1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(14;- » ТаКИМ ОбраЗОМ, РЕШЕНИЕ ураВНЕНИй (14З), (14СР) РЗВНОСИЛЫ1О:: хождению операторов а,„а,+ с правилами коммутации (14.10), В жение гамильтопиа11З Й через которые имеет вид (14.15). Тоща эл ' любого стацяонарпого состояния системы равна (14.14), т. е. эн смеси идеальных газов, причем число част11ц 1-го со)па, пме ..» энеРгию Йп Равно л,. В случае одномерного осциллятора (14.1) задача нахождения чк раторов рождения и уничтожения Решается совсем просто (в РСЗЛ1-, задачах многих тел колебательные ветви спектра обычно аыделя.;,-,1 лишь приближенно).
Из (14.2) видно, что коммуткгор 1хч Й) ПР11 „, ционален р, а (р, Й) — х. поэтому; взяв линейную комбицмгию О11,, торов х и р, нетрудно подобрать коэффициенты этой комбинзц1В1 чтобы она согласно (14.3) воспроизводила себя после коммузвци" Легко проверить, что искомые линейные комбинации х и Р, удовл.",::=; ряюшие (14.3), (14.3) и (14,10), суть а+ = — == (л1глх — 1р)»:»ь -+ 1 - - (14'- .1з л ОРОВ м итать о ~ а»» (14.21') 1х соотношений ы (всегда можно так, чтобы мата„= 1л, т. е. НОВОЧНЬ ДО фаэ ая фазу входим екторы состояния. 0) Оперзтора а (14.24) Пе»»1ка 14 ГАРМОИИЧВСКИЙ ОСЦИПГ»НТОР 161 О эрм1г»х~ г-овы операторы х и л выражаются через а и а+: , - — (а + б+), Р = — ' 1 — (а — а+), (14.17) "в'::;::--'::: ляя (14 17) в (14.1), найдем, что гамильтониан примет вид ' ".:-,,зя»ОДСТЗВЛЯЯ ~ ('б«)г' / ) / Й = )кп ~»«' + — ~ = йв ~а+а + -), (14.
18) 2/ .1»1»' нергетические интервалы в эквидистантном спектре равны ы э „, с» 'йа1 а ощювное Состояние ~ О) имеет энергию Ео=.— (14. 19) 2 у»":=:.::""зевка лулгвь1х колебакпй) ;=,!:":.,-''';::,ям1деы теперь матричные элементы операт ежду стационар- ~"„...,'~1ОН«и состояниями Ф„ж 1 л), которые будем сч ртонормирован- »Р;:4ф$$н сллзсио (л ~л1) = д„ (14.20) -)-'::-„-':: ';:;„'-',ьззуаак оператор а уничтожает квант, то а ~л) = а„~ л — 1). (14.21) ~~~":,.!~Дбз»1 найти кОнсганту»»»„вычислим нОрму (аФ„„аФ,) = (а„Ф„,, а,Ф„1) = (Ф„аьаФ„) = (л ~ )1' ) л) = л. "';"',.'=.'':1119;-'нормировали а и й+ с помощью нереста '-«,~~4«1)10)» поэтОму Они определены с точнОстью 1~»»Зь(менределить 0 -» еиа, а+ -» е»за ).
Выбир 'ф4Я17(п»1е элсме1пы а„были веп1есгвенными, н """,,"1!!:'" ' а = (а )„= »л б „, +„= ~л+ 1 '»»~~.,:-:..:, а ь'а»ри"1ныс элементы координать1 согласно ( х „= ~ Л («Дд „, + Гл+1д, „+1). (14.23) 'г":-'."::".:Навои . ""' Вконец легко явным образом построить все в »О) получается з1-кратным действием на ,' ~ л) = с„(а+)" ~ О), сз = 1, лекции БО кнАнтОВОЙ мехАнике ра состояния (14,24) и ио „":-"..-.;:-' Подставляя в «14.25) выражение некто (14.10), получим с„а (а")и ! О) = с, аа+(а")" — — с„(1+ л — 1)(а+)" ' ~О) = с„п(а ! 0) = с„«1+ А7)(а")" ' !О) ",1 +)и ' ~ 0) = /п ся !(аь)"-1;~:" т. е. Рекуррентное соотношение 1 С„= --" С„-1 ти (14,"' с„= ) — —, ( л) = — )-- — -- (а+)' ! О). (14; ьтать! (14.22), (14.23), (14.18) и (14.27) дают полное реид ", позволяют найти вероятности любых зксперимеп!ов.
