1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1Ф), в котором переменная А не имеет определешаых заигчсний С по принципу суперпозиции разложим вектор ~ Ф) по сгас!Саин!Лм) | Ф) = Х ~ А) (А , 'Ф). Из (11 3) и (11.4) получаем А ~ Ф) = ~, А ~ А) (А ! Ф) = ~, а А) (А, Ф). Пуст.ь мы имеем много тождественных систем, нзх!аааяц1гп~в"' состоянии ( Ф), и будем измерять величину А.
Среднее зна !ение тата большого числа измерений, каждое из которых дае! сгяас знзазе-'з а, обозна*щм (А)ф. Оно равно, согласно определению всроятвга""ь и (А; аа), (А),ь — — ~~' аж (А; Ф). (Я и , В условие шда вообще юц1ле псрс- акая а!Олнзл разложим: лепна а а НАБЛЮДАЕмыЕ и ОПЕРАТОРЫ !21 „, ы ааег!аа1>е!)есзеаалгасггаьла Л,ЛА величины А в состоянии !Ф), , -~$,'-Зззса "' Аф'йЗ" д 1ьа 1((А - (А) )2) ~~,~2 2,1 (,1) ..; (А)2) . г(А2) (,)2 ~;;-;:!:::;:д акта виаас! ь, по неопРеделенность еая,А обРащаетса А."'.-'„",-~::'1 ко тогл ь коала состояние ~ Ф) является собсгвенньам ГЗГ'З1)высо 4$",:-;:;;::,;:": т 13 протиюкам случае результаг измерения А одиозна аа!'::,: "" Я мо;кво а!ишь указ!пав вс1аОятност! !ОГО или инОГО ;;ф4зв~ ;,;;:....",'Й4ак, мы постулировалн, что каждой динамической пе ,',фу~а~ арм~гг~в Опс1азао1а А, дсйсавуюаций на вскгорь! ,~~~~'';за ссбспаенных векторов',А) оператора А является ! .11;.~".-""Ъраыи1ха ююй (см (10.23) приложе ие В).
~~:.';:!:;:~'-1)4зк уже говорилось, полной характеристикой состояния является :~'.:,анис макс!!Маааыаого набора одновременно измеримых величин. Две ':::~йдвчвны А В !адлогаРеиелаагз авист!!с!ам в состоянии Ф, если процесс '-'~~ьс)мревиа! каж;аой из них дает однозначазый результат Тогда вектор Ф '."-'Е14Звусн быть собственным для обоих Операторов А, В АФ вЂ”. ПФ, ВФ = ЬФ. (11.11) '1 ', -'~!Ф!(14'.11) имеем АВФ = АЬФ = ЬгаФ,' ВАФ = ПЬФ; (11. 12) 1'А — ВА) Ф вЂ”= . (А, В) Ф = О, ':::теГЗааФЮСТГаяиие Ф, В КопарОМ ВЕЛИЧИНЫ А И В ОдНОВрЕМЕНПО ИЗМЕРИМЫ, "*"~)яется ссбсгвенной функцией коммутатора (А, В) с собственным „аисм, 1лаьч!ым нулаО.
ДПЯ прОнзвольных пс)асмснных А ""~:.!-,'*,2) вьагюлиястся лишь в нското1аых СОстояниях Ф, з ин .а"",.'-.'..",.:,'.;-. с. бы и выполнено. Однако су!цествуют каияаущиру ':":~~-. Лля которых операгорно (А,В) = О. (11.13) '~'„.',.',, ах ем, что равенство (11.13) необходимо н достазолю для су'„;-;.; . Овзпня гюлной системы векторов Ф ь ы ПЬ), являющихся одно',:;,.;-,:„.";,: НО согаственными для операторов А н В. ~~!::: гйссбхс ... хс2!Нмость (11.13) доказывается просто, Пусть т 3 суц!Сствуе !. Тоща произвольный вектор ! Ф) по ней ',:;;,";::::.::.:,Х!Гда) (ПЬ )Ф), АВ !Ф) = ~ ПЬ1ПЬ) (ОЬ )Ф) = ВА (Ф), (11.14) ~.'-::,*,;, а6 кь кь1И31 Гх: квай ГОБГгй магьт1.'йкь п1ачь и лля И133313звс3л3ЯЗОГО:; Ф) (А, ««) Ф) —.= (:ь О; кг ка сл:Л, С1 (11.
