1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 18
Текст из файла (страница 18)
вый классическому действи!о за период движсвия 5 = У .( = ~. + 4 (73 Отрога говоря, квазиклассвческвм квавтовависм можно пользоват4~~ лишь при 6» л, т. е., как следует из (7.36'), для высоких ква!пвэрф,. чисел л» 1. Однако для качественных оценок обычво можпо з полировать (7.36') вплоть до л — 1. Р!с!вива по сравпеввю с первоначальным постулатом Бора сост6"' в слагаемом 1,!2, которое происходит от квазиклассвческой фазы Учет его ве приводит к превьппеви!о точвости, так как ово явля,„,' поправкой первого порядка малости по сраввевию с л, а равее отбй(!1 шевь! лишь члевы второго порядка (7.12).
Внутри ямы ук.'!клива ' согласно (7.36') ь ), гбх=--' +-' (7."хт(:; Э 2 х л перемеввых „длин воли ', так что освоввому состоянии! (если бы!)ьв! ве! о можво было применять квазиклассическое приблюкеш!е) о! бы длина ве 722, как в случае глубокого ящика (5.13), а лшць АМ:,-„,:: тальвая часть полуволвы забирается подбарьерными „хво!лаь!я новой функции). Однако, как и в случае (5.13), каждому следу'о" состояли!о отвечает добавление 272, т. е.
и — число узлов вол" ":;;., функции виутри ямы в соответствии с осцилляцвонвой творе»ил'(;. ция 6). Плошадь в фазовом просграистве между давпым свят»иль!и стоянием и следующим, как видно вз (7.36'), ракия А = 2тй (Р'!сПоэтому говорят, что на каждое состояние приходится фазовь!й л пешая т. квлэикплсоическое ПРиьпижение цего косинуса !втекал легко илв частоту лемевт произмпульса частиижевии (7.39) (2ть)' в трехмерном случае). Отт~~~й!:(!!ла ---"-- опрелеляет число кввзпклассв",-,Ь~!)!)в)е!!ве ° Ь,.
к гоялий, которые возникают в ре,,;":~~в . кавит!!вавил из классических траек- "'::::Ф'-"::'.!!в фазовом обьеме !5рЛх. Это обстоя'-" 'йьувзе к — — Ф содержи.! в себе зерно квантовой .,~:.„:;;аэ.; тики (з!ля систем многих тел, где при,,:",--фф!ыо с,. ,жисти !еское рассмотрение, обыч- 1, а„ ь„ "ь„'„ т~!ш-' 6.' „,шивсцю доступвых состояний мож;,,;.;1.:„'" ссЬхшривать квазиклассически). ;9))1. ол! Рис, 75 гвоеобравв,п! характер квазиклассичес- .:,::~:"дв!ь:к)лвов!4» фувкций (быстрые осцвлля-;:.квк ,„.,;!л в классической области) позволяет упростить вычи ,.'~::,!"'"~~в» величии. Для нормировки волновой функции (7.
."„!,:!!";Рыирово шый ивтеграл 3 г(х ~ (Ь (х) 1з. Поскольку цод ';:;:",;;"'~~вяля фупкцвя быстро затухает (квазвклассическая глубина провикво! Ъ'!Ф!!!!ямр.!а: 1 -- -- — Х < й), поста'о в те!Р 1 о влить и ь ь(;;;;~фвйсвческук! обласп. Евадрат быстро осцвллвруто! '-;";;в!вткт!о заменить его средвим значением 1/2, после чего ! ,",'":,т))!)икается через классический период движения Т .~~,:.щ': —.-"ЗЛ': 11~ ь (7.38) =--- 3' — == -.— 3"«г= -- - =---. '!:,,'„,,Вэтому вормвровавпая волновая функция л-го связавпого состояния „1 ы.„ Ф„(х) = 1- —" сов 3 й„ь(х — — ' ! = — 1 — —" соа Ф„(х). (7.39) ', %числя ляя !г 9!„,Ьь„!(х, легко видеть, гго с точностью до эксповеици'~=:::::„:!фьйв „,, "::цй!кл члеио и'-'ь'х вкладов подбарьервых областей и быстро осциллируюлевоа разлп ш!!е кв'пвклассвчес!и!е волвовь!е фуш!цкч! между ' ор"!'! овштьны, !; .йичв.- ',ьь„!числим теперь квазиклассичсский матричный э о'!ератора (1, заввсяшсго от коордипагы или и о"Рслелеви!о мазричвого злемевта имеем в прибл лню4ии по квантовой михзгники Поскольку в (7.41) оч ння на пла Дальне чая близки жение), но чая см.
