1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 31
Текст из файла (страница 31)
=(--1)'-': "'А+1~, (16.2З) «р«3 ги2 — 3н7' ' ЬВ ООЛВ«вант« ьЛЕ1«У«оп«ими свойС«ВВМН' ~ ~ О, только если 3В« + «и2 + киз =- 0 и три вектора с длина- ""'и«-'.. ТЬ 73 ъ..ииюетво13иют Услови«о тРВУгот«ь333«ка, ,"' )рес«В«133В ц любых соседних столбцов меняет фазу символа = ( — 1)л + 13 ' д ' (16 29) (, 1, .еч'«ВЛ««Е-фаэа (1629) ВОЗНИКаст Прн ИЗМЕИЕНИИ ЗНаК рьтс все '3«и свойства для рассмотренных вь«п«е случаев!) 1~.";:!Из''(16.29).
3 м~~тю~~~ ~~юлу~„гго 3.13 13 .113 3 "0~ = О, если 71 + 12 + 13 иечегн«3- «б 2 1«ц о3олить коэффициенты клебыа — Горлана длл векторного оложе -,„~;;,.„М 1' и ироитаольиого орб33тально3о иоцента 1. ";„':~'ератУРВ: (7, гл. 8; 13 15; 17; 26; 31; 32в, ~ 31, 106; 47, выл. 9„ .=~$1.:- ,„„г гп тгнзоьные опн мори и пглвипл отворл гтз Возьмем от соотношения (17.1) п между состояниями системы, харак проекцией т и, возможно, другими будем выписывать. Для з-компонен роизв тер наг ты (17. ольвыи матрич емыми погпгых говыми числамг (У'ггУ ) АХ« — З,А ( Уггг) =- (т — иУ ) (у'иУ !А гуту = Так как А коммутирует и с Х~, то (УгА,;АХт — ХзА ~у г) = (у(у+ 1) — уг(г. + 1)) (угй ! А ! рг Из (17.2) и (17.2') лидие„что матричные элементы (у"ггУ ~ А '.Ут) г' ','. ют, если т ~ иу, у ~ у'. Поэтому имеем правила отбора для с операторов: гаги =- О, Ьу = О (скаляр диагонален по у' и т).
Лекция 17. ТЕИЗОРНЫЕ ОГ1ЕРАТОРЫ И ПРАВИЛА ОТБОРА В силу изотропии пространства полныи момеггт игпгульса той системы сохраняется. Поэтому все состояния системы расла гггг (лекция 15) на неприводимые представления группы врагг1е«'г1ггг мультигглеты, члены которых преобразуются друг через угр~гв'= ' поворотах. Аналогично можно все динамические переменные фицировать по траггсгугорзгагуиаггггьыг свойствгмг отвосителыЮ ' '"' ний. Это позволяет установить ряд теорем об услоггиях абра " ' в нуль некоторых матричных элементов — правила отбора.
' з+ с простейших тггпов величин. Скаляр А — величина, не мецяюшаяся при поворотах (У всей: темы, и е. для нее (УА(У ' =- А, следовательно, А коммутирует с торами (У и, в частности, с генератором бесконечно магггях и тов — полным моментом Х: гт скалярного оператора (17.3') гпы, вслехгствие (15Л4) имеем ) ут) = (у' — т)(у'+ т+ 1) (у' т+ = (у — гп)( у + т + 1) а, (17.4) опы, из (17.1) и (15.12)-(15.13) (Уггг ( Х АХ.г ) ут) = (ут ( А.у .У ггг)(у + т + 1) (ут ~ А 1ут) = (У— .г.
г угп) — (17 4~) ггг),у + т + 1) ауг„. кторнаао оператора Ё. еобразуются так же, как ратором бесконечно ма- им геперь магри гвые элементы ве любого вектора при врашениях пр и р, поэтому коммутатор У«с гене ов равен (4.37) (.У, У«р) = гУ е гг не меняется при поворогно (17.2) следует прави- екартовьгх координат У«„, 1~г, удоб (15.3): Ута -.. У.
