1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Из (15.3) легко получ1ггь представления оператора »з: , /в .»- = ./З +»',, + .»З = »,./ +»З — .», =- ./. 7., + ./З + Л, (1$' Действуя операторами »м» и 7',/+ на предельные состояю/я 14г) . ) 2/> и пользуясь (15.6) и (15.2), получаем О,. / / 17/> (гг /1 /) //> (7 /.. ) 2»> (1„ 0 =. » ./ ! 2/7> .= (/З вЂ” 2,' + /-.) ~ 2»7> = (Я вЂ” »' + /7) ~ //') 1(а/;:-;- Сравнение (15.7) и (15.7') дает 2 = »(/+ 1) =- — /( — /7 + 1). урал нис(15.8) и р 1ен я /7 = — » и» = »'+ 1.1 ак»7 ~»'- /' = — /, т. е. Максимальная и минимальная проекции равн1а "О;" ° ОС'/ООВ',~. л/отпой величине и противоположны по знаку.
11о /' = (»7 + целое число), откуда 2/' должно быть целым: д1/я мультиплета максимальная проекция момента равна целом) ' М1 НЛИ'. 7 .' целому числу» = О, 1/2, 1, 3/2, .... Согласно (15.8) число» определяет „длину" вект1'р" Л ..ра М 17сл7аяяяюа ,~/(/' + 1) и поэтому часто называется просто л7оисл7воч с17с7177 гс,чая 7В ОЕ7ЦАИТЬОЕИИ ЛЛОВОГС7МОМЕНтА 7ВТ о пользоваться для характеристики состояния вместо /(. и мультиплет из (2»' -ь 1) вырожденных по моменту со*' 1ИОМНО ::-'М1Ы ИМ1ЕСХ1 ~ .„) ЛЛЯ КОТорЫХ ',"',1" 1 ~р ~ .
л> =- /(/ + 1) ~ /171>, .»7 ~ »//1> = т 71 /л7>, 7л =-' — »', ...,,1'. (15.9) колья/ все1ца,//(»' + 1) > (Р7) к .— — /' то обсуждавп1ееся в чек б соотношение неопределенностей между /„ и имеет место длл любых систем и фактически е а "*'-" 1а име ~/азз1вности (15.1) ,~~~/йдеы теперь матричнь1е элементы операторов,».„ 1~~~~".-" ": Храторы » з и /7 диагональны (15.9). Состояния ~ / ».",'г/1";!,",' - Как принадлежат разным значениям эрмитОва 'г/~~~~ля'Б 1), и мы будем их с пггать нормированными ;-,,$1)(ивяные элементы обозна /им а„= (/1л+ 1!.У+ )»л7>, /7 = (/л7 — 1~ » ';,''~~~~7аие (15 3) ./„= ./ дает /7,„= (/т,'./7 ~ »л7 — 1>' = с7,*„ (1 5.
11) ,»~~(з:"(»15.10) и (15.11) находим + '/ > 77"7"- ./л7+ 1> г/м/777 + 1 ~»л7> = 177 ~~ (»1и>, (15 12) ''~7~п7Й сторонь1 согласно (1 5 б) ( ) — >=Ф вЂ” — /з)~ >= (/(/+ 1) 1" (л7+ 1))1» > =(/ — л7)(/+ + 1) ~»1И> ,"'~',":,:,:::„"::~~атал (15.12) и (15.12'), получим ~7777! = (/ — т)(/+ 1л+ 1) (15.13) ,;:~~~ и'1три'1ных элементов (15.13) выберем так, чтобь ,"~~м::-":;;;.,::, когда базисом служат сферические функции у/7н .. с 1трямым вычислением матричного элемента пр =' -,"'ласно (8.20), (8,22). Легко проверить, что при эт , ",~~!:,-:..„::.И™ ам, б„веецественнь1: .::.,:,,:;',':::: ч(» — л7)(/+ т+ 1), Ь„, = ав, 1 =,/(/+ т)(» — 1и+ 1) = а ..
',=":/ат'ельно 11;";".":: (/и/',,/ 1/л7> = д 7 дев„„. 1)з/(/ * 7а)(/ "" Л7+ 1). (15.14) Эти результаты полностью решают задачу о нахождении в можных систем собственных функций любого оператора а и в~:!" " меть (о«збитальиого или сливового~ однои частицы илн системы целом). Как следует из (13.19), оператор момента.7 генерирт печно малые повороты вокруг оси а. В силу (1539) при всех т;и,::,'. воротах собственное значение у(у + 1) оператора Гт нс меняется ' '::" екция гл (ориентация) может изменяться (при гт =- х или у), т следовало ожидать, при вращениях 2у + 1 компонент мульт„()' преобразуются друг через друга. В качестве проглейшего (но очень важного) примера расом'"""" частицу со сливом з = 1/2.