построить координатные волновые функции Ри(ф~, ' огласно (14.16) уравнение (14.8) для основного со оординатном представлении (12.43') вид с твх + ! — зй — 11(х ~ О), (14:, до проще, чем обычное уравнение Шредингера, содер роизводную. Решение (14.28) дает ~о(х) = (х ~0) = С екр - — -2-"-1 (14, Я 2/ :«! ю функцию основного состояния, которую надо еще иа, с ' единицу. Волновые функции возбужденных состоя~ий гласно (14.27), (14.16) и (12 43') последовательным дк нием функции (14.29): — (х ~(а'")" ~ О) = --=--,— ~твх — й -х ~ (х ~ О) ( ( Г14ь Оп ! «2втв)" й:~ откуда Резул задачи и например — = (х !!п).
С имеет в к что гораз вторую п — волнову ровать на чаются со ренцирова Все состояния ~л) имеют определенную четность П„, котору!о вычислить. В силу (13.22) н (14.16) при отражении коорлниа!ь «я( а!ы х,"1 г14"з где осталось лишь опРеделить ноРМИРовочнУю константУ ся И (1,1 ' н (14.22) имеем а ) л) = . п ) и — 1), (14 '" Лвяоия М ГАЕМОНИ ЕСКИИ ОСцмллятср 1)а~ )л) = ~ л), ют классическому колебаКлассическому даижени!о 1а) состояний1и) — ко!еми векторами оператора а а = Ае'и: сциллятора. Из (14.34') и ия импульса р(г), которое комплексная плоскость а Я'~ ,:ФЮГ, (л + 1 ! Р„а+ Р, ! л) = — (л + = Пя я !П„(и + 11аь (1432) Пя ь !Пя = — 1.
),")~'„'~ук вак) ~ О) (14.29) имеет Пе =. 1, то -"фт!".:;':-': '. П, = ( — 1)"П = ( — 1)", т. е. Х„=- е'ЯЛ. (1432') ;~,;,'!';;.. - 14 1, Найти стазияесяуи! иояяризуемость а заряженио!о яниейного оса олиорсжиом зясятрияссяом иове $ „Я14ЕЯФ~РЯ 1 2 „'"',.".'! уооянис 1иср!т!я в орисутствии иояя есть Е «я) =- Е«О) — — а8 в:! ' вяза 2 '.,",, "" Рассмо рим теперь, как ВыГлЯдит изменение состОЯниЯ Осцих!Лято- .«;;."'.":~~.временем.
Из (14.6) н (14.17) находим гейзенберговский оператор :;;;::,;„.Р)) !ать! х(!) = ~ — «ае я'! + а~сея). (14.33) ,~:;::фЕ как в спщионарных состояниях 1 л) оператор х (как и р) имеет ;~,"~~6Ь, д, ьные а р . *Иты (14.23), то ср ис зна !е- ,.;„,~1)11(ФЯООрдинаты или импульса исчезают: (п (х(!) ! и) =- О, (и ! р (!) ( и) = О. «14З4) ')'-;;ПФтйму квантовые состояния!и) не отвеча ~,";.~(Ф(В;с'Олре!!Сз!енныыи амплитудой и фазОй. :-,;:;-„:.~~ФФйетству!От определенные суперпозиции '-,'1)1.'-;,"!РФ~~тлые состОЯниЯ„ЯвлЯ$ощиесЯ собственны .~~'-;"-,,"я«яяй!Ллексными собственными значениями а1а) = а (а) = Аез!'1а).
(1435) !чауФ:-"шито!!ы!О, среднее значение оператОра х(!) (14.33) по состОЯни1о :~~~рдвно «если принять нормировку (а ~ а) = 1) (а,х(!) !„„) — ~.. ~ ( -юг 1 ' Яо!) 12зяо (14.34') ""'-":,!,'"" = '- (Ае '1 ' ' и) + Ае' 1'"! Н)) = А соз (в! 1о), вю ~ж(':.'-. ледует лля колебаний классического о зз' !'::С, -НЧНОГО ВЫражЕШГЯ дпя СрсдНЕГО ЗиаЧЕН нально А гйп (вг — 1р), видно, что !чна фазовой плоскости (х, р) класси ",Е*, ~гт) .=- сх?ь — — ьа,' .г — --;г«) м поле в лекции В одновременных ункции отвечают , )) операторов и ощихся при враструктуру имеют ов бьудем решать му В лекции 14.
тогда коммутаци- И .Хо УНИВЕРСЯЛЬ- меют вид (4.37) тор Хз и один из ?венные функции 2иеп оры рождения и ?того введем ли- Задача ?4-2. Доказать, что." $ ?) нормпроааииос ко« срситнос состояние,.:а) (?4.35) яаььястся сььсд««:, й .".!!? ьсл; «ожсй '-', позицисй состояний ~г«). (юьассичсскис состояюм ис характеризуются определанным малом кяан-,„.
