1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 15
Текст из файла (страница 15)
'.;.;-';!:,' Подставляя (6.23) в (6.21), явно выразим решение Ч«(«й «) для д.-,',,к,«« ""'ьного момента времени через начальные условия' «Е„« Ч'(*«, «) = Х з 1'з«э'(4')Ч«(««",О) «1«(«)) = (626) = ~ е(т' Я,д, д', «)Ч«(«10 О). Здесь введена функ«дзл Хр««па, ОписываЮщал раепрастРаненнс лк,::.: исходного пакета: 6(д, д', «) = Х Ф.(д) Ф.(д') е (6' а подчиняется уравнению 111редингера д«3(гх ~~; «) ««з — — ' — — = г)(д) 6(д, д"; «) (6: " и представляет сооои его частйое регпение, удовлетворякццее начйФ ному условию, которое легко найти, положив а (6.26) « =: 0 гр(д,О) = 3 г«т' 6(д, д', О)Ч'(гу',О).
л„ы яв овщиковойотвду двнвний«п иис Наказ движется равноие ая вил («х33) увеничнвмосц ,~!;:,;:;тз .««яуссоя едингнрд 'Р(х, О) = (зтаз) Ня схр ««гох — -х—- ; ~~Ч'(х, «) ! сохраняет цри х), и а(«): рно н расплывается ейся дисперсией (Л ай оценкой (3.231. ,„г рсзслятвт совпадает с прас г 1(рк«ко рассмотрим Вопрос О ч".й~ нигера (4.24).
Замена « — »вЂ” аренеллой Об)эа«н«сиости уравнений ~Й «дает (в случае, если — - = О) д« йд, д'; О) = Жд — д') ся нескольки ветствующих тэ«З б(г, г'„ «) = , ~ ехр ~- †, (г — г )3; ' 2т«л« 1 2«й« «згх, х'„«) = ~ " эс 412«тгй а1п и«« зс ехр — — — — - ((х~ + х*т ) соэ пз« вЂ” 2 х х') 2«й «йп «и« Задача б-э. Найти заков свободного движения гауссовского волнового "яял::з нсопределеннаатяьо координаты (О х)~ — и = ап (если предстаВление характеризует подразумевается произВедение соот Из (6.27) и ((ь29) получаем ,)'.
Фн(д) Ф.(д') = 6(д — д'). ТОлькО при выполнении этого усл ного уравнения Шредингера можно (6.30) есть математи «еское выраж Фн(д). Задача 6-2. Найти функции Грина: а) для свобадпог одномерного гармонического осцнллятора (529) (6 е нес~ацион$$ стемь фу ня частицы; а) ,:;;гтдеаав и (6З5) комплексное сопряжение .„Лгй (-Г) дг ;:-,',Яперация замены '1« — Ч«, Й - .а квантпвон глеханике при этой ,:,:.;";:жввана преобразуется к« М =- (г)« , 'Й ( Чл ) = = 3 а«т Ч'(д„— «)Й*ЧЛ (д, :-',~':; ' пользуясь свойством эрмитовосги (6.2), м = 2 дг чл" (д,— «)Й чт(д, — «), ф!"~ф~ '.."Реобразован«тояз матричн '~)ф~~-' "«.*рамон" я«атр««ч««ь«й эл '~,.';-„, выла««нем энергии (гн л > О, -» Б О«1исьзлае«обрпн«вньв прет~.'и«« операции матричный элемент гамиль- ) с«т тр'(д, «)Й Ч' (д, «)— — «) = 2 с«т (Й Чг (д, — «))"'Р(д, — «) ом элементе М меняются роли сосходным М.
Из (6.14) н (6.15) видно, емент М отве«ает процессу, скажем„ „излучение ), то матричный элемент ;:)йовяетворяет уравнению Шредингера с гамильгонианом Й=Й". (636) ЛЕКЦИИ ПС КВАНТОВОИ МЕХАНИКЕ М „обратного" процесса отве асг фурье-компоненте с увел!„„„'.:.:: энергии („нагло!Пение') Поэтому фактически процедура (6 37) (6.-. каь и должно быть ири обрзпгении времени, включает 5!Срсс„ан т и !'шльных и конечных состОянии (см. лскцигО 13). Для ПО!си!5иал г!озгя *»1' = Л; преобразование (7.38) сусцественно лишь при иа;"-- магнитного поля (вспомним, *по в классической теории при о!рз, вРемеии вектоРный потенциал с '»' и поле сяк = го1 'У мснтш сааяььб Остановимся еше пз группе своеобразных задач, связшшых е:1 зистаииоларлыми состояаияи15 (см. лекцию 3, п. 4). Мы вилсли„:-": волноваЯ фУИКЦил такого сосголниЯ имеет зависимость от ВРсмсии:',и да (3.34) Чг(г, 5) = гр(1») е т.