Согласно (15.9) в дышем случае еШ,-:,' состояния 1 1П я,), зт = .ь 1/2, образующие сливовой дублель Л спиновое состояние частицы есть суперпозиция вида Х = п+ ' (Уг 1«2) + а ) Уг 1/2), )а~ (т + (а. )т =-. 1 (ф Поэтому удобно изображать векторы состояния частицы со спянщ~::-" в виде двухкомпонентного столбца (снинора) =й (1Ф' где в соответствии с (15.15) верхняя компонента егль амшштуда ятности найти частицу в состоянии с з, = 1/2, а нижняя -- в со с т, = — 1«2.
Точно так же волновую функцию частицы с любым', нем х можно записать (2х + 1)-компонентным столбцом. Базисные векторы ~ Уг з,) в представлении (15.15') имеют а~Ф; 1О1 у+ — — )Уг Ь2)=~~, Х.:— .(12 — 1!2)=-~ ~. Цбб -И -- М Матрица з, диагональна в этом представлении и согласно (15 9), ...,,, (3«г о 1,О иг па базисные векторы (15 1б) краине просто: ; Х --. О, х~Х = Х+, з-Х+ = Х-, Х-.Х = О. (15.19') ~ереходя ог 1". (15.19) к т~, зг, согласно (15.3) находим ('ь + Х ) =- 12 ~1 О~, хх = — (з+ — 3 ) = Рг~, ~, (15.19") ичный вектор спина У удобно записать, введя три сливовых «йд)ни а,„объединенных в вектор ой «15.19") н (15.20) получаем, что (в единицах 6) ра мюриц Паула нещюжна.
Квадрат любой из них есть едитрица а'; = а-' = ат =- 1, (15.22) сивые соотношения их легко получакпся из (15.1): о,-ьитп„=а а, +а,п„=о о.+а,а„=-о. (15,24) кторы (15.16), как и должно быть, Явг, ь и з, с собственными значепиямл =" Ьг:, ", (15 = Уг ~ ) Х. = ~- 1/2Хе о проверить, что ве тленными векторам ие и п~ нижающие опепатооы ''™ а, папд баа + жизт 1яоизвсдения и~од на симметричную по о.', «) и антисим- части), или для любых (нематричных) векторов А„В л акции оо квантовой м ахки икь Р, = (1'2) бр Р, О =-- (112) бр (Р ) Наиболее об1цпй вил нормированного спщюра (15 1 гцсствспиыыи па1эамстрами О, р, д 1а/ ~клс В1 (15 29) имеет паулядлый физи 1сс енг вектора спина Х в состоянии кий смысл.
Срсд (15.22) равно ! а) ' =-- 1У.С (п,.п а ) 2 мп О созе. 1 Форма ком пои (г,)=- у, .О,у) =.=- И,а =- КС Е "1 СОК Ека "' И1 ии 0 „., В 2 2 1 (.,) —.,Й 0.1.1л, (.,) = -- ", 0 2 2 пи п|ыЙ вектор л имеет 1юляриые пиь песу1цественпую обц1ую фазу ли Ввссти Опс13атОР проскции спи1 3лс сди даст уп 1-.с ию л с-"~ ():.
УУ к(п О 1( п, и,— Уиг) 1( соз (зуУ) == — дй = — ~ 2 1л,. + 1н„— л,. ~ 2 '(к(п 01 то, как легко проверить, спнпор (15.29) является собс1всппы~:,:;:-:,".; нием оператора (15.31) с собственным значением '1 2' ОчсвндНО, ВСЕГО су1ЦССтВуст 2 х 2 = 4 липсйиО Иеэави„и„ <-ИЫЫВ "' рядных матрицы, В качестве которых можно Выбра1ь магр„ а грицы'- " -' оа и сдини щую. Любой оператор Д, дейспзующий в Орос„1,, С2ояпий снипа 1У2, можщ быль представлен супсрпозициеи., В рех матриц: О -= Да . ! + Д . д (В ~астносги, как ВиднО из (15.25)„1юлинОМ Л1ОбОЙ сгепеии а~," рицам ас сволится к линейному выРажению). Коэффи11исип1 Ь,йр~з е (15.26)~ ..
и и, ю1:у. ',, и. (зн) т = —. (15.32) 2 б. И2М, Всегда существует направление (О, ьэ), проекция на асора х равна ь1У2, т. е, в любом состоянии у-частица со а'" бпсраи 1у2 лгьзлризоааиа. Частицы с вк1сшими спинами таким своЙ,. -, Обладаюз. Согласно (15.29), если частица поляризована вдоль „Рез анализатор, пропускаю1ций тастицы, поляризованные Вй~т $ . (ж~-.-'': („вверх*'), пройдет в среднем доля всех частиц, равная = ' 'о) (ср с (111.6)) л"14~фстим, '1то Операторы р-.'.,:;:,:-::: У~ (й) = — (1 — дй) (15.33) ""'::))(~~~'з~ся лроскииониыми, выделяюп1ими нз любого спинора 2 часть, '$$(ййй1(ууо проскцию спина на Ось п, РВВную ='- 1у2: , ': .' "(Зкй) (Лс(й) т) = — (дй) ° — (1 ь дй) У1 = .