„когсрснтиостсл отражаег сфазнроаанность сзациокарных состаалмоо?их сул цин (?4.36), где разность фаз между любыми соосдними гармониками раана а гу . «д комплексной амплитуды а; можно покажззь что между фазой Зь и «ослом сугдсглауст саособразнос согпиоыснис нсопрсдсьюнностси); 2) среднее число кьантоа а состоянии ~'а) раало ям(а~И ~гх)=~а~~ =А2; (?" 3) асроятностьь обнаружения л квантов а состоянии ьа) распрсдслснь«по сга?с '" чсскому закову ?!уассоиа вокруг среднего значения (1437) ««ь'.)ф,. .
„~2«« -«; н (и; а) = ) (а , 'а) 12 =. с (а ' — —. = с " — —; (14;. ь«« и! 4) ьюолрсдслснномн коордииаы н импульса таколы„что их произасдснна.' минимальному зььачсн?«ю, совместимому с с<кьтионьснь«см неопределенностей (11:*: Л 2?х = Ь вЂ” — '-, ?З?ь =- Ь- —, 2?х Лр = —; ( 'з' 2л аь 5) сосгояиия Ь а) со ассаозможиыми А и «д образукьт полну?о мьсзыяу, хотя ОЙн,,„ оргогоиальны. Литература? 119, гл.
3; 23, Ч 34; 26; 28, гл. 51. „'«;-: -".*!:;фя СЛ) зцц? ДВИЖЕНИЯ ОДНОЙ '?ВСГИНЬ? В ??Ент'раь?ЬНО 3«~!"""~~!: Настрое??а НОД?гая ортонорм??рованная с??стех?а :егдкмсгь?яениь?х функции 1?л«О??ораторов 7 и Х-. Эти ф !."'~1)~«дтоеииь?м значениям й2) (1+ 1) и йпть (гн = — (, ':~~т)к())ц)«кьт мупьгььпыет из 21 «1 функций, преобразу? ,„,"',(Г)зйыакнеяя друг НДЬЕЗ друса.
ОКаЗЫВастея, Чта ПадабиуЮ ;;~~(!й;йевривсд??ь?? ?е п)зедстаВ??ения груп??ь? Вращения. 'н?у нахождения всех Возможнь?х мультиплет „"';~(фатйрнь?м методом, анадОгичным испОльзОВанно «з«й?1)6?(о оператор момента Х измерять в единицах г?, «3()ь)з(1)(Ф соотнсзше????я между различными компонентам ::"'411)()г'иезав??симо От конкретной п)зи)?оды мам~и~а н ь«а Хб? г аа/?т Хг. й«4?з«)«тб«?рда ср"") ?-???Дус? '?т?ь для (у2 ) .„~~';:.)То "?гььк?ю олновремепнО диагонализировать Опера .-'!',,-..~((Ф?Риь?еР .?т.
БУдам поэтомУ искать общие собс !~';,?з(«~ййератороьз Х2 и,), с собственными значениями Х 2 ( Ьп) =- Л ( 2?г?), .У, ) Ьп) =- кн ( Ьгь). ?' " ??ск????и 14, постараемся найти операт жснвя, повышаюпи?е и по??ижаюшие ьк Для ' «43«1:-;;:,- .г ьт"4"'ьаации .)е = Х„+ ?.Уу, (Хр)+ = .Х . ь««"'::,';;з.«лег?«01?я?от перестано?иьчным соОтношениям 'ЗЗ-:„')ДОВЛ~ Г (Хе,Л) = 4- Ха, ~Х„Х ) =-2,У,, 75б ЛЕКЦИИ ПС КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Сравнивая первук1 формулу (15.4) с (14.3) илн (14.12), закл„„ оператор / уменьшает собственные значения л7 оператора» 7 иа'.$; ./, Увеличивает /га 1. В силу (15.
Г) все эти состояния с рап7ь/м '- 1и вз'"'* ют одно и то жс собственное значение 2 оператора / 7, т. е 77из отличаются лишь пространственной ориентацией и принадл этому одному мультиплету. Заметим теперь, 'по так как в любом со1;гояпии (/з> — (7/1!". -1 ', + ./~~ +»з> ~ (»з), то 2 ~ 7а .
Поэтому набор состоя1шй с раст,'. л7, полУчегн1ыми последовательным действием опсРатоРа», иа рос исходное состояние, должен быть в отличие От осци7171яторна,у дачи о~раниченным сверху. Пусть максимальное значсш/е 7ч ~ в е. л7 ~ /', /' с х. Это означает, 1то дальнейше~ действв1', поим щим оператором дает нулевой вектор: )»1/> к О, .»+ /1/'> =- О. 6$' :,7",- Совершенно ана/1огично, ИОнижая прОекцик1 1л, придем начиная 'е~'- к сОстоянию с минимальноЙ проекцией ~ /7/ > ~ О, ./ 12»') = О. (1.:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