е. формально аналогична волновой функции стациолоряого сосягок аля с яо!слс!Сксссг»1«эсссрг15аа Е=- Ео — !— . Г 2 (6;4 ' Как мы доказали в (6.4), иа классе нормируемых волновых фуи" "" возможны только решения уравнения П)редингерз (6.1) с Всщест "', ной энсрГисй. В задачах с Ясно«змирусмыми ВОППОВьгми ф«икц«'"" (!Шириме«2, рассеяние, с:и.
Рис. 5.4) энергия час~ицы лежала в нс " рывном спектре и фактически определялась источником, распоп " ,. иым нз бесконсчносги и рождщощим реальиыи посох Част~и с Е ~ «згг Рассмотрим условия, когда уравнение ««)редин! Сра может иметь',. щения типа (6.40). Для определенности бусгеы икса~:,.
СВ5 1 виду, например, си.гуацщо типа Ф .„ иалз (клзссичсский пример хват ... циоиарного состояния. -- 1: 1з", 1928). Реальная задача, конел!О. мерна, ио качественно ее можно З.„ сать, рассматривая только ради — — — движение (О < Г < а5), т е. введя я Ой с«'., мерный потенциал с бесконе пюи кой при» -- и (рпс. 6.!) Область энергий' Ег, > 0 прз жит непрерывному спектр> Обы...с постановка задачи отвечает Расее на потенциале 65(!.) частиц с Вс ВС!Д, Ряс. Зг задачу 5-2), обуслов- абираемзя нз пути к выбран для того, что- ение Е(!с) = 1, тогда (6.42') овлетворяться только й'~ —. Однако в отли2яс Пощяя В. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА тт яа»:: ...
„оргией Е = Е55, испускаемых истОчникОм :;,'51:.г'. !Я(!.) асимптотической области (г -я со, "'-;,'„й~.' ьчси55сй двух Олн — падающей справа :;-ф4рпозг ф, (!.) Вся» Е(Д) е»Г» (6. 42) 12тсяо ."»'з воли!!ВОИ ВскгОР А = «~ 2 3 Ь(~) -- - амплитуда Отражсннои ВОл'«-;::-",4(5%'ВО Ь~ )) силу сохранения тока коэффицие!и отражения Я = ) Е((с) 12 = 1, (6.43) ".":-'-с 5((с) =-.-""', !де с)() ) — фссза 52асссяггая (см. ' и,!Вя наличием потенциала (,5(г) (с) — — фаза н 2«' ~!~фстру, 25) — полнаЯ !раза), Знак „минус" В (6.42) '-',"«б~', своб~дному движению (6» гв О) отвечало знач Ч'(Г) = фо(г) — е 'и — е'"' — Гйп й., (6.44) " тая что выполняется правильное граничное услов ':„')со',обрзщсиия и!Тенциала в бескоиечность.
Прг ""1«ля!ОВО1! функции (6.43) имеет Вид ~ (Г) Е-Сгс» 2я! и» . ( 1 )) (6.45) ':.:~дователгно, фаза с)(15) (определяющая, согласно (5.26), временную 7 ";::~5((сржку пакета) полностью характеризует результат рассеяния. Ясно, чю изложенная постановка задачи не описывает а-распад„ ;;,.ях5~«ХЯ1ЬКу Ист НИКаКОГО ИетОЧНИКа а-Чает!щ На бЕСКОНЕЧНОСтн. а-Чаек,.'!Я«И, Образованная Внутри ядра благодаря притяжени!о пары протонов =;,.в пары нейтронов, имеет ненулевусо вероятность туннельного выхода :",,' ч«орсэ классически запрещенную область кулоновского барьера наружу .;» "дВЕ!тому на больших расстояниях от ядра есть только расходящаяся о! »тя«ПРЗ !Кь н,! и»' '"' «~ тот '-",":, .
- Тзгда задача становится аналогичной задаче о связанных сосгояни- :'~!,',:;,-'ФЯ ". =- Е! < 0 (см. рпс. 6.1) волновая функция должна убывать «.",~!" Г, ~о — с--. Кзк мы знаем, этО ВозможнО лишг, 1гри нскоторых ;; В«Я«Ч Ия 2. 5Е1 иях !с = . — — — спектр связанных состояний дискретен :,::;5ЗЯНО та - -. тзк жс граничное условие (6.42') может уд „',,!;,Тт. Влот и«с Опрсдслснных знзчсниЯх энсрГии Е = ;=::.',!~":)герат ис . " "!нных связанных состояний здесь у иас Граиичиос условие комплексно, псзэтому и допустимые значения Е окажутся комллек ми (6.41).
Если бы потенциальный барьер (см. Рис. 6.1) тянулся ло басков':.;. ности, состояния с энергией Еа были бы обьшными связаннтимв.:- стояниями. Коне сность ба)зьера привОди1' к ВОзмОжносп1 тун11елт '1а перехода, а следователыиз, к сдвигу „энергии" в комплексную об с:4 . г) 12 Ео — Ео — 1 — ~ и к коне'пюму времени жизни (3,37) т = —. Оааю: тсЪ 2 1~- пятив квазистационарного состояния оправдано только в том сл "-", если время жизни достаточно велико (зто крайней мере, несколько т~тц риодов колебаний Й'Е), т.
е. ширина уровня мала по сравнению с эи"''=-' гней, Г «Ео — собственное значение Е недалеко ушло в ссомплскс~~,': 1щоскость, „Волновой вектор" 1с теперь также имеет мниму1о часгь,,-:",:,'„" 12т . 1.; 1. о~ — ~= о 'т тс~ 4со~ 4 Я ) Д11 Поэтому на больших расстояниях от центра волновая функция (6.4ф: содержит кроме осциллирующей составляющей растущую стксттоиев~;::- Ф вЂ” е'"" — ехР (1)сот) . СхР ~ — 1 — т.~ = ехР йот' + ~ (6:.4~':, лтсо 12ео по — ' и '( си Таким образом, полная волиствая функция (6.40) а асимптотнке яагвв11 вид Отсюда понятно, что возрастание 41 при г - са - зто просю Рсзувь'-,;."( убывания волновой функции в центре из-за распада; все „просоч о очи(в шиеся" через барьер частицы уходят на бесконечность, амплитуда новой функции одинакова для всех точек (и, г), связанных классз' „.
Щ1Чй ьим ураВнением движения г — — с = сощц =- со. ио ения (6.44) только Вской функцией )с содержит мнимую уплоскости (с (см. н01'о движ ) аналитнч на КОмпл ение д(1с) ижией пол ОСТОЯИИЯ. а цля иатсцциава иа ий. Г!ахазать, по цри ) МОЖНО ПОЛУ ПП за есть произведение рьер (коэффициент т стенку за ! с: ожителя требуетямьз, Однако для коэффициентом ЛЬПОГО МН ера Внутри гии дастся реалии а ОВЩИИ ОВОйстпа УРЛВНИНИй ШРИДИНГИРЛ 79 час-, что в точке (Е, с) наблюдакп- $".;; 1ззиачас ":~ст-"-' „ы, испущенные в точке т = 0 ':;;",СЬРдт 1: =- — то = 1 цтса И ДВЛЬШЕ ";,! ":";ИОМЕИТ ='"--Ф'-:: ':"--"-""- " "', ~Р) 3 „ттсм теперь вопрос, можно ли су.-„;т!;::;:!:" палл;Ии КааэнетацнаиарНЫХ СОС1ОС;;::*"':йа о Иат иая рецсенне (6.42) обы сноп задачи ':;:;,:~Ф:::"-' тия с исючпиком на бесконечности.
"„."71;.".. „б, црц каком-то зиачецин 1с амплиту- 1,,":1~,":~'~Е((с), ~ж1, то (6.42) можно было ре- ' кгечь первым членом и решение (6.42) ';:,—,:. Всцло бы ц квазистационарное решение и;;(0642'1 Одсшко при вещественных тс, как 1тис 6.2 ",':.".",'„:."т~'В11ЛИМ, ВОЛНОВал ФУНКЦИЯ РаССЕЯННОй ..;~-.,;!:"61)11ы (6,42) отличается от функции свобод :: ~той, так 'гсо,' 5()с) ~ = 1. Будем считать Е()с :,:;:ич сзсвер1цны аналитическое продолжение ':, з(той псреметлюй. Аналитическое продолж "1 хчассть, так ' ТО 15(тс) 1 зе 1.
п л ьт е(л) В ','.,'-„(6;46)) как раз дадут квазнстационарныс с Зала си 6-4. Развить оциомериое уравоеиис Щрсциьтср 4:.:.*,1 7~ .",Вк::62. Балта зоер1 ли и сцирш1м хвазистациоиариых сасцтав 1 ' 'а!итс зги соссоси1иа иерехоцвт а стациоиаримс ",':::;„:-', ', Прастейцзук1 оценку ширины Г (в случае Г < Ео .'ззтьлй считать, что вероятность распада в 1 с у = Г!11 :!'==4врсагпсости прохождения через потенциальный ба -"-'-7'в (52э')) нц 1ислО „уда(тов" ю1п часптцы О ИРВВук Г=ду — й-т — Есе й '1 (6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
