1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 27
Текст из файла (страница 27)
~»'.„;.:::-';,:;,':!::Капример, классическая скорость й =- демаг и импульс р = лкд '-'..„~йяжт»ь«меияп, знак. Поэюму в координатном представлении можно '4фф1Я(взь (« = й ТОгда р = р'" =- ( — «Р«"»т)' = й'»т =- — р, ;;:;,..»»Як,н:долж««о б»лть. Легко видеть, что и Х, == — Х..
Вектор состоя !"',~Фф'.Теннна1«из начального вектора Ф действием Т (13.29), опи ,':~~))~вувое состояние, причем все его характеристики обращены .'„;-'.;~6~С(т. с. в состоянии Ф все импульсы и момент»л равны р = — р и ';«:„:...~'-;,: —.У, если В состоянии Ф они име.щ значения р и Т). Таким обра- ""~» если мы имеем процесс ~ «) — (,«), развива»ощийся в согласии ~.';».",'!~~";«внением Шредингера (12.28) Ф -л«на «1, (13.33) .'1««ь).:,':„б «»'ек1«:Р щ«щпым ВО времени яВляется процесс ~ г )» ~ «): «1» «п««а Ф (13.33) .»«>~!~-''-™йва и Риант нос«ь относительно Обращения времени (обрглли иоскчь ."~4 .' «Механики) означает, чго Т) = Б, так что каждому прямому .з ДссУ 13 33) отвечает обращенный (13.33'), протекающий по тем л гкции ПО квлнтовой махдникн жс законам.
В настОЯщсс ВрсмЯ изВсстБО лин!ь ОднО Взанью А': " модсйя'" (ведущее к распаду Нейтральных К-мезонов)„где Т-ннварвапт„ соблюдается (лекция 42). Если бы пространственная четность строго сохранялась ментарные ~астищы, находясь в состоянии с определенной ~ нс мОГли бы В силу сказанно~о раисе Обтадать элсктричсскнм д х' ным моментом. Иоскольку чстность в слабых Взаимодействня..„"::.':.
хранястся, запрст на дипОльный момент' Бс ЛВлястся строГим Лс~~,",'," нять, однако, что дипольный момент строго запрещен Т-инва™а ностью. Действительно, дипольпь~й момент Гастнцы моГ бы бы~.-.-. правлен лишь по единственному вектору, характеризующему Ч-:"'. цу — вектору спина; (Г1) - (Т) (13, НО При ОбращЕНИИ Врсмсии Й -+ Г) =- д, а СПИН Мсняст ЗНВК Зе -ьф, ' = — Ф, так что (Ы) == — (Г)) = О. Обнаружение (Й) ~'. 0 свидстсльс ло бы о нарушении не только Р-, но и Т-ннвариантности, ')ьспери".'" тальБыс пОиски дипольнОГО момента нсйтринО дак1т всрхнжю Гр )(л„) ~ < е 10 зь см. Б разных квантовых системах существуют и другнс диск симметрии: точечные симметрии молекул и кристаллических тел В"' сительно поворотов на определенные углы или определенных две: ных смещений; симметрия относительно перестановок гождесгвв" ' частиц; зарядовое сопряжение (переход от частиц к античаств, ' изотопическая ннвариантность.
Иекоторыс примеры буду~ расом ны В СООтвстствуюГцих мсстах курса. Литература: (4, я 5; 5, гл. 1; 13; 14, гл. 30; 21; 26; 42; 44; 47„ВЬ4в) ' гл. 15; 52). чной механики 1"ейзенать зада ~у, не прибеГая еней свободы, состоит тОБиана, т. с. Оператора опорционален снова то- !'"-'=':~'-;-'-::' 14 гдрМОНИЧЕС1(ИЙ ОСЦИЛЛЯТОР ~х колебаниях Вблизи положения равновесия имеет ~~я~щстепсанас з1 4,!,' $:„ьт гачснне как в классической, так и в квантовой механи° иоле реальных систем многие возбужденные состояния йтопзост ю щшсаны|ак матыс л бания (1 иб~а- ~"-",,!,"!.:ь"- Г .
Тсння молекул и атомных ядер колебания крнстадди- ,.Т)Я: " ' 'й решетки любого твердого тела. волны в жидкостях и В плазме). '-,;!~~~~фрфн, представление электромагнитного поля как ~~~~~упн~с~и )ффябивчсскнх осцилляторов послужило Одним из Отправных пунктОВ ;,~яаай квакговой теории (см. лекцию 1). ~~~;,-',:;::,-":К:-мастью, уравнение Шредингера для гармонического осциллято- 1':,,",:~фездастся точно (задача 5-5). Сейчас мы разовьем другой, оператор,~~~яз1,"метод решения той же задачи, особенно полезный для систем со :.-:;~~вгимн степенями свободы (например, для электромагнитного поля) ;;~; =:,'Ёартнояичеьтпьи осциллятором назовем систему с гамнльтонианом -г Й = — — + гивзхз, (14.
1) :;"* ~'."~"НСРВГОрЫ Координатм Х И ИМПуЛЬСВ р удОВлсТВОРЯют псрсстанО- '~(у)йяйому соогношению (12 17) (х, р) = 1й. (14.2) с-'"'-::".Ф~зойный момспт Ведущий начало От матри ;";;~~ ' Бориа — Иордана (1926), позволяет реш ""'-.;=;~)й~~ьту-то определенному представлению. ')1~!::;-УФ~ОД, при~одный для любого числа степ ,'."!Й~хчвлотсвнв „,собственного*' опеРатоуа тампль ,;:-'-.'~6ммутатор которого с гамильтонианом Й пр :-Ф.' ',:,!~~ 11ХС'Ивера (а, Й)=йа, (14.3) тт-:::, 'д"я зрмнтово сопряженного оператора а", 1а+, Й|= — Ь2 а+. (14ХР) лекции по квдн~овой мвхкникк Паша цель состоит в нахождении стационарных состоя то1»ых * лд«я; ЙФ=ЕФ, (у' и самих энергетических уровней Е (из вида гамильто ниана Й яск .'- существует лишь дискретный спектр).
Однако ддя того г.я+ тогО ««тоб»ь» ц с~~~~ Операто(»ов а и а, удооно об1»атиться к песта ационарной и считать все операторы взятыми а картине Гейзенбе Тогда в силу (14.3) и (14пй) имеем операторные уравнения ния (12.24) «»а « " - ««« — *- = — [ХХ, а) = — — Йа, —" — = — Й'б»~„ е» я ' я ' ж» я ' «1ч« которые сразу решаются: д(») — — «п««я д(0) а+(г) «г»'«!л "+«О« (»1 Таким образом, если Й вЂ” — вещественная величина, гейзенберго операторы а(Г) и а+(») имеют чисто гармоническую за««исимое1в« времени и являются квантовыми аналогами незатухающих ИХ НОРИЯ, "' колебаний классической системы. В озаращаясь к стационарной картине, возьмем некоторый венный вектор Ф, уловлетворякчций (14.4), и построим вектор". Действие гамильтониана Й на этот вектор В силу (14.3) дае» ЙОФ = ([ХХ, а) + аХХ) Ф = ( — Йа + Щ Ф, „'-ь) т е вектор аФ, так же как и Ф, отвечает стационарному состо Й(аФ) =- (Š— Й)(аФ), (1'.
' кон»рос имеет энергию на Й меньше, чем исходное состояние Ф 8,, чина Й дает энергетические интервалы между уров»шми, а сл тельно, вещественна. Оператор а, таким образом, переводит систеФ,:,. одного стационарного состояния в другое, уничтожая энс1»ги»о ао ... дспия Й, и «»Оэ«ому может быть назван аперапюраи Упичп»а» Лпалогичпо для оператора а+ получаем «) Й(а" Ф) =- (Е + Й)(а+Ф)„ (.()[1 »: е. а+ — опера»пор роз«где»«»»я, увеличивающий знерыпо аоз(»у ж системы на Й.
Подобные аргументы работают всегда, ко~ да пара О:а торов а, Ь удовлетворяет соотношению типа (14З) [а, Ь1 = Й" (смг -,. цию 15). При этом спектр собственных значений Ь образует „ле .,й с шагом Й. (14.11) П,,цкя Ы, КК МОНИ ИСКИйОСцИПЛИГОР»аа яа д«в х ОпеРа ЫРн й а„а,' УРав ений нахо .— «4 Т) дает Возможность, начиная с основного состояния, ~»псрагоров а построить все возбужденные состояния, .
