1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 24
Текст из файла (страница 24)
9, гл 181 ,Цля ьахождения мильтойовой формул вается Обобгненным которых со врсменсь ия удобно с1и линами и йь ~и Гам рсйегйа кваигг!Оагьч ировкой классическ й координатами да г дается уравнениях дй Ча дра Язей ра = дда гия, в ции А ыраженна (В Р, г) гс4 дА Х' (д4 га д~, ада величин А й дВ а дтй дА дра В)=„У, Угсловие (А, г() . О выражаггг для величингя А, не зави нй явно„ закон сохранения — О. йг йз Ойрсделенйя (12.3) следуьонг (А, В) = — (В,.4)„' Лсгко ЛОказагь свойства схобок Пуа аизисимметричн (засйределзп елы1ый закон (А, В(ВЗ) =. (А, ВД Вт + В; (А, Вз) (А~АЗ, В) = (Аь В) Ат + А~ (Ат, В) тождество Якоби (А,(В,С))+ (В,(С,А))+ (С,(А,В)) = О ГДЕ ГВМИЛЬТОНИЯН Х)(да, Ра, Г) ЕСТЬ ЗНЕР г1 и р. Согласно (12.1) для льооой функ где классические скобки 11уассона ВОС1 ЮЛЬЗОватьсйда кй. Системао ЬСЯЬ~И Ра, НЗМ' '" (13, + '4 В оирецелогы Ф)а)!( ис фо(ьгаль ", гаа, 1Т УГКБНВИИЯ ДБИЖЛНИЯДЛЯ ОЯЕГАТОРОВ 127 ,й Вй( й 1'.
ИМ1ОЛЬСОВ (12.7) дра дча (12.В) "(.'-;"!:,""' ' 'Збоа~овив1С к новым ИСРемсю1глм г(, О ЯвлЯегсЯ каноническим, ргй ям~ся скобки 11уассгйя ь (;а,;р) а О, (р., рр) -'- О, йа, рр)= г)„д (12.8') -:;",~ааг)я)ь.',~то само изменение г, и Р ИРН двйжснйи сйстсмы есть СОВОКУй- .1!~~~,.,"йослеловагсльных бесконечно малых канонических йреобразой,"ф~й)зй а(О - й = а(! 1 ВГ). р (Г) - р .== р (» -'- й). (12.9) "'";:~ф$;ззои сссхасно (1 .2) измгчыние йроизвольнОЙ функции АЦ„р, г) ;";",~ф)йо 4.- г).4 =.— '-"- Й .- (А, р)) ЪГ.
(12. 10) ь.';.;," )(алла нг:а, Нахождение квантового аналога скобок 11уассойа ;;,~,;Оуйет сйс11агг~р (А, В), йосчаьлс1нйдй Я соответствие йаре других ,:~й((()Й(орос А, В. 11 классй жохом ьрсделс ыы лгя!Жйы иолу'ййь уравне- ,<~~ж:~ жйьзглона 11Х.2), йод гому игоребуем выйолне1В1г (в ойераториом ~"',;~~Р3к! Всех саойств (12.4).412.8).
Бы ислиы кгинтймиде скобки цу- (1 -- дцА, АЗАЯ), (12.11) ;,":~!~~~ рох(жуя ыр~лох сомножи валей варах (12) и (34). 11ри атом =:його и""гиоы:,тьсх сначала йравйлом (125) залем (12 5') а можно ~ХГЛ,;.~всвазт В образном иорлдке. 11ервгдй с;азсоб лает (1 — '' (4Ь4З, Аз) 4д 4 .4з (А(АТ, Ад) == (41 ( (З, Аз) аь (12 12) (Аь л 1 Аа) А1 + Аз (А, (Аа, Ад) + (Аь 44) Аз), 'дай)йюс" с,-'~~::::.'ь: 1 А (:1з, А;,4)д) д (АИ.4 Ад) АТ '= А Ф1м Аз) А 4 (12 1 ))4 Вкааах "" (' '- 12) и (12.12'1, Найдем АА . 4 з)сА Я, .(4 АС~(А или, вводя коммутаторы, (Лг, Аз) (Аго Л !) = (Лг, Аз ) (Л, А;) (12;: Для классических величин порядок безразличен и сгхггв (12.13) является тождеспгом.