- — (Ой ч- 1) т = ;г;.„: . 2 (2 "У 2 2 (15,34) — — (1 ч- дй) у = чс — (Лс(й) у)„ -";фа)рпользоиапо равенство (дй)2 = л2 = 1, вытекающее из (15.25'). ,;;"'Р1-."-'.)Мгрица (13,13) конечного поворота па угол ьэ вокруг оси з (7Я) = ехр — -- 9ТУ, (15.35) .'согласно (15.9)„матричные элементы (у'гй ~(у,(р) 1ул1) =- д 'д„, е '"'~'.
(15.36) ';;"'~:"у)Е)1ых) целыми являются и т, тогда е " 2"' = 1 и Ц'лу ~()Д2л) 1 'уУИ) = д . д,„з (15.37) "-'~!,:;.'"-;;::":::, ~нйл) = 1. Это и понятно, так как целое у может отвечать орь,„~й)Ь (У 'У моменту. Целочислениость гл является тогда следствием Вес"н~ (8.16) волновой функции ф (г) и, следовательно, периопс углу З2, поэтому 122(й) вообп1е не меняется прн повороте КфЯ ПОЛ 'Ъ,:: Олуг1слых у и гл соп1асно (1536) 0„(2л) = — 1, (15.37') полный поворот меняв! знак вектора состояния, т: е. ввгвгвув)сл ."»о...
СТВВЛСПИЯ Г»зуППЫ В»зашений Г»а)взначиов П7ЖДССТВСНПЫМ Вра! и р + 2л отвечают разные матрицы: О(47) = — О(уз + 2л) 1) ПОЛУЦСЛЫС МОМегвТЫ ОТВЕЧагОТ Слнну, ЗДССЬ НСТ Т17ЕООВННИЯ ности волнОВОЙ фУнкцни как фУпкции кОО»здинат; НВУзвва.ввыечк ставлсниЯ допустим!Я, так как физичсскис СВОйства все рави!в бв висеть лишь от билинейных комбинаций спиноров. Задача !5-1. Доказав!и что длЯ спина з: — 1/2 опеРатоР повоРота 115 1У» „'- вокруг оси в равен Ол(а) = соз — — в (агв) нп а -, а 2 2 :6., Указааве. Воспользоваться тем, что в сввп) 115.25) любая чегввм сгепеиь равна единице. Задача 15-2. Найти операторы момента для у = 1 и сравнигь с ьгагрввианкт-'*-'-'~ разовання вектора (15.1б).
;)я Отметим, по для частиц со спинам я оператор Т обрап!опия ни (13.30) также должен быть матрвщей, действующей на оп!!ноя' 17смснныс. Его Вид Определяется тсм требованием, втО и;зн отр времени спин, как и любой вектор момента, меняет знак; 5 =- О зв" О-' = — з. Задача !5-5. доказать, что для частиц со спинам .г — 1!2 гвгвеввлтор ограде»гя1ь мели имеет (в предсгавлевввгвв, где операторм спина даются ммрю;ами 1!аулнв(15 вввд ( " )в Для системы из )гг частиц со спинам 172 естественное об (15.40) дает Т = !к ау(1) ...
О,(77!) гФ'. (»%;-,, Ге!!И г амилыониап такой системы У-инварнантсп, гг = гг. 'гто Пястеа ПРИ ОтСУтетанн ВНЕШНЕГО Мал!И ПЮГО ПОЛЯ, .ГО ГЛЮНЮИВРлп, стояния Ф и Ф = ТФ обладают одинаковой зпергией Е. бы!и о нос значение Е пе вырождено, то Ф В Ф могут отличатьсв' в!илга,;;.
7"Ф = е"7 Ф. Отсюда певши к певырожденному состоянию Тз = 1. Но, как нс- ~,.:4)»риыспс! ' мв лтвснввгв , по видно из (15.40')„для системы гт' частиц со сливом 1/2 ,-,Тз (=1)". Мы получили ьчеорему Кргьиерса: при отсутгтгвии я)и) пгя!я все состояния системы из нечетного числа частиц со к!го " 1,:2 по крайней мере двукратно вырождены. В системе с чет- вваСТИЦ ВЫ17ОЖДСНИС МОЖСТ ОТСУТСТВОВВТЬ, ,л;":- ература! (13; 19, гв!. 5; 21; 22, 5 36, 37; 26; 32В, ~ 26 — 28; 47, ТТФ = Т(ево Ф) = ОсЛ (еи Ф) = с ИТФ = Ф Рассмотрим систему, состоящу/о из двух подсистем, /ак члЗ/ лый оператор момента есть векторная сумма операторов, относя ". к подсистемам: Х = .Х~ + .Х2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
