lektsii (830015), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Однако этотинтеграл не совпадает с исходным.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓydcOaÔÍ-12ÔÍ-12y = ψ(u, v)ÌÃÒÓRПусть у нас есть кратный интеграл G f dx, вычисляемый по области (множеству) G ⊂ Rn . Еслиимеется взаимно-однозначное отображение ϕ : G → S множества G на множество S, то как изменить интеграл при переходе с G на S? Есть по крайней мере два основания для изучения вопроса.Во-первых, сложность вычисления кратного интеграла определяется в первую очередь видом областиинтегрирования.
Если подходящим преобразованием исходную область G преобразовать в более простую область S (например, n-мерный параллелепипед), то вычисление интеграла может упроститься.Во-вторых, преобразование переменных может вызываться переходом к другой системе координат,например, от декартовой к полярной в двумерном случае.
В одних случаях удобна одна система координат, а в других — другая. Свобода выбора определяется возможностью преобразования интеграла.Рассмотрение начнем с простейшего двумерного случая. Пусть имеется прямоугольник P =[a, b]×[c, d], который в результате преобразования(x = ϕ(u, v)ÔÍ-12ÔÍ-123.1. Двойной интегралb xПостроим разбиение прямоугольника P на мелкие прямоугольники ∆Pij , разбивая отрезки [a, b]и [c, d] на частичные интервалы точками xi и yj (рис. 3.1). При линейном преобразовании элементы разбиения ∆Pij перейдут в параллелограммы ∆Gij , образующие разбиение параллелограмма G.Интегральная сумма, соответствующая полученному разбиению G, имеет видXσ=f (xij , yij ) µ(∆Gij ).ÔÍ-12ÔÍ-12Рис.
3.1i,jÌÃÒÓÔÍ-1211ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓОна может быть преобразована в интегральную сумму для области PXα β µ(∆Sij ),σ=f (ϕ(uij , vij ), ψ(uij , vij )) γ νi,jгде определитель задает отношение площадей параллелограммов ∆Gij к прямоугольникам ∆Pij .Переходя к пределу, в этом аффинном случае получим формулуZZZZα β dudvf (x, y) dxdy =f (αu + βv, γu + νv) γ νPSGP∂u∂vÔÍ-12В общем случае мелкие прямоугольники разбиения будут преобразовываться в криволинейныефигуры (рис. 3.2). Криволинейные элементы ∆Gij будут близки к параллелограммам, если шаг разбиения мал, а функции u и v определяют диффеоморфизм, т.е.
взаимно однозначное отображениеP → G, которое в каждой точке имеет ненулевой якобиан. При этом то же верно и для обратногоотображения. Локальная замена отображения (ϕ, ψ) линейным изменит элементы разбиения G, нонезначительно. Если мы пренебрежем этой разницей, то получим: µ(∆Gij ) ≈ Jij µ(∆Pij ), где Jij —якобиан, вычисляемый в некоторой точке ∆Pij . В пределе можно ожидать получения формулы ∂ϕ ∂ϕ ZZZZ ∂u ∂v dudv,(3.1)f (x, y) dxdy =f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) ∂ψ∂ψÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Чтобы формула была верна, замена µ(∆Gij ) на Jij µ(∆Pij ) должна иметь ошибку, являющуюсябесконечно малой более высокого порядка, чем µ(∆Pij ). Чтобы избавиться от утомительных оценок(детали — в трехтомнике Кудрявцева), используем обходной маневр“.”Предположим, что диффеоморфизм (ϕ, ψ) распространяется на некоторую окрестность O(P ) области интегрирования P в переменных (u, v), которая отображается им в окрестность U (G) области G.Тогда мы могли бы при необходимости расширить область G, заменяя ее более простой. Например,если покрыть P мелкой сеткой, тогда интеграл по P сводится к сумме интегралов по ячейкам сетки.
По ячейкам сетки, накрываемым областью частично, можно брать полный интеграл, доопределяяфункцию нулем.Второе важное следствие — сведение диффеоморфизма произвольного вида к специальному. Остановимся на этом подробнее.Якобиан J(u, v), соответствующий диффеоморфному преобразованию (u, v) → (x, y), где x = ϕ(u, v),y = ψ(u, v), отличен от 0. Это значит, что одна из частных производных ϕ0u и ϕ0v , совместно образующих первую строку определителя, не равна 0.
Пусть ϕ0u (u, v) 6= 0. Тогда для пары функций (ϕ(u, v), v)якобиан в точке (u, v) отличен от 0 и по теореме об обратной функции отображение (u, v) → (x, v),x = ϕ(u, v), в некоторой окрестности точки (u, v) является диффеоморфизмом (локальным диффеоморфизмом). Соответствие (x, v) → (x, y) также является локальным диффеоморфизмом как композициядвух диффеоморфизмов. Таким образом, преобразование (x, y) → (u, v) можно представить как композицию двух простых: (u, v) → (x, v) → (x, y).Таким образом, нам необходимо проверить формулу только для простого (элементарного) диффеоморфизма, например, (u, v) → (x, v), где x = ϕ(u, v), и для простейшей области P — прямоугольника.Условие диффеоморфности означает, что всюду в P ϕ0u (u, v) 6= 0, а это равносильно монотонностиÌÃÒÓÌÃÒÓРис.
3.2ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓв которой якобиан вычисляется в точке с координатами (u, v).ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ϕ(u, v) по переменной u. Отрезок, получающийся сечением P прямой v = const, перейдет в отрезок[u(a, v), u(b, v)] той же прямой. Область G будет ограничена прямыми v = c, v = d и графикамифункций ϕ(a, v), ϕ(b, v), т.е. будет стандартной.По материалам лекции 2 и свойствам определенного интеграла:Zd=Zbdvc∂ϕ(u, v)du =f (ϕ(u, v), v)∂uaZZ 0 ϕu (u, v) ϕ0v (u, v) dudv.f (ϕ(u, v), v)01PВыкладка верна, если всюду в прямоугольнике P производная ϕ0u положительна (так как она необращается в 0, то сохраняет знак). Если же эта производная отрицательна, то в повторных интегралах следует переставить внутренние пределы.Отметим, что в общем случае преобразование (u, v) → (x, y) является композицией двух, а потеореме о сложной функции многих переменных матрица Якоби представляется в виде: xu xv1 0xu xv=yu yvyx yv0 1(частная производная yx — это производная сложной функции ψ(λ(x, v), v) по x, где λ(x, v) — это решение уравнения ϕ(u, v) = x относительно u, являющееся функцией переменных x и v).
Произведениюматриц соответствует произведение определителей, и мы окончательно получаем формулу (3.1).3.2. Произвольный кратный интегралВсе рассуждения переносятся на общий n-мерный случай. Сформулируем окончательный результат.GPЗамечание 3.1. Векторная переменная x пробегает область G, а переменная u — область P .Обозначение ϕ0 использовано для полной производной отображения ϕ, которая представляет собойматрицу Якоби.Пример использования полученных результатов — вычисление двойного интеграла в полярныхкоординатах.
Полярные координаты (r, ϕ) связаны с декартовыми формулами:(x = r cos ϕ,(3.2)y = r sin ϕ.GGгде r — якобиан отображения (3.2) в точке (r, ϕ).ÔÍ-12Если рассматривать преобразование (r, ϕ) → (x, y) как диффеоморфизм, тоZZZZf (x, y) dxdy =f (r cos ϕ, r sin ϕ) r drdϕ,ÌÃÒÓ3.3. Полярные координатыÔÍ-12Теорема 3.1. Пусть ϕ : O → U — диффеоморфизм из открытого ограниченного множества O ⊂ Rnв открытое ограниченное множество U ⊂ Rn , P ⊂ O, G ⊂ U и ϕ(P ) = G. Если функция f определенана G и интегрируема, то функция (f ◦ ϕ)| det ϕ0 | определена и интегрируема на P , причемZZf dx = (f ◦ ϕ)| det ϕ0 | duÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ϕ(a,v)ÌÃÒÓÌÃÒÓcÔÍ-12ÔÍ-12dv заменаf (x, v) dx = = x = ϕ(u, v)ÌÃÒÓÌÃÒÓGÌÃÒÓϕ(b,v)ZZdZZf (x, v) dxdv =ÔÍ-12ÌÃÒÓ13ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ14Предположим, что область G описана в полярных координатах неравенствами α 6 ϕ 6 β, r1 (ϕ) 6r 6 r2 (ϕ).
ТогдаrZ2 (ϕ)ZβZZf (x, y) dxdy = dϕf (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr.αGr1 (ϕ)ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕПример 3.1. Рассмотрим интеграл от некоторой функции f (x, y, z) по конусу, ограниченномуповерхностями: x2 + y 2 = (z − 1)2 , z = 0.Первый шаг — это разложение тройного интеграла в повторный из двойного и одномерного. Онвыполняется обычным образом:Z1ZZZf dxdydz =I=0Kx2 +y 2 6(1−z)2Z1Z2πdz01−zZdϕf r dr00ÌÃÒÓÌÃÒÓf dxdy.Теперь во внутреннем двойном интеграле расстанавливаются пределы в полярных координатах:I=Возможен и второй вариант:1−ZZdxdyI=√221−rZx +yZ2π Z1Zf dz = dϕ r drf (r cos ϕ, r sin ϕ, z) dz.0ÔÍ-12x2 +y 2 61000Формулы преобразования сферических координат в декартовы имеют вид:x = r cos ϕ sin ϑy = r sin ϕ sin ϑz = r cos ϑ∂r∂ϕвыражение для якобиана этого преобразования:∂x ∂ϑ cos ϕ sin ϑ −r sin ϕ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ ∂y sin ϕ sin ϑ r cos ϕ sin ϑ r sin ϕ cos ϑ = −r2 sin ϑ.=∂ϑ cos ϑ0−r sin ϑ ∂z ∂ϑПример 3.2.