Для произвольных операторов (12 ~~ дет выполняться, только если скобки Пуассона любой парь! Впе З::,и отличаются от коммуппоров тех же оггераторов лищь универ~ числовым множителем: (А, В1=. е (А, В) (12' Соотиошения (12.4) -(12.8) теперь да!от возможность тзторы квантовых оне)ззто1юВ: ни!'и! (гХЗ, 9д) =' О, Ре, РХг) = ~, (ХХС, Хггг) = дед по совпадает с уже известными пам результатами (см я гп (12.16~" (х, Хг,) = гХг, (~р, Х„) = гХг Для оператора А, явно от времени не зависящего (12.15) находим приращение за время й дА = — (Л, ХХ) дг. (11 гя Сравнивая (12.111) с, изменением (Б.31) оператора при бссжгвечггй;-;:" лом УнитаРном пРеобРазовании, видим, что классическое кзгювиче;:„ преобразование (12.9) имеет квантовым аналогом уни гарное пре.
-;, зоваггие Йдг) =1+ -' ХХ й. (12' Отсюда от!сдует, что гамильтониан ХХ квантовой системы является ратором бесконечно малых сдвигов по времени. Скобка Пуассона есть наблюдаемая физическая величина, ггогтомугг1 ратор (А, В) должен бьгп зрмитовым, а константа е -- чисто мн! ' Из (12.3) видно, что х должна иметь размерное и действия, а пря ходе к классической механике (й -» О) исчезать, с е. я =- г сог(яг'- Константа определяется согласием результкгов с зксперимегггом и-"4 зывается равной единице, т. е.
'*,.1гь (Л, В1 = гХг (Л, В). (Й т времени. Тогда любое является бесконечно попа дг (12.19). Легко найонечный сдвиг. Иа время а несуществен). Дейст- (12.20) (12.21') гизльное уравнение для (12.23) ",' )вйвгб' уипгзрности (12.23) можно заключить, что нормы всех векто'4жьит. ,,'=',~:...:.;:,-®С1~ ! ойс зр о з -» сех опер р~ з ггу 'ой -.',~тяге РХХ4З! = О) со временем пе меняются (см. (Б.24) и (Б.27)).
~~'~':.:".", - * про! звггльного оператора А закон изменения со временем сог- '-~~~:":,: изв.(12.10) н (12.18) имеет вид — = — + — (ХХ, А) . (12.24) ггг дг я ''ъ: ":-,гпвлггч! " '-""! !!!геринга)гньге уравнения дено!ген!о! Гейзенберга. Как и спервгпрные соопющения, они справделивы в любом базисе "о в!'деть, что уравнение (12.24) обладает формальным операревгег!Ием Лекиия !!Я хи!!В!!ЕНИН Двизкяггни ЙЛН СГПЕРЯТГЗРОВ гав ,пщюониан ХХ не зависит явно о ';."~!~~: —: „ейск!евгение системы во времени льпос пас бсскогге'нго малых сдвигов „з !гите оператоР, осУществлакгщий к , мзХХ10Г =- 0 начальный момегп отсчет )(1!!-"; .' о опер!пор сдвига на г + й есть произведение ХХ(г + дг) = ХХ(дг) ХХ(г), ~~~-'-"„'."юуя !'12. 19), имеем 1)(г .г дг) = ~1 + — дгХХ~ ХХ(!) = ХХ(г) + -г й ХХХХ(г).
(12.21) я -':; С,':-;.й1)уса!! егоровы, я ХХ(г + й) = ХХ(г) + дг -" гГг "„'-'~узпггевие (12.21) и (12.21') дает дифферент %~ффйора ( '(г) '- =-'Фу, (12.22) ',.--З1й1)у!ге надлежи! рещить с очевидным начальным условием Х/(О) = 1 .'-:,',;:Вг((ага!а получаем оператор конечного сдвига во времени лекции по кв))нтовой мех))нике гн),» А( ) -~)1))я ()(; А( ) Й -) , — ю й ) )), д)) ) )г ~~А дя ))) д) Подчсркпеы, что наши векторь) состояния никак от време а вся временная зависимое)ь (динамика) сосрелоточена (12.25). Это так называемая карл)ива ') ейзснбсрга В мой ри )пые элементы наблюдаемых можно выразить как (Ф, А(г) Ф') = (Ф, ()(~) А()) () )О) Ф') =- ((I )()) Ф, А( в еперь картав )) 1, -1(1~' япия валента))~',, или, вследствие унитарности ()+ = 0 (Ф,А()) Ф') = (ЕУ )()) Ф,А(г)()ь '(г) Ф') А ) ) = М'),.
))О) = ~)Ю '(дд =- о) а зависимость ог Времени перенесена па векторы спето Фш()) = () '()) Ф =- С '""" Ф которые удовлетворяют „уравнению Шредингера" гй = НФш()) дав)()1 д) !ь(ы видим (12.26), гго обе каргины физически )кгв как для любой вели'ошы А (Ф. А()) Ф') = (4) л)(г), Аш()) Ф,л())) Введем так называем)'ю кт)рл))))9 гт())сд))вдсрщ в кгп ры (явно не содер)кашне времени) постоянны в силь (12 Лв,„,„я)Я „,;; у ьвнениядвижениядляопе Атогов )з) „,, и) оно представляет собой час п)ый случай общего унпгр)с)ования (6,25), (Б.25'). Смысл его очевиден. В картине ))стеыа,„врал!Ветел" по закону (12.23), и мы описываем ее ео «ра) ) покоящейся системы отсчета, в то время как картина . а о)вс )ае) описанию покоящейся системы с помощью ба,й)ЯРащак)вк' ' ов)сгося по (12.28) в обратную сторону. Оба описашдя дают енине )сзУ))ьтать) аввеяяе 13!Редингера" (12.29) не есть то уравнение, которым лись В и!эсдыдущих лскпиях.
Опо ласт зависимость от Врссщ)в) еровского всктора состоЯИНЯ, В '!о Время как Раньше речь =--'" Возновьэй фьикпии -. проекпии гейзенберговского вектора со=" 'зйРедив)с ,.'"' " ' я иа орпд о )Рсдщ)снного ()заг)ример, коорд)п)атт)ого (10-12) или '"-""' ьсиого 110.12)) прело) авления. Получим теперь уравнение Шре,:: зь)ьв:.'в~ в „старом" смысле.
„~~~~~ )лпсрссуст изменение со временем амгшитуды вероятности ,ьудд())ь(1А)нв (Ф) П), Фд ) состояния !А) в В-представлении. Здесь мы ')(~~~~~~руем Вектор!А) иа г)срсысн)п)е орты, изменение кгп о()ых дастз',,"дднвйгоы вс времеви Ф (л) = ! В(и) = ()( ' — )) 'В( )), (12.32) ":";срсратор сдвига был найден в (12.23). Тогда искомая амплитуда -..'!':',::.:-:::::::;-:=: (Фв(") Ф )=(бзФ ()) Фд)=(ФЛ()) ЙЯФ )= (1233) = (В(г)(0 )() — ))!А).
~~~$~"5всконечио малого сдщ)га г' — г =- ))) согласно (12.19) Й-' =! — -'й Й, (12. 34) я .'В~1!)Ф(О, (! 2 !3) даст !ВЯ(!+ ))))!А) =- (В())1А) + ))г —" (В(Г) !А) = (В()) '; 1 — "- ))) Й ~А), гв я 3огда — (Ф ш ()), Аш И ФФ ш(1)) = — Ф. А(г) 4Н) =" ('1 ))) д) т е. взяв в уран) гении (! 2 24) магри щый элемент (Ф !... ) Ф ) И щм рассмотренные ранее уралиения движения лля матр элемента (4ВО) со всеми их следствиями.
Обратное прсобрсю от картинь) Шредингера к гейзенберговской --. лается 4)ормР~;:" Ф = (,)()) Ф, А(г) = 6( ) А~ ( ) (з '()) вольном представ- ))) — ' (В()) ) А) = (В()) ! Й )А). урщ)нгяще Шредингера в произ с"'пиопарпых состояпий ~ А) мы получаем ЬФ!ы;Й) ) А) = Ея 1А), так что (12.35) сводится )Л -" (В()) ~ А) = Вя (В(г) ~А), д) йа1И= «У ~«?> гй (Уу ви 1 = Х1«у'"> (гу" ~ в( .лекции по квлггтовои мехдгзике репгение которого дает гврмогги гескукг зависимость в 1хлгпюстн от в)гемени (о'(«) г,у) = е г игггг ф(0) ~ А> Остановимся более подробно па коордилшллам пр знойные векторы ( «Д такого представления — — это сост лепными значеигями «уа всех координат ууа (для одно« стояние, где частица локализована в точке г): Векторы ~ «у> оргонорыированы, («у' ' Ч") = д (Ч', 4") = П д(«? — 0,) и образуют полную систему.
Операторы г?а, конечно собственном базисе, так что их матричные элементы (у' ~4а|у") = Ч'д (у', у") = Ч'д(у',4") Найдем матричные элементы оператора импульса ном представлении. Будем исходить из перестаново гных соотношени (12.8), от которых берем матричные элементы («у''.. гйгд уг д И', Ч") = («у 1 0аР«г — узу?Ч 1 «"> Вычисггясм матричный элемент в правой части по пра го умножения: (д' ) Ер ( «у"> =,,"„(д' ( У?1«у"') (4"' ) р! 4"> что равносильно „прокладыванию" полгкгй системой '1огда цз (12.40) и (12.39) получаем гйдггуг д(?'„«у") = (гу„— «у„) («у' ) рд г гу") Тот же результат можно получить и иначе, используя ние (12.37) и эрмитовость операторов г?а.
Решением (12.40') является (ч' ~ руг ~ «у"> = — Уй —, д (?', 4") а«?д асти цы диагоггаггя ' " ггньг гам ыкгг)г пкций гз( ' гзг: 12.40) ря гэ УЕАВ««ЕНИЯДВггПКЕ«ГИЯДЛЯОПЕРАТОПОВ гзэ ,~,,',-:,';:..' ',„,ио согда гг„) (у'1 угр' ,г?"> = «у' (гуа Ча) д (г?'. «У') == ':" ' .3- ((а,, -- 0 ) д И' «у")) — —. (4.
— ага) М, 0') 'ех зна гениях переменных (да — йуа) д (д'„г?") = О, так что -'.: - 'гт~ при вс ' (?. — «угг) (гу' г Рд г 7") = гуг Йа — г?а) д (гу', Ч") = = г?г даД д(д:,«У) ".~г;"',~~а«сии с (12 40'). 11а самом деле, решение (12.41) неоднозначно и ",)~!~фяется с алчностью до слагаемог о вида У'(?') д (гу', д") с произ- ,:~- угз)'„~асин ,,',,,'',"':1(ьгуой фупкццей у'(Еу').
Однако всегда можно сделать унитарное пре„уыг1„,~«3гогВаггие к гювым опе1гаторам для которых будет сп)гаведливо ,„'-"',1)',"ггг)1>гол '- 0 '!.::::;:;~:":~:гягмсшью «12.41) получаем для произвольного состояния ~ А> (у ~ уг ~ А> = Х (гу! уга 1 у'> (Ч' 1 А> = г« (12.43) = — У?г --,~ д(«у, «у') (0?'1А) = — г?г — (г?1А), аяа :;,"'(1%~.:,";для любой функции уг(гуа, ра) ~с..';::,'::."..~': г (4« ~ "(г?а, Р ) ~А> =- У'1«уа, — г?г — — -) (г?,~А). (12.43') Йяа? зуадг!~ге.''есть уравнение (12.35) для изменения со временем любой ампзгг~~~)~1:(~(«) ~ А), В частности, в координатном представлении ,, (гг(г)! А> = «у(«) 1а(г?. ?Х )! А> (12.44) асть (1"-44) содержит матричный элемегп, вычисляемый по ;!!~~=;йсз гЧзавггггу (12.43') заменой ра - — ууг --, где производная будет Ж-:;:- ть гге амплитуду (гу(«) ! А>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