й г( г,, (Х«„1' 1= ":- уу матричный элемент (У«иу !... ~ ут) — Р«~Х, г ут) = (иу — т) (У'иу ~ Р, ~ , получим ут) = "= (~'иу 1 Г 1ут), (иг — т+ 1) ( и( ~ Ууе ~рп) = О. сгвии с (17.3) матричный элемег ~я«~9«з соотггсг "$~ф~~ен :;;~У((Х А)г г«ф~уфгйг гто1г '~г--.,"."йг;: ы ()в ф~уйгигг сиги "':",гекуеров р "~1~4::Поворот ф; :~-'„-'3~ 5. (з7'б) нахо ,: в(17.9) «~ф 1,) (У"и( 1А 1Угп) = аг,„д„, г) 7 4) и (17.4'), получаем а,,„= ау енты (17.3') скаляра па самом деле емы как целого): (у«иУ )А ~ут) = а д у д„, оегь от т выделена в г)„, о(У„Р«г) = О(з-ггроекгзия вектора и з).
Отсюда полностью аналоги' + г(~ т ~ ~ у), т. е. маз.- не зависят ог т (от ори- Ш я"~ «в Ш~йг ь образу«отея одинаково; ссть тснзорный Опс(«а- , легко проверить, что енты тензора Дз„обла- ~3 ° (17,; ),4п «' ь(2 7' (з 4л = — ~ — з(п О ем !3 'зв гп = О, ь 1) соглас««о .'«,":.:«,',, Р«. — «Р, 1' »17-'. «!2 ч2 итвльному моменту ' д"я "' вйзй1 получить отсюзгв спектр ур""и -.
«Э Введем сферические колптонеи !х+ !р ре М" льзуясь свойством (8.31), ,»., ' ° рв по орб ком попе и Задача 17-2. Найти правила отбо ге — Леицв (11.20) частицы в кудоновс мв водорода. повышающий 1, «и доказать сущ«с "' „,. азввпие Указание. Построить оператор мвльного ! при данной энергии Е. :это означает, что матричный элемент р отличен от н, «я „,„ и! = Тп.+ 1, т. с, справедливо правило отбора Ра: Ьв= + 1.
(17» Согласно (17.7), (17.11) комбинации Ры как и Гв, повьппв«ст (ь).'-"''»« нижают ( — ) проекцию./ = гп полного момента, в то время кзь р « «д, ПМ1Ь«Ш ПО П«. Звдвчя 17-1. Найти закон преобразования при поворотах симмегр«»чистот»пя« ()»«р со следом йр Д = 0оо = О (например, тензорв кввдрупопьного м««мента); '-» чигь коммутатор 1)о, Дру) и правиле отбора по проекции момен»в дяя т«и 1 Мы не нашли пока правил отбора по полному моменту» длй:''-'"' тора и тензора.
Это можно сделать с помощью более сложной ая ' Вместо этого мы наметим общий подход к проблеме. Введем понятие тензорного олсрапгора ранта ! как совокуп 2! + 1 операторов Д»м (! — целое, ьч = — 1, ..., + 1), преобразую при вращениях друг через друга в точности по тому же закону «гйь»,: сферические функции 1»м.
Скадлр»»ые операторы пе мешпотся при вращениях, кйг((», Уба — — 1!»»4л, поэтому скаляр — тензорцый оператор ранга ! — -- О '(' ' компонента). Веки«ор»»ь»й оператор имеет три компоненты. Установим одп' "' нос соответствие между вектором и и набором трех сфери «сскнх ф', ций У«~. Пользуясь (8.9) и (8.34), находим «,,:,-,':.'.: Ле«„$,„«7 ТЕНЗОРНЫЕОПЕРАТОРЫИПРАВИЛАОТБОРА ,.'-т тиь«пОлс:щу«»з в прн.'южениях запись скалярного произвсдс "=,:,,'()зыстг«ь« ьсв »еРез сфеРические кооРдипаты (17,13); й = Х (-1)" о- . (17.13') »я ;;,;;~,":.-а',всг»ст««а (1 »,12) да!от связг сфсри геских компонент единичного ь~'",'.!::""!.
". л — г'г со сферическими фупкциямн !4л (17. 14) " "' 71«творогах компонегпы любого вектора пре ',у"-"~1)й«ательисз из (17.! 4) заключаем, что вектор !ф1~:,раБтв ! = ,;- '.~::": 3;,,двчв 17.З. Доказать, ч го пить независимых компонент кввдРУпольного теизоРв ~:.д, д —.. С) обрвзуют тензориый оператор ранга ! = 2. т'"„:!,'::"",'7)казвин«. 11ерейти аналогично (17.13) к сферическим координатам Дор -«ьэз «Ъ)(фй;:~е 1,.»: 2) и убедиться в пропорциональности Язд — 12Ю е:-"'~«)1-1."бопосташгяя результаты задач 17-1 и 17-3 зйеяййгично (17.11) именно сферические компон :',1)йй6'апредсле«»г«ими правилами отбора; Лгп = 7«. (17.15) ;~~(8(квссх 7«зйзорпых операторов правила отбора по проекции момента -:;„-:.зч!й)СФлягог«:я их трансформационными свойствами; поэтому они сов««--"..,:4)1(йе)от с 1«рагз«»лаз«и отбора для сферических функций.