В жить и = 3 Равенство ,'.":* гяз33ссгогеской х'*.'Вбгагялом МВЛ .:;.;'хзгй)3ЕМ Саыа , ф г:,*''гк(3ахцз излу13 ,;;: э33ТЬ основну ;-„',.'-~®кого вибра и,, .и Й.„-„. (и 1фх) ~ '-;-";::~!'г:ПЕРЕХГглгг Л„= )гаг„. п3ввтетвия (ср, с (12б)) ческими уровнями равно ения с той же энергией. спектр связанных состоясциллятора с частотой ш, переходе от одного учасг" другому). П силу этого мой частот будет содеррмоники — как у класси- (7.47) ежду бг частоте Ом уча виген (к частота аемых к 3О гастот тора. у -- (7. 5) . (7.47) ° выражает ггри3331игг соо гижайшими квазикласси пе13иОдическОГО движ стке КВззиклассический ак у гармонического о аг плаВнО меняется при ЩЕГО МНО3 О УРОВ33ЕЙ, Ь вазиклассической снеге у и почти кратные ей га (7.43), находим Продиффе 33УЛЬС П-3 О к интегрированию по Времени„ и 1Ях) 1 т) = — 3 агГ Ц(х(Г)) со Т хл(гг — т)г з Т (7.
50) гп (и 3Д ~ т) = ) г)х 33'„Д г)»„, = ъ'агхга 3 ах — == соз Ф,(х) Д вЂ ;= соз Ф„,(х) Рюг Чрх ,' 333" Пусть сначала Д = Я(х). Тогда произведение косинуса В (7.4б) и преобразовать так, что (и! Д ) т) == (п ~(7(х) 1т) = — .,(галвг„, 3' 1=-. Их) к л зр„р,„ (74" Х (соз (Ф„(х) — Ф (х)) + соз (Фл(х) + Ф,(х))). обе фазы Ф„„Фл, квазикласснческн аезгики, второй ьос ень быстро осциллирует, так что интеграл от его произ -"'д аную фунизию крайне мал и нм можно ггреиебре 33,.:,"~У йший расчет мы произведем для практически ва;кного'.с:-""'- х соагггяний„когда и» 1, т -> 1 (квазиклассическое ггрвбй3~Я ~ п — т 1гп «1.
(Рассмотрение более сложного обогего сдлг!В, 32в, ч' 511.) тогда в плавных функциях всюду можно 33 (агх = ага = аг Рл = Рт = Р): (и ( Ях) ~ т) = --- ~ — — - Ях) соз (Фл(х) — Ф (х)) . ( р(х) Для разности фаз близких состояний имеем: х Ф„(х) — Ф,„(х) =. - 3 р„агх — 3 Р„, ггх = я яг гд Ы„ х х (а„— а„) -'- ~ р, ах+ (и — т) ~--'-' г(х дгг члене в фигурных скобках (7.43) надо взять польппе иго на нижнем пределе интеграла, но так как п„-- о р„(а„) =- О, и в (7.43) остается лишь второй чле33. Его Ь хгЕРЕЗ Расстгтаиис МсжДУ СОСЕДНИЬЩ УРОВТгямгг дд ( ренцировав по и уравнение, связывающее энергггю н СОСТОЯНИЯ: Ъгг найдем дЕ„= — ф„= 33„37р„откуда Ргг Е ~ Е ВЗ Х зр„ д~„ Л (- ф й л ф', ° » Время классическог'о движения с энергией Е„от точки ;:~~4Ь; гх 3Х) „„:3(вгг» нггхггждення Л„ггродифференнируем по и условие квантования ь„ Г1.;:~.
и -,1Т ' как по-прежнему дифференцировать следует ':,„':- функцию, но не пределы интеграла (7,4б), и т= — Л,3 — = -˄— л= — Л„ (7.46') Ь л ггл Я 2 6 и„ е опять достаточно оставить лишь и а < х < 13, получаем мат13И гный эле Ь„ т) = — 3' — Ях) соз ((и — т) шг (х)1, л гг «то как н в класс!и«оскс!и механике «32В («131 х тел с потенциалом взаимодействия И', зависяительного Расстояния, сводится ь задаче одного описывается волновой функцией тр(г!, гго г), кото- нению Шредингера (4.21): а' ьт — — !722 + )(г(г! — г,) Ф(г!, гз, !). (8.1) 2чь 2!лт — г*гт' =- пь, + п«2„г = и,' — гт. (8,2) льсов )7! и 172, входящие в (8.1), следует преобра- Р! = '(«+ -- 57- лг! и ВР пол! ой кинетической энергии в переменньгх (8.2) ;.
".-,2вегся на два слагаемь«х, "=;" ело!о ( ., Мещение ма с ьг,, тат«ос гг~., сеятельного движения ( ! ! ! ю! глт отвечагощих эн ы М, описывае с привсденнОЙ оргии движения системы мое вектором тт) и энер- мйссОЙ Г = екр ~ 2чи«22 '" ~ 21 и - относитслыьтл скоросзь осколкоа Таким образом, В кваэикт!Всснческггм пределс МВтричный элен!Стг,:.'~( ратора фх) между близкими состогп«иями с разностью энер!.Ин ь Реходит в фУРье-гйрмоникУ с чйстотой щ величи~ы Ях(!)), Расеи -.'!:-;з ваемОЙ как функция врсмени ВДОль соотвегсгвук)щей кз«асстггг траектории (ср.
с точным результатом (6.24)). Задача 7-2. Доказать, "по матричные злемсгпы оператора («(р) такие пер фурье-компоненты классической аелнчниы ь«(р(г)), где р(г) -- импульс гы той гк (ч! сической траектории. Укатан!ге. Заменить импульс днфференгмалын,!м оператором -«Ь -'- «и .,'-'."" ;,) '',, что и применении к каазнклассической волновой функции следует диффсрегин' ' " ! линга фату Ф(х), но пе плааиый миожнтель - — -. ,(р .гтналогичио с помощью формул связи (7.32)„(7.33) можно смотреть и задачи, связанные с непрерывным спектром, в час«зд(:- туннельный эффект.
Задача 7-3. Доказать, что каазиклассигеский козффициею г!рохоокленал)ч барьер (см. рис. 3 б) ралли е Р = екр — 2 ~ хг(х . к =- — «2гч(«У(х) — Е) Результат (7.51) правилен, если точки поворота а и Ь Распоп , ''„' достгпочио далеко друг От дру!'В, так чтО пОд барнс)«ОМ сеть Обр„. удйлщ«ная гп и и Ь, где уже применимо квйзиклйсснческг!с приб л нне. Легко видеть, что пРи этом 3 и г(х» 1, 7' «1.
Если «кс это не! г л и 7' — 1 Жанр~мер, энерпи Е близка верщнне бар ера г!а рнс 3.5'', что точки а и Ь сближаются), то необходимы более тонкие и позволяющие учитывать обе точки поворота сразу, а не в ггтделы(Е",'.;".,",'и Такой подход будет намечен в приложении А. задача 7-4. Вычислить козффициспт прокоацгенггл через кулоиомьий бтйге(г..л дЕЛЕИИН а!гра На дан ОСКОЛКа 8 .ь 8! + 22.
(Усеет! Длл гочс*|ного лдра Литература! (16; 17; 21; 25; 27; 32в, гл. 7; 32д, ~ 68; з9, г'! гл. 3гз гл. 2 — 5; 50; 511. ,'::"::::.'„'Й 8, ЧАСТИЦА Б за «В!а дву Ъ -,!'~«исгстнг~ двух тел .~и!))йф,'ледгли«ясчся у Рйв Вгр(г!, гг, Д ,;::: 'а: —",-'-:.= ( .)Т(фе!Чеы КООР«!ипату гтг ,:.Тепмолра Р, мпу центра масс и относительную координату и: Ясно, центра ма энергией Е описываю 1-; ".Е:,(трв фчжскро .", »кур очско»1»» „.1П ся»»1»»»г»ач) ф.:;-:;;.,::;~4.») = ( 1)ж е.- МВ 0 1 2 3 4 5 с(уей 3»чсргия взаимодсйстВЯЯ )) (г) и»рвет роль пчпсппиала Вне»лис». В котором ЛВижстся частичка м ~Осой»п, так что мы Вернемся к ог.:, чению (»(г): д»Р(», Й„») 1 лт ьз чй -- — -'--'--- =- ~ — — Ч' — - — т»= + 1»«г)1 Ч»(г', д, Г) гп» зависимость '4' от )г Отис част СВОбодкому да„ сс с произвольным полным импульсом Р н соогвстству,'."" »к~чуя Р (»)Ч).
ПОЧТРМу С1»аэу ОТЛСЛИМ Обц)ИЕ МК п)ие тривиальное Г»г»гтуч»атсльное движение: Ч)(г, Ж, Г) = схр 1) РЁ~ ехр( — — Е„ж „Г, Ч»(», Г) л ~ л Окончательно получаем лля Окисл»1»чя ьн)»т(»сикс»о движок»!я одного тела массы т в лоле б'(г): дчр(», ») ( Гз 18 -- -' — = 1 — -' - 7з + (»'(г)) )р(г, ») д» 1. 2»я кк. 7тч)» + )Гт(г) у» = О, ):з(г) =- --.— (Š— (»(г)) . Пусть потенциал обладает центральной симметрией, т. е только от абсолютной величнкьч»' =- ~ г (, то»тча уравнение (8.8) жит ЛВную функцию лить Оч» к ЛОИ)скаст раздючсчгис персис сферических координатах (», В, р): х =- г яп В соя»р, у = » агп В а)п сч, а =-,. Соа В. в результате (8.8) принимает вид —, — 1»- --)+ —.' Лчр+ Е «Г,ЕЧ =-О.
д» д» Здесь опс)чато)ч Л есть уГловая часть Очтера1ора ))апласа ~'": Л -" — — - - Гйп  — + ---„— — -.; . 1 8 . д 1 Ивб дб дб зы б дат Мы должны найти непрерывное реп»ение (8.10), облада1оцч ; .Гасе 1 рывньчми производными по г, В, »)ч. Будем искать его в Виде »)» (», В, »)ч) = а(») )'(В, )тр). е» или для стационарных состояний %г, Г) -= »»ч (г) е Ла»аяя В ЧАГ ГИ14А и ЦЕЫТРРЛЫЧО-СИММЕТРИЧНОМ ПОДЕ ВТ „с„сыецччыс, получаем кз (8.10) ~»'~ ~ 1- кз(г)»з»»1 = — -- ЛУ = С. (8.13) 4»»» ф,',', - смея с»ча»ала;Гдовым У)чавнек»чеьн кчиоРОС нс соле)чжччт ни Е пи потенциала 12 поэтому ~~ж~~ся у~иверсал~жм для О»1 о и юпрсрывкоччч с~мь ~роз л Обом цся Г)чалыю-симме»Г- » ~!'-фщ)СГН ',"„",''' '"'иоы пояс: В 8ч си ,Лу+ бу =О, (8.14) „Ос уравнение (8.14) рсчпается новым )чаздслскисм Г»Временных 1(В, а) =- В(В) Ф(бч) (8.15) :.»чжвйя а»»ало» л"1ло (8.13) повую константу разделения„кОтсчру»О обозна".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
