1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 11
Текст из файла (страница 11)
«) (Г - Г!), (4.16й:, : (Р (и)) =- ) 1»Г! «13*(Г) Р (3') Ч!(и) — Ч'*(г) Ч)(Г). (1редстаю)е!!Ие (4.16) удоб!ю для обобц«ения па слу'«ай многих "!В«)тя)аа ., Б системе 1)' частиц введем волновую функцию Ч»(г), ... „Гь ), апре»в!)-; ' лив ее так что ква')рат модуля ~ Ч)(г »к) 1~ дает плотность веров)33 но!ггн найти БСРВУю )асгицУ в окйестностн )н вторую --- в ОКРССТБСЕЗ ги и) н т. д. с.'роднее значение тобой функции Уг(г), ..., Гл ) Г3опимаетс)3~! тоги)рь и смысле инт«нрнровм!Бя !ю всем 1ю1)сменным (ср. с (4 2))! а (1Г) == ) П (!»Г,) ~'Р()о ..., Йа ф УГ(Г!'„..., Гч). (41 „: о =-1 Бслн части)п 1 103кдествепль3, тО В«личина Р! (3") до»!)кпа давать 11ло )„ ность веров)пюсги наывц!ения любой частицы вблизи гочки и.
Х1СФ:, видеть, гп) соотве)с!вую«ций оператор, обо«)ц!а!ОБ!Ий (4.16), имее) виа' Ж Р (3') = «) «) (й -. Га) (4,33Ф а .=- 1 фогда искомос уравпею«е 1Бре»«нигера будет иметь вид й 1 л' )Й вЂ”. +,2 ~ - --. Ь)за — 6!(г„, ») с1, 2а)„ — 2,)()(гс — Гь) Ч)(г«, ..., Гл, г) = 0 Зала и 4-3. 13«а!Га)пь уравиеиие иеарермвиое«и лла силсиь)»3' Бз)клестаеиийх амиа« (фак!33 )вски — заков сохрмжииа числа )аст))И)! иай)и илотиость иотока 3 и е!а)«ае)ега„ахилл сй оиератор » , Мы видим, что в системах многих частиц нельзя ввести наглядноГо представ))епия о Волнах де Броиля, распространяю)цихся в реаль- ""1 Бростри)стае. Болповь!е процессы разьцрываются теперь в ЗФ- ь)ер«!ом конфигурационном пространстве, с(а)и»«еы и Бахо)кдению времен))ой ~авион~ос~и Сред~и~ значе- ~"! Динами")еских перемен)н)х.
Мы будем рассматривать более об)цис ~')винны -- мал)ри л)ые эя)ь)»е)!Глм оператора Д, которые также выра)Как)тея Випса ин'!страдами типа (4.6), по п«е функции Ч' и Ч' могуг не соврассмотрим зволюцию матри )поп) злемглпа (л ( Д ) )Б) )в ~ «р;, Д Ч' »У', (4.22) »л)ВЧ' и «р Бве и -- два произво»!Ьных ре)пения )чавнепия Б»реди)!Гера. 3 СММС)! ОБСРБЛ)ор» 3з«гпльл)опг) Г», сООтветствую«ций зпер ии чай 1) 'с)!е (4.6), (4.7). Б координатном представлении он равен (зада- лекции по квантовой мехлннке лекция4 Динлмическиепепемейные вз ейетан - ., ие оператора Й в любом матричном элементе можно пере, левой функции („ обкладки" ) на правую — оператор О яв„аалавым.
П~дст~в~~я (4.28) и (4.25), найдем :-""' асывагь «ле эрмт " ,р; -'( (и ,'Ц [т) = «л н --- т + (л [ДЙ вЂ” ЙД [т). Й = К + Й = — — Ч2 + Е«(г) 2»»» «й х („~~ [т) »а ~ В). = —,„+ -((Й Й).- (4.3О') Воспользуемся теоремой Грина для интеграла по любому «»бьем~:, (и н и --- произвольные, функции): ~,)г- (и«22„„522и) ( «)г- «Ц, (иЩ, цтуи) (уф»' ' = у» «Б (и»2ц — НЪ'и). (Й,О)=О Уело , ",, 'овне (431) дает квантовую форму закопав сохранения, величина Д !,,:, яв.
вляетс»» то«да и«теграеом движения. П1х»стсйгций пример выполнения (4.31) мы получим, выбирая Д ,' 'с-.числ "сл«»»"» Соответствующий закон сохранения есть просто постоянстолн«»й вероятности (4.12'), словие (4.31) будет, конечно, выполняться при Д = Й. Таким об",. разом и если гамильтопнан Н не зависит явно от времени, то энергия . есть и„ » рал движения, как и в классической механике.
СОхраненню л«»лв " энергии не мещает то обстоятельство, что две ее составные ' 2 Части кинетическая энергия К (функция импульсов) и потенциаль- Применяя (4.27') к (4.26), получим (4,2 э Согласно (1.35) форма (4.24) является уни вых систем (конкретный вид Й определяе Из (422) и (4.24) имеем =3 дг ~«й — "РЧ'„, + Ч", «й»Р +Ч«„" Д йй» вЂ” ~= (4Щ~ = 1». [- »»» ч'.»' е и,.