".;-~,":„11'::,;Вроизвс!«с««ие двух сферических функций может быль снова разло- ~,'.;..),.-; .„,.'11«з сфери юским функциям. Результат разложения (см. приложс- ~!Рег»ег)В) удобно записать через 31-снмволы (16.28): У»,ч(й) Уб,(й) = ,Ь„'.'::,':':: ~ 1(»~«- 1)(2!2+ 1)(2!+ 1) (11 !2 Й Ц !2 Й .
(1'1б) ~(2»1 + 0(2»2 + 1)(2! + О »;,(й) у»„з(й) = ~ у» !вя 4л дикции по квднтовой мвхлникв Ортонормированность сферических функций даст ((7»1 + !)(7»7 + !)(7»З .! !1 ' й)( 3 " »!«!(")»»м»( )»!«~««(") ' ~ -»"(-".." .")(" " ") Левую часть (17.17) можно интерпретировать как матричшяй эл:-'::.'-",. 1! 17 )з (1!Л»!1У», ч!1з »з) = ( 1)" ' ~ лч „„л,,~ И )'1'»,)(1з), (17',':;" где выделена явно зависимость от проекций, а остаток обьвй1" в приведе»»ный митр!»чнь»й элеметн ) Формулы (17.18), (17.19) опреггелязот правила Отбора для операторов. Эти правила отбора след)лот из свойств 3)-символов:33 ' ( 1! 17 1З'! ВОЛ ~ отличен От пуля ~ольке при — »н! + тг + н»з = 0 зчй)ь »»ь нь н»з »ЗИ! = т! тз = Н»г, (1!' что совпадает с (17.15).
Это означает, что сферическая функцз»я''Х" ' „рождает*' проекцию тг, которая, складываясь с началыюй прое ..., тз, дает конечную проекцию т!. Далее, тот же 3)-снь»вш! Ле и лишь в случае выполнения условия треугольника для момеюов 11»Ь:,, Суммировать зти правила можно, записав, что в матрич!юм (17.18) происходит рождение момента )7, векторно складываЗО с начальным )з В конечный ГЗ! 1! = 17+ 1З.
(17,, „„, 17 ".,. Поскольку правила отбора, зак»поченные В записи ( являются следствиями только геометрических транс«,юрмьц,-:,.,:;.' свойств, они одинаковы для всех тензорных операторов. !-Лрава-; теорема 8!»а!»сра . Эккарта; матричные элементы лгооо»о те оператора Ц»„, по состояниям с определенными момен»аьи! '! Р ь и и прв,:,,~., ми равны !'.1«1 .»'),, -, ) (71т.; (а)«»й !Д»р, )аун) = ( — 1)»' "" ~ ' ' ) (а'р' ,'~(»» ~1а» „„, Зт твнзовныв опв лтовы и пи»«вил»«отвов»«З77 прочие квантовые числа состояний, а приведенный »!емент (а'у' ((О» ((а») не содержит проекций»г), )», нг. ,,:~!.::- Выи .„,Ли с (17.15), (17.20) и (17.20') тензорный оператор являет- '~!з!)В)гг „оы рождения момента 1 и проекции р. Эрыитово сопряя"в«и к (»и , !«"-, ~~ является о»герктор уничтожения 1 и р.
Для эрмитовых „„операторов справелливо свойство (8.31) Ж, =( — 1)" й-» (17 22) !'" .", д иве»гелные матричные элементы содержат дополнительные "Х:- ла о»б«о«ра, специфические для данного тензорного оператора. -~1~~-'~введенный матричный элемент сферических функций (17.19) !1! 17 )з ;,'ф~йпорциона»ген 3»-символу ~ ~, который кроме правила треу- «г«~,':ьсйика лля моментов (1!, 17, 1з), выполненного уже из-за выделенно- 17 171 .«'«Збгъяавсс 3»-СИМВОЛВ ( ~, дает новое ограничение: согласно ( — н»! тг н»з,) ' '.;:=„(18180)'оц о7личен от нуля лишь для четной суммы 1! + 17 + 1з. По- ",;,!~)~ущип пространственная четность у» равна П» = ( — 1) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