1 В ). 3)611агпо, 3113,1ь аы1ю:юс1к: ('11,1)1, П13М1жсм сюг к,,„ Л 3кккч всп11ый В 21ПГ Р Ф 1313сркго~ж А, 3113И3 юь1сжай«пй и и Ггх Ги, 3, собствс1пюму зпа и;ю1ю к. ЛвлясГГЯ ол1к 13рсь3с3333ым собс11. "... „,,„, Имеем,4Ф вЂ” — — кФ, ОГЛ33.4Б11 .—.. БАФ =. О«)Ф, 2.
Гк ВФ .:МГ1, я Г '$ ся собств~ П1п1м Вс1ОО1К1М Опс~::вторя А с т см жс Г,О(Й;ткспп1:м: О В сй11, псв1.1РОЯГ.ЗС331311СГ33 х ВОГГГЩЯ1 Ф 11 «Й1' 2333ИСЙ;и: к331ясз~цф ВФ вЂ”" ЬФ, слсломысгюпо, Ф об1кй(3 сс13стпс~ кь132 1сккя: 4 и В Р(3 же собс.1ве1июс зпалсюГС а 11-к«ГГл111к3 3312«Л331Г13СГи, 1О 1кс3 23 211~~ прйвссп1 к диа~опаль3кж1У ви11; (Гм л13плогкеп11с 131311:с(хкктг В в~ф л-мерном прострю1ствс,.1..
ИГЙ1к лю1сйю с жгмйй 3а33пи. Г31231юГаф~!. собствс1к1ымп векторами Ь' (СО(1сз Гк 3Л3121И1 векторах и 4 ЯКЯЯ1 любь1с л1пю(ьпыс ьсж16юк1кю1 вскпзров:ПО1о 33ГС313331 С1 зкГК 3ка) ':::!к!$', Рассмо1рйм Гспсрк Гк3М1231з(3Л111«2321 к«ьГ 23рмн1ГВ1» Г к:,:ЛЗС1.12 А)12(ф'. И сОГГГвстстаи31 с лок1маппОЙ 1сОРСМОЙ Опп пс хил)"1 СГкюврсььсй~~з ймсзь Опрс«1слсп131ях зпа1ю1йй О1лй'л1ь О113сля 13Г~ 11ОКЙЗКГ марс; па из ИГ1О13рсдскс33130с3' Й Л.), Л «: 113клГКГ к113313чсс1кс1к11к; мс1ь нес: 1рсдс лсп11остсй. Р1оскольк) коммУ1ктОР л1)Я РМИ11Л111х 31ПСР1Г11Р111' 'и 21жпполом сОГфяжс1'1И1, с1' ксс1,'.и мох пс 811(экз1П1. 1 ''.",.' 'кзыь котОРО1'О ТРМГООва ОИВГэак31та Г (21, «)1) = 11", ( 1,'",Щ ПУС1ь и . 1роисволы1МЙ 13сп1сст33сп3пя31 33ар13м1" 3р. а Ф вскто)2 ы'С1ОЯ1л1Я.