"«й)» эиерг „.Ии возбуждения Й должны получиться из самой системы °,1 у) 11оскольку основное состояние (вакуум) ~ О) имеет ми,:,=" ьву»О возможную энергию Ем операторы а уже не могут пони- „.и э их действие должно давать нуль (набор стационарных -ее« , ий ОСРапп ген снизУ) а(0)= О. (14. 8) ',.~к':,'~а»кдого оператора а,+, т. с. для каждой 1-й нормальной моды, мно- ;,~:: ':"; (ь»м последовательным повышением энергии мы получим набор !»)У~у~„'кденных состояний ! и,), энергия которых по построению (14.7') ,-;:.:-"„~$В~,Р~~~а (14.9) «",~«1«)(к«вательно, эти состояния образуют экаидистантную колсбатель- ,-~ъе().полосу. Вместо того, чтобы говорить об и-м возбужденном со- .«4~([»)»«вии»-й нормальной моды, удобно ввести представление о кеапгпах ь!~~4)) сорта и сказать, что сОстояние ) п,) ОтВечает наличию и, кВантОВ ':..~%:~вв(кией Й, каждый (ср.
с лекцией 1). Формулировка задачи с по- ъ!"'~фей~ Оп~р~~оро~ а и б, кото1»ые т~п~рь хиляк»тся Операп»араии «1(У[«[Вчпязхсеиия и Х»О»»еде»»»»я кеапп»ое, называется ета»ричнь»м кеа»«п»оеа- :!.",~~3, Очевидно, что число квантов каждого сорта может быть любым, -::.'.".~говорях по они подчиньчотся статистике Бозе — Эйнштейна (яв- .[.-':,::1[[(втся бозонамп, см. лекцию 52). Конечно, (14 3) и (14.3') определяк»т операторы а и а+ лишь с точ- ~~~46~~4ыо до нормировки. Удобно нормировать их так, чтобы Выполня- ;«~~,бозеес«кие пересп»авоеачпые соагппо»иеиия [а„а+1= 1 (14.10) ,':;«)»4ьв«я«Разор»к относящиеся к разным нормальным колебаниям» ~ 1с, ;=-~:.;,к Ведем теперь лл»» каждого сорта квантов» оператоР Х«' = а+а.. . »:«.'„ ««.
;;-~,::.,:» Уась (14 10) най „ь, 'М~л(в« [а„Ж,) = а„[а,", Х«',) = — а~. (14.12) ,. йеии, Я (1" 12) аналогичны (14З) и (14.3). Применяя те же рассужиднм что оператор а, уменьшает собственные значения Х«', на 1ВО дикции по квднтовой мвхд~икн единицу, а, Вх у~елизивае1 нз единицу. Основное состояние ~ О) гисй Ее в силу (14.8) является собственным вектором 1«' с,б !1 ным значенпеь 1, РЗВным нулю. Лейстауя 1га ~ О) Опсратороь1 по а;, получим»состОЯнис ~ 1,) с ЭЕЮ(лией Е + Ь2„опять ЯВЛЯ1 -41ь ~обственным не1«тором У, с собственным знач~нием 1. Очсвидв "".:-"' идно(.
состояние ~ л») удовлетворяет соотношениям УГ ,'л,) =- (Еа + л, й,) (л,), 7(», (л,) = л, »л„), (14',Я Поэтому оператор 7т', (14.11) есть олера1лор числа кваллчоз г'-го с,".-"" имеет целочясленньге собственные значения л, ~ О. Еслп у лас ""- кванты разных сортов с соответствукпцими числами заполнси1Ю1'"-" энергиями Ьз,, то полная энергия такого состояния Е= ЕО+ Х~, а,. (14 1 Сравнивая (14.13) и (14Л 4), мы видим, что спектр (14.14) зквивад ""'" операторному представлению гамильтониана в виде Й = Еп + ~' )У, й, = Ез +,),й, а~а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