Рассмотрим в качестве тела интегрирования конус K, ограниченный поверхностями+ y 2 = z 2 , z = 1. В сферической системе координат область описывается неравенствами ϑ 6 π4 ,r cos ϑ 6 1. Поэтомуπ1cos ϑZZZZ2π Z4Zr2 sin ϑ dr.f (x, y, z) dxdydz = dϕ dϑÌÃÒÓПрямым подсчетом находим ∂x ∂x ∂r ∂ϕ ∂y ∂yJ(r, ϕ, ϑ) = ∂r ∂ϕ ∂z ∂zÔÍ-12ÌÃÒÓZZdzÔÍ-12ÔÍ-12Цилиндрические координаты могут интерпретироваться как замена декартовых координат (x, y)соответствующими им полярными (r, ϕ). Соответствующий якобиан равен r.ÌÃÒÓÌÃÒÓ3.4.
Цилиндрические и сферические координаты00ÔÍ-120ÌÃÒÓÌÃÒÓKÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12x2ÌÃÒÓ4.1. ПлощадьПлощадь плоской области G вычисляется с помощью двойного интеграла по этой области от функции, равной 1:ZZdxdy.µ(G) =GИспользование двойного интеграла является более сильным методом, чем различные способы на основеопределенного интеграла. В качестве иллюстрации получим некоторые формулы.Если G — это криволинейная трапеция, т.е. область, заданная неравенствами a 6 x 6 b, 0 6 y 6f (x), тоfZ(x)ZZZbZbS=dxdy = dxdy = f (x) dx.aGa0αGα0Пример 4.1. Вычислить площадь, заключенную между кривыми xy = 1, xy = 2 и прямымиx − 2y = 0, 2x − y = 0.Область описывается неравенствами 1 6 xy 6 2 и 0.5 6 y/x 6 2. В качестве новых параметровследует выбрать переменные u = xy и v = y/x. Тогда в новой системе координат (u, v) область будетпрямоугольником: 1 6 u 6 2, 0.5 6 v 6 2.
Поэтомуdxdy =du0.51SJ(u, v)dv,где J(u, v) — якобиан. Для его вычисления выражаем переменные x и y через u и v:ÔÍ-12r x = u,v y = √uv,после чего находим:J(u, v) = q112 uv1pv2 u151p u2 v31puv2−ÌÃÒÓS=Z2Z2ZZÔÍ-12Если область представляет собой криволинейный сектор, т.е. ограничена лучами ϕ = α, ϕ = βи кривой r = r(ϕ), то площадь этой фигуры легко вычисляется двойным интегралом в полярныхкоординатах:r(ϕ)ZZZβZZβ1S=dxdy = dϕr dr =r2 (ϕ) dϕ.2= 1 . 2vÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓГеометрические приложения двойного и тройного интегралов.
Площади и объемы. Механическиеприложения кратных интегралов. Масса неоднородного тела, координаты центра тяжести, статические моменты, моменты инерции.ÌÃÒÓÔÍ-12ПРИЛОЖЕНИЯКРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 4ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Z2Z2S=du1dv1= (ln 2 − ln 0.5) = ln 2.2v20.54.2. ОбъемВычисление объемов аналогично вычислению площадей. Выигрыш от применения тройного интеграла при этом еще ощутимее.Предположим, что тело G имеет простые сечения горизонтальными плоскостями (т.е. параллельными Oxy). Спроектируем G на ось Oz, тогдаZbdzaVdxdy =S(z)dz.aS(z)Мы как следствие получили формулу объема по площадям параллельных сечений.
Если ось Oz является осью вращения, то S(z) — это площадь круга, и мы получаем формулу для объема тела вращения.Предположим, что тело ограничено цилиндрической поверхностью ϕ(x, y) = 0 и графиком некоторой функции z = f (x, y), определенной внутри плоской области, высекаемой на Oxy цилиндрическойповерхностью. Тогда объем можно вычислять так:fZ(x,y)ZZV =dxdy0SZZdz =f (x, y) dxdy.SОписанное тело называют цилиндроидом. Объем цилиндроида можно трактовать как геометрический смысл двойного интеграла: цилиндроид является аналогом криволинейной трапеции.Z2πV =Zπdϕ0ZRsin ϑ dϑ0r2 dr = 2π · 2 ·4R3= πR3 .330VВажной характеристикой твердого тела в механике является его центр тяжести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