Ивслсм (скола эрмитОВЬ1) О31сра'323Р31 « .—.= 4 -- (А«,ь, «4 =.—  — «В«4 ,.отсчитанные'" от 31х срслксго зьз к1юя 11чсвп;к1о.,;Гг 1'к крс'"'' 3'А', В ) .— ГВ 1)О.'1ожкм Ф' =- (А ..'- ИГЬ' 1ф, 3 ак как Гк33,'ИГРИ1,1Й кькдРГЛ' «ФЙ Ф'1 > ('„1О «'-.1 1.3;;, 0 < ((А' 4 1Г2В') Ф,ГЛГ + Иг«1') Ф) =- (Ф,(4' ' 1Г2«К) .1. 3 " 3 = (Ф,(А — ГГВ)(А' и2«)') Ф)--:,'Ф,( 42 + Кг(.42 «3,' ' 1'* Л ся33яя 11. 13АВЛЮЙЙ~ЖМЫВ И О1 112пят бпа,ом, мь1 имеем положительно опре , О ПГРСМСННОИ Ы 4!з: халс21 П' ;;;;;.;::,4 - (А2),„(г ) 4 1„2 (В2 ), в1,л уль1сги1я псрааснстВВ (11.17): 4(А2) (В21, > (Г.3иг ,«('1')ф =- т((4 (А)са)~)е " ;";,~~!!кт.:;~логйч13О 23тя х~(В - )е, так что (11.17) дас1 ЛфА ЛЛ,В = — ((б'),Р 1.
квадрагйый фДМ полз'1пли количсствс1314у1О 111О(гмуЗВГРОВк)' сООт1юпюния псоп- ";".Гьдслсйносзсй1, Ясно видно, что нижней 1раиипей произведения неоп- 21;,'2~В«ф13снноГГГс31 является с)теайсс зйачспйс коммутатора соотвстствук1- 121!'",":Гжх, аперагорок. Используя (4.36), находим, в частности, Лх Лр,. э (11.19) 2 ~'.-(й':тяобОК СОСТГ~Я13йй Ф„так как 1х, «л,) = «Ь и опсрато12 (. Сводйгся к ф,~ '.„'ЯКШУ), 1!=.;::,-;!."-::,::.'ЙРассыотрих3 несколько более С31огкиую ситуа13йю. Пусть , 'а) 1;,:~сствсйкк1С состояние набора переменных А, отвечьяо1дее их собст- "",1,':: '~~йьгм зйа'юю1ям а. Пусть В и б .
— дгя1 Опсратора, кОммуси)туюпгис со .-;!.Взн "'йм абр, А ' му ру хе ду бй ,;:-"1,.;-,В)(о) гс О. Рак как В и бз коммутируют с А, то векторы В ) а) и С ~ а) СГ'бствснпыми ВсктОРами паООра А, Отвсчаю1дими тсм жс ,.~,.~~~™В1 1М зна'Геййям а. Ио так как В й б' нс комх1утйру132Т, то В1",ктор 213"кс1 Оьггь их 061Л33м собсгвспп31ь ве1 Гором Зпз сит ПО крап- 2~$;:;:ь":икре О«ВИ1 131 векторов В ~ а), (з ~ а) (или оба) линейно независим по ;,~:1112':::.;Г, йию к ' а), Ь4ы доказали, следовательно„по набор собственных .чхек.ай3131 О ВЫРС1Х;д1 и " ча'1римср, вскторы В 1п) и ) й) линейно 1юзависимы.
Диато- ,"~"": ''см ГГпсратор В полпрострапс1вс вырождегп1ых собственнь1х п1361ора А, Все векторы нового базиса в этом подпрострапстве 1' Опс иОдииаковые значения а набора А и разные собственные значе1СР31ора В (докажите, что все Ь йе могут между собой совпа- ГГГГ эяя ЛЕКЦИИ ГЭО КВАэ-БОВОЙ МЕХАНИКЕ дать). Значит, собственными значениями оператора В к!с!!к!к „ вать вырожденпые состоаь!ия ~ а) -- они играют роль дол! !!!!и!!! и!э! Сэь "' 3* клэтлэяолых чц! !э7, пужээых для ъгэ!'О, "Бобы к.'эассифицэюовэггь ДСББЫС СОСТЭЭЯЫГЭЯ. Мы видели в (4.37), то различные компоненты 1 операго„ мента импульса частицы Бе коммутпрукэт между собой.
11келно обьясэьчстся !ог (обсуждапгиийся в лекции 3, и. 6) факт, по „э, "О, менно с Хз определенное значение можс! иметь лиюь одна из п)„э Г., а. Ры Р. 1,-. Нос.о'ь у все эр" Орь! 7',)у,).„. ко )тиру ! по пс коммути)эуют мсжд»' сОООЙ, тО мь! Имеем ситуацию, )эассм!э з'-"'- Бую в последнем примере. Собственные векторы оператора бз вы"-" делы; согласно юэиым вы эислепияь! в лекции 8„степень вырожд Я' равэга 2! ! 1. базисом в пом (21 ' 1)-мерном подпрострапспэе и взять сфернческие функции 1'э„,, являюгциеся одновременно соб Бымп функциями оператора 1., Тогда собствеппыс зпачеюм эл д' ' во!ного оператора ээ., нумеруют базисные векторь' да!во!о муля'В плетя.
Таким образом, в слу эае наличия вьэрождеция следуе.!. Бскюъ коммугирукэлэие между собой операторы, которые коммугируэот с ' боро~ вел!Оно!, характеризую!для состояпээя. В зада"ю Об гооме й рода (лекция 9) мы были свидетелями,„слу еайпого" вырожле ьчя (з " ' ! Пя уровней Бе зависела ог оубитаэп но!о момента 1). ге!о с!э!к!лис а лц !нем с!де олио«о (кроме ь) оператора, коммутируюэцего с знер, е )э, а именно вектора Рунге — Ленца (задача 4-8) М =- „--- ((р х 7-) — Ф х р)) + а (11 ,' П! Оператор М, как и любой вектор (ср. (437)), пе коммуиэрусэ с Р.",;."Х.' 1э', М ) .=-.
эй» ° 81„. (11,'„ В обычном описании (лекция 9) состояния, гэринад.!с!капп!С вь. „:э,, депиомэ зпа'!спин! ОПСРОю, ПУмеРУэоэса в ка !естес ээоо!ээээээггелс(1М квантовых эисеэ! моментом 1 и проекцией л!. 1эаээпчис друг" о ( -. мально равноправного с У) интеграла движешьч М зеле! к гоы).:::.;;.
уравнение 1Врсдпюера лля кулоновского поля допускает Раз!!с" .--' персменпьэх пе только в сферических (см. лекции 8 и 9). Бс "" ",...-' боличсскпх коордщэатах (32в, Я 37). Возможно и истюпэое слу ьзйпое вырождение, ко!!и! сээбстваэ... значения оператора завися! от какю;-то параметров и гэри Бек зпа !синях параметров совпадаэо! (с таким Гюложеэюем мь' встр '::..=-,:.ъ эет ПРБ Рассьют1ппии поведепия сисэемы в к!!пни!Бок! поле).
Пеяцвя М НАБЛЮДАЕМЫЕ И ОПЕБАТОБЫ ,. Б Б соответствие динамических переменных и оператойс!.ва измертэмосги различтэьгх величии. Однако Оп)эе- - (11.2), хотя и позволяет получить ряд важных выво- !,Т,„-,Ратора ЯСТСЯ БСКО конструктивным: для реального построения оператора ,.~',ВЯ ать всю совокупность его собственных значений, т. е. БЯДО ЗИЯТ ,,пи гь задачу. ;-~яд!а ктн'!сеял кп квантовьэе операторы и всю их динамику можно поботав схему квантования классической динамики. Обоб, эя, полученные в классической механике относительно :~э(6:::)."':ь ' ° -скнх законов сохранения со свойствами симметрии сис- ,:.~::::: ьэ смоэкем построить фундаментальные квантовые операторы .~ж':"""'~'.щ~ациэо свойств сиь!Метрии (ипвариантностн относительно оп- ~;;,:~дщерагура! (22, эл. 2; 41, гл. 2, 3; 47, вып.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
