −→−→ 1/f .(условие (14.1) означает, что последовательность {fn } равномерно фундаментальна на X).Следующие свойства, отражающие связь понятия равномерной сходимости с такими свойствами,как непрерывность, являются ключевыми.Теорема 14.1.

Если fn ∈ C(X), n = 1, 2, . . ., и fn −→−→ f , то f ∈ C(X).XJ Выберем произвольную точку x0 ∈ X и докажем, что функция f (x), являющаяся равномернымпределом последовательности, непрерывна в этой точке. По условию для любого наперед выбранногоÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12x∈XÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ|f (x) − f (x0 )| 6 |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| < ε + ε + ε = 3ε.Так как ε выбиралось произвольно, мы тем самым доказали непрерывность функции f (x) в точкеx0 .

IZ xZ x−→−→f (ξ) dξ.fn (ξ) dξ −→Теорема 14.2. Если fn −→ f , то[a,b]J В самом деле, ZZ xZ x =f(ξ)dξf(ξ)dξ−n a[a,b]axaaaaПоэтому, обозначив первообразные функций fn (x) и f (x) через Fn (x) и F (x) соответственно, получимkFn − F k 6 (b − a)kfn − f k. IZ bZ b−→Следствие 14.1. Если fn −→ f , тоfn (x) dx −→f (x) dx.[a,b]aaТеорема 14.3. Пусть каждая из функций fn (x) дифференцируема на интервале (a, b) и выполняются условия:• последовательность {fn (x)} сходится хотя бы в одной точке x0 ∈ (a, b);• fn0 −→−→ ϕ.ÌÃÒÓСформулированное следствие говорит о том, что равномерно сходящиеся последовательности можно интегрировать почленно.

Следующая теорема дает условия, достаточные для почленного дифференцирования функциональной последовательности.ÔÍ-12(fn (ξ) − f (ξ)) dξ 6Z bZ x|fn (ξ) − f (ξ)| dξ 6 kfn − f k (b − a).|fn (ξ) − f (ξ)| dξ 66ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ68числа ε > 0 существует такое N (ε), что при n > N и x ∈ X выполняется неравенство |fn (x)−f (x)| < ε.Выберем произвольное n > N и зафиксируем. Для выбранного нами числа ε можно также указатьтакие окрестности On (x0 ) и O(x0 ) точки x0 , что |fn (x)−fn (x0 )| < ε при x ∈ On (x0 )∩X и |f (x)−f (x0 )| << ε при x ∈ O(x0 ) ∩ X. Если x ∈ On (x0 ) ∩ O(x0 ) ∩ X, тоaÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ(a,b)[a,b](a, b).J Если дополнительно предположить, что все производные непрерывны, то утверждение теоремы может быть получено из теоремы 15.2, так как в этом случае можно воспользоваться формулойНьютона–Лейбница. Положив gn = fn0 , Gn = fn , получим, чтоZ xGn (x) = Gn (x0 ) +gn (ξ) dξ.ÔÍ-12ÔÍ-12Тогда fn −→−→ f , причем функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и f 0 (x) = ϕ(x) всюду наОстается применить теорему 15.2 к последовательности {gn }.Приведенная формулировка теоремы чуть более мягкая, так как не требует непрерывности производных, а доказательство опирается на теорему Лагранжа.Сначала докажем, что при выполнении условий теоремы последовательность {fn } на отрезке [a, b]сходится равномерно к некоторой функции f (x).

Для этого воспользуемся критерием Коши. Обозначим ψnm (x) = fn (x) − fm (x). Тогда для любого x ∈ [a, b] имеемÌÃÒÓÌÃÒÓx0Последовательность {fn0 (x)} равномерно фундаментальна. Поэтому для произвольного наперед выε0 (x)| <бранного ε > 0 можем выбрать число N так, что при m, n > N и a < x < b будет |ψnm2(b−a) .Для того же числа ε можно выбрать N 0 так, что при m, n > N 0 в точке x0 будет |ψnm (x0 )| < 2ε .

Тогдадля любых m, n > max{N, N 0 } и произвольного x ∈ X получимεε(b − a) + = ε.2(b − a)2(14.2)ÌÃÒÓÔÍ-120|fn (x) − fm (x)| 6 |ψnm(ξ)| |x − x0 | + |ψnm (x0 )| <ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-120|fn (x) − fm (x)| = |ψnm (x)| 6 |ψnm (x) − ψnm (x0 )| + |ψnm (x0 )| = |ψnm(ξ)| |x − x0 | + |ψnm (x0 )|ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12fn (x) − fn (ξ)x−ξoравномерно фундаментальна, так как равномер-но фундаментальна последовательность {fn0 (x)}.