+ ч„" ог '~ ь, » т„' д в» и„»1 С учетом (4.23) преобразуем в (4.25) первый член под интегр«том,':.":~» 1т ~ «1г(ЙЧ«„)" ДЧ2„, = (4.2ф,; — — )г й. (522Ч»„") О Чг„, + 3 ау Ч",, (2О Ч' . Если мгл имеем дело лн«пь с убывающими на бесконечности фунай~'„ ми, то для интеграла по всему пространству 1г- ит»2, ~ а»яг цт»2и (4,22»2- 2 = — — ~ «1г Ч'„' 572 фЧ«,„) + ) й Ч«„(УОЧ'„» = 3,(г Ч» (2«2 + Й) дЧ« ) «У (Й Ч«„)'Ц«Р = [ «У Ч«„'ЙЦ«Р, В, ля обозначение длл коммУтатоРа двУх опеРатоРов (Д, 2«12а ф — МЦ, (4.29) :а,и»лем в окончательном виде уравнение движения для матричиь«х йапи»лем 'эдеиеьн»ОВ (л[Д»п7)= н + (Й Щ лз» (4.3О) .)12 вывела уравнения (4.3О) ясно, что оно справедливо для любого оператора и любой системы, волновая функция которой подчиняется уравнение Шредиш'ера (424) с эрмилювым гамильтоииаиом. Если положить в (4.3О) т = кз то мы получим закон изменения со временем »средних значений (л ) Д ~ и) — = (Д)„: -Из (4.34) видно, что если оператор Д не зависит явно от времени (вДЯ« -': О) и коммутирует с гамильтонианом тр все е».о матричные элементы не меняются со временем: (и ~ Д [ т) — — сонэк ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОИ МЕХАНИКЕ паа (/ (фУнкцил кооРдипат) не имеют одповРемецпо опРсделснл значений в силу соотношения неопределенностей.
Задача 4-4. Доказать обтцие свойства коммутаторов (ь7, ал) = а 1(), Р) (а - с- пило) (мл, о ) = Щ 5) Й + ь) (а, д) Лекция 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ бб яз - ' зто ге коммутирует с потенциальной энергией (у(Р), как и :тело, ч! , ~килей координат. Оставшийся коммутатор в (4.33) легко 6сй фут1кц ';; ' ч:."."Ае - - с помощью (4.34), (4.36) и дает ;:~тчислястся -"- (е> = (,'-',> (4.39) Ф" ау 'зиз( (соблгодать порядок оперягоров й в М); в частности 1Ра* "д) =' ~Я да% (га зр) = 1ра* РД1 = О. (4,)д(,." Задача 4аи Доказать, что юзя операторов момеита импульса частицы ( а::~ = (р х р) а (задача 4-() коммутаторы равиы 1(ты тД) =- еаьару у, 12а,РД)=-(лепру Ру; (га, (тз) = (агору т, .
(саду — полпостыо аитисимметйичиыи тепзоР; а, )з, У = (, 2„3). Заметим, что и то время как компоненты векторов и и р руют между собой — (4.36), компоненты вектора К пепере пы — (4.37). Дальше мы увидим, что именно с зтим связана з ность одновременного измерения всех компонент д.
(см. т цию 3, и. 6). Пользуясь коммутаторами (задачи 4-5„4-6), легко получит вые уравнения движения (4.30) для конкретных динамически мснных. Мы видели (формула (3.21) и задача 4-2), что среднее НМПУЛЬСд вопиового пакета Злнс = ПЗЦквас„кета фс)ЗМа Пакета С нем меняется. Установим закон движения центра пакета: коммут((ьд становс%(е — (га> = -' ( )Й, г) ) = '- ( (й' + (), г) > = -' (((, Р) ) Задача 4-5. Доказать прямыми вычисвеииями в коордипатпом и импульса')(ь) представлеиияк, что коммугпор операторов импульса р и произвольпой фупкцпи я(у ордииат у(к) равен (р, У) = - Я (Р У), (42~' -, состоянии среднее значение координаты меняется со времеДц.л)обои с с '1 к )ассы 1 ссмчсски, хотя для пакета пи Г, пи )з пе имеют опрсделсниьгх ' звдчсиии.
у,лалогично из (4.30) и (435) получаем изменение со временем „~~~него импульса: -"- (е> = -'- (Р7, р) > = -' (Ф, р) > = — (~ч)> = А (4.40) м я ' я ддца введен оператор силы Г = — '(У(7 (импульс р коммутирует с кинетической зпергней зь(ра), как и с люйой функпией импульсов). Из (4.39) и.(4,40) находим „уравнение Ньютона" ьч — (ге> = ()Е>. (4.41) ,ьз ;:' Результаты (4.39)-(4.41) (пзсоремы Эрез4гслза, 1927) показывают, атй квецповые матричные злементы удовлетворяют соотношениям, Фсрьзальпо совпадающим с уравнениями классической динамики. Однзазаз на самом деле найденные уравнения не тождественны пьютоновсяим: Действительно, согласно (4.41) ускорение центра волнового пази~'" определяется средней действующей силой.
Но средняя сила„вообще гово)ж, не совпадает с классической силой, действующей в точке )я(слодожения центра пакета: (М> ~ р'((га>) вила ле"ой н правой частей (4.42) зависит от того, сильно ли меняется р- Р(Г) На „" У 1ттмавав З ИЗ яеиепие, -- ФФезя (~е(г)> = (2ч ®) + (ге — (г >) УР' ((ге>) + -'(ь — ю) (а — и)) !, . д'К((д)) 2 дкадгд лакции по квлнтовои мнхлникн При усреднении член с ~7Р в (4.43) исчезает, так что Эзра((ке>) Аