1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 26
Текст из файла (страница 26)
51П О СО5 0 51П В т. е. компоненты вектора, не зависяп1его от координат, преоб друг через друга, и это преобразование можно записать как д оператора „спина" на столбец из компонент 1'. О,(др) 17 == 1 — '- д1е6, Ё, '45 я» где оператору спина отвечает матрица 3 х 3 о„=л 1 й О. ,б ОО ПуетЬ тЕПЕрЬ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 1'(Г) СаМО Заннент О1 КООРди .ь да к преобразованию (13.15) компонент 1» добавится обь'шее зоаание (13.11) функций при поворотах. Оно не имее' отт'О х::=:.
векторности поля (каждая компонента преобразуется нсзааи,.;;:.;. скалярная функция координат) н заключается а том, '11о преобразованной функции,» в точке Р припшо в нее нз точк1,::,'„;~' Рассмотренная выше однокомпонентная волновая функц„'»хг кцня преобразовывалась при поворотах лишь в силу своей явной э „::-':„: ти от углов вектора г (13.11). В случае жс многокомпонсн1, аой функции (г; 5, (А) компоненты могут преобразовываться .к щениях друг через друга подобно компонентам обычного ае означает, что оператор К (13.12), вообще говоря, не дает „ пения состояния при поворотах, а следовательно, и не обяза,»з-- наться. Сохраняться будет лишь полный угловой момент ,7 = Х + Ь', .(Ь' складывающийся из орбитального Х и спиноао1.о о момснтоа," '..'~А.
(13.17') Рх~урх ,х ', З СБОЙСтВАСИММЕтРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 1А1 Л ') 17,.1 = Л()-' ). (13.17) "!;:.:,''.:.ф„~,„„1 для ~~~~~р~~~~ поля Р(г)- () Г = Рьф-1г), Их у 1» означает преобра-'1ованис (13.16) компонент вектора. На;,,:.:;,:" ' дяя компоненты Р(Р) имеем ..;;=:.,~~'фр) 1;(х,у, ) = ~.'Ф-'х,0-'у,(7-' ); 1'„= Є— дрР, ;, '""""''161вчно (13 16) (» 'х=-х+уд»р, (7 'у=-у — хд(р, (»э 1х=х 'а))1ах)вму ()х(дуз) 1"„= 1; (х + у д»р, у — х ду», х) = "::~~:(хз+ уды,.1 — др, ~) - др ~'х(. + у др, у — ду, ~) = (13,1З) 'Ф:1'х (х, у, -) — др ~'х(х, у, х) — д р 1Х -'--"-' — у — *1 ау ах/ А1!!'„':,Ф::окончательном виде преобразованное векторное поле равно (»',(д»р) Г, = 1»х — д»р)» — д»р (Р х 1»1, ~; (13.18') ',.' '::вводя операторы спина (13.16') и орбитального момента Х,, = „.,;-'~;::К р1, = — 16 (Р х Ч1,: (»*,(д»р) = 1 — — ' д1р 8х — — ' д»р Ц„ (13.19) я ' я хх х, х, нс, 1енеРатоР бесконе1но малых повоРотов есть полный талан ,-„„:.: т;„-(13.
1л) Й~~ хЯЧ»ВЙЕ 1Ю 1ю сравнени1о с классической мех~никой «вантовые закалим ::- "ЯЯ ~б~заны своим происхождением конечным снмиел»риях» 1ЫМ и 1 преобразованиям, оставляющим гамнльтониан инвари- :-:А:х„) ЕСЛИ О н оператор, описывакнций такую симметрию (здесь, коелзиат поня"г оьгятия генератора преобразования), эрмитов, то он отвеча'" .. даемой сохраняющейся величине, еншее дискретное преобразование — это просп1рш»сл1аенная Опе а Ратор отражения в плоскости (ух) обозначим Р„„соотНо а пло лоскости (хх) — Р „в плоскости (ху) — Р,. Оператор ,$ У' ерсни (13.20) лекции по квАнтовой мехАнике з Четыре введенных оператора коммутируют между собой „ митоаы Любая парная их комбинация эквивалентна некото роту, т.
е. принадлежит к уже рассмотренным непрерывны~, Действие опера~оров Р... и Р на любой вектор состояния '"-.". ный с помощью какого-либо полярного вектора Г (например '"У ние с определенной координкгоЙ г или с определенным импул,~". очевидно: Р, ~ 1э) = Р, ~ 1'„1;, 1'а) = ! — 1;, 1'х, 1'а). Соответственно преобразуются при пространственном Отраж -" операторы (3(1) -РФ) = М(1') Р-' = й-1') (1' Любой оператор физической величины, являющийся полярным.'" . ром, меняет знак при инверсии. Полярными векторами яяляюте э тор положения Р, импульс Р„напряженность электрического вак векторньш потенциал Ы. Операторы аксиально-векторных ( "" векторных) величин, например, векторное произведение двух '"' ных векторов, при пространственной инверсии не меняют зяЖф':: мором служат операторы углового момента 2,, О, э или напрюяа магнитного поля сМ' = тот ага.
-"Ф Все операторы отражения совпадают со своими обратпымк ' пнями (Р = Р ') и поэтому унитарны. Поскольку для них Р2 = 1, () то собственные их значения равны П = а- 1. Соответсгву1оп2ве'Р, венпые векторы отвечают сосгояниям с определенной чстносй1)Й) ложительной или отрицательной).
Гамильтониан замкнутой системы частиц, взаимодействие которыми зависит лишь от относительного расстояния, Ф .-.2 Ф Й = ~~ — а- + —,,"„ГГ'() г, — гь ~ ) Ъа 2„ очевидным образом инвариантен относительно просгранс* нс гаейч'..; ражений, т. е. коммутирует со всеми Р. Поэтому стационар а иьзе ' аа ьшантов$1з;," ния (13.24) можно характеризовать сохраняющимся кван к лом — - четностью П (ср.
с (6.10)). Легко видеть, что я состо ° стоянйФа опРеделенной четностью Пя сРеднее значение любо1О Олей меняющего знак при отражениях (например, полярногс Ь ного ве .в равно нулю. Действительно, если ()' = РДР ' = РДР = Ма 1З СВОЙСТВА СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 14з ДЬ = (йэя, РРХ) = — (Фя, РРАХ) = .'."!;::: (РФА, 0РйэА) = — ПАл(ФА. 0ФА) = — (0>А = 0 -,,:;:,-'-!"" а а ~астности, следует, гго никакая система заряженных можез в состоянии с определенной четностью обладать скл~ ~ ЛИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ Ф= 1 е„г„ (13.25) м ~жет иметь каалрУПОЛЬный мОМЕнг 0в = ~~~~ еа (3х~ х1 дцга ) (13.26) '=""''.~агнитный момент,й (псевдовектор1).
Дипольиый же момент г1 ф~р.яенулевые матричные элементы только с изменением четности. .-и!з~йвкя 3 мы видели, что при движении частицы в центрально-сим'~ф))вчпом поле стационарными являются состояния с Определенным "'""" ' льнь|м моментом 1 и четностью (- 1)'. Поэтому такая система не обладать дипольным моментом. -.,;='::,,~фалсчением являются случаи, когда состояния с различными 1 и йегностыо оказываются вырожденными по энергии.
Тогда в стационарного состояния можно взять любую их линейную 4йфйввацию, не имеющую определенной четности и поэтому могуйметь (Ы) ~ О. Именно так обстоит дело в атоме водорода, где а Р,:аелучайвое" вырождение (лекция 9), происходящее от наличия доьногс кулоновского интеграла движения. Вследствие этого ,з,,=,.з)й)аления классические кеплеровские траектории замкнуты (эллип;,;. й частица большую часть времени проводит с одной стороны цепт-й Как ры эквивалентно (Й) ~ 0 '.'=;..';:.'Феди же -',„'„,,"и же поле не является чисто кулоновским, то орбита частицы не -,й .; ата а имеет вид 132а, 3 141 поворачивающейся „розетки'*, так что О"ние свободного движения частицы (бегущая волна) е'"' не ределешюи четности; в Отличие от этого стоячая волна в сим",.;...Чйоы я~ ° 1 янике имеет определенную четность.
Макроскопические "'::-: „-дстааляют собой волновые пакеты из большого числа близких " микросостояний с разными четностями, т. е. могут обладать (ь.; л ельно к элементарным частицам говорят об их ялутрева.;;аВОЕЬЛ При этом оказывается, например, что внутренние чет- лекции пО кБАнтОВОЙ мехАнике ности протона и нейтрона одинаковы (безразлично, счит„-,-ь л -."!» ложнтельнь«мг! или Отрицательными) и п1»ОтивОПОложщв»»н тать ли, '.-,*; четностям антипротона и антинейтрона. Так же противопол Ложиц!: ности электрона и позитрона (см, лекцию 41), а и- и К мсзо„ сзоны..'- дают отрицательной четностью (псевдоскалярные час«щгы) В . пионов или каонов можно говорить об их внутренней четност„в 'стив лютиом смыслс, потому что Они могут Рожлаться или «»Оглощат«:,"я одиночке, меняя определенным образом полную четность сост ча 0 внУтРенних четностях элементарных частиц можно судить ~фь цессам их взаимного преврагцения, сравнивая четности начал конечных сосгОЯний (с»«четом, коне'пю, и внутрен«1их ВОЛ»«овых- ь ций, н волновых функций, описывающих пространственное д частиц как целого).
Оказывается, большинство взаимодейс«вий з. " тарных частиц инвариантно при пространственных Страх«епияь'.;йг сохраняет четность. Насколько сейчас известно, неишгарглцпным -' ется лишь гамильтониан слабых взаимодействий, ответствеп '"' сравнительно медленные (т. е. протекающие за времена„ма яме ЛВ" нению с характерпымп ядерными временами т„— 11,,«е — Щ':,,, процессы типа р'-распада нейтрона л -» р + е + Т«,, на протон, электрон и электронное антинейтрино (время пол составляет порядка 1Оз с).
Сохранение четности в процессе означает„ грубо говоря, чтозт::" кальпо отраженной лаборатории процесс будет протекать совер,'., аналогт«чно и даст зеркально отраженный рсзульта«. В р;"», (13.27) это оказывается не так. В опыте Ву (1956) по 1»-распаг»у....,, зованцых (имеющих заданное направление д спина з) Ядер обнаружено, что число электронов с импульсом р завищ» «от Угла', ду направлениями р и д. Число электронов, вылстаюгцих под У ';,.
(соз О = — д), оказалось пропорциональным Р р 1«'(О) — 1+ а соз О, :(Ф „' гле коэффициент асимметрии а = — О1е (релятивистские эле"' е преимущественно летят против спина ядра). Величина Р ' а "...-;:: иро»»зведением полярного вектора па акснальпый и ««Оз««» «у скалярна (меняет знак при отражении координат). 3««а"«»г«, В з ." ".'- отраженной лаборатории вместо (13.28) мы получили бь' др ° ° ловое распределение 1 — а сов О, т. е.
наличие псевдоскаляр ,а в',, риментальном результате (1328) отвечает песагрпп«я««««о »«еял.; и слабых взаимодействиях. (13.32) ю»ЛФ, « 1 сывает во вре- » з ГВэйстпА симметРии и зАкОны сОхРАнения»45 „,„, О, пространственного отражения, отражению времени ячис о, ,'~,;-е „„,, ои закон сохранения. 1»ак мы видели в лекции б, пре'о«ванне Ф- Ф=-ТФ (13.29) солержгп переход к комплексно-сопряженной волновой (замена начальных состояний к«п«е'»««ым), так "по оператор ° " .: Е ВЯ ЯРЕ»»ЕП»» Т = ()«»"Т„ (13.3О) .,~зз'':::,:В~-' ун»парный оператор, а «Ж вЂ” — Оператор комплексного сопря- ;:'з«в: "~~: рэгда преобразованный оператор наблюдаемой физической ве,:~= „а,с- ~ = (ТД»()-' =- 1,«ргТ ' (13З1) '-"::-'Ь(~йрвтиь«й вид оператора 12 определяется принципом соответствия, ~;;:;»Т1ь1««як ловедсщ«е классической вели ины при обрап»енин времени из- ~:;;-")з~в)гйо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