Следовательно, по критерию Коши она сходитсяравномерно. Но равномерный предел последовательности непрерывных функций является функциейнепрерывной. Отметим, чтоf (x) − f (ξ),x 6= ξ,fn (x) − fn (ξ) x−ξlim=n→∞x−ξϕ(x),x = ξ,Следовательно, из непрерывности равномерного предела получаемf (x) − f (ξ)= ϕ(ξ).x−ξАнализ функциональной последовательности на равномерную сходимость достаточно трудоемок.При некоторых дополнительных ограничениях равномерная сходимость будет вытекать из поточечной.Теорема 14.4 (теорема Дини).

Если последовательность {fn (x)} непрерывных функций сходится поточечно на компакте1 X к некоторой непрерывной функции f (x), причем для каждого x ∈ Xчисловая последовательность {fn (x)} монотонна, то {fn } сходится на X равномерно.Функциональный ряд (ФР) представляет собой особую форму записи функциональной последовательности: рядом называют записьf1 (x) + . . .

+ fn (x) + . . . =∞Xfk (x),ÌÃÒÓ14.2. Функциональные рядыÔÍ-12Полученное равенство означает, что функция f (x) имеет в точке ξ производную, равную ϕ(ξ). IÌÃÒÓÌÃÒÓnÔÍ-12Видим, что последовательностьÌÃÒÓx→ξпоследовательности в точке ξ так, что они будут непрерывны на всем интервале (a, b).Выкладками, аналогичными (14.2), убеждаемся, что эта последовательность сходится на [a, b] равномерно: fn (x) − fn (ξ) fm (x) − fm (ξ) fn (x) − fm (x) − fn (ξ) − fm (ξ) =−=x−ξx−ξ|x − ξ| 00 (ζ) (x − ξ) fn (ζ) − fm000k∞ .(x) = kfn0 − fm=(ζ) 6 sup fn0 (x) − fm= fn0 (ζ) − fm|x − ξ|x∈[a,b]x→ξÔÍ-12ÌÃÒÓ69Таким образом, мы доказали равномерную фундаментальность последовательности {fn }, из которой, согласно критерию Коши, следует ее равномерная сходимость к некоторой функции f (x).Покажем, что эта функция на (a, b) дифференцируема и что ее производной является функция ϕ(x),предел последовательности {fn0 (x)}.Выберемпроизвольную точку ξ ∈ (a, b).

Рассмотрим функциональную последоваn и зафиксируемofn (x) − fn (ξ)тельность. Члены этой последовательности непрерывны всюду, кроме точки ξ. Ноx−ξnon (ξ)в этой точке существует предел lim fn (x)−f= fn0 (ξ). Поэтому мы можем доопределить членыx−ξlimÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫSn (x) =nXfk (x).k=1Множество K числовой прямой является компактом, если оно замкнуто и ограничено.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-121ÌÃÒÓгде {fk (x)} — произвольная функциональная последовательность.Для функциональных рядов вводят понятие n-й частичной суммы:ÔÍ-12ÔÍ-12k=1ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ7014.3. Признаки равномерно сходящихся рядовÌÃÒÓСуммой фунционального ряда называют предел последовательности его частичных сумм.

Этот пределможет рассматриваться различными способами введением разных расстояний, норм и т.п. Соответственно этому варьируется и понятие сходимости функционального ряда. Отметим поточечную иравномерную сходимость.Между функциональными последовательностями и функциональными рядами вне зависимости отспособа предельного перехода сохраняется та же связь, что и между числовыми, а именно: любаяфункциональная последовательность может интерпретироваться как последовательность частичныхсумм ряда, в то время как любой ряд ассоциируется со своей последовательностью частичных сумм.Поэтому большинство свойств функциональных последовательностей переносится на функциональныеряды:• из равномерной сходимости ряда на данном множестве следует его поточечная сходимость на томже множестве;• сумма равномерно сходящихся рядов, произведение равномерно сходящегося ряда на функциюравномерно сходятся;• сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций есть функция непрерывная (намножестве равномерной сходимости);• равномерно сходящийся ряд можно интегрировать почленно, полученный при этом ряд из интегралов с переменным верхним пределом сходится равномерно;• функциональный ряд из дифференцируемых на данном интервале функций можно дифференцировать почленно, если он сходится хотя бы в одной точке интервала, а ряд из производных сходитсяна интервале равномерно;P• если рядfn из непрерывных и неотрицательных на компакет X функций fn сходится к непрерывной на X функции f поточечно, то он сходится на X и равномерно (теорема Дини).Тем не менее, как и для числовых рядов, исследование функциональных рядов может быть болеепростым по сравнению с последовательностями.

Характеристики

Список файлов книги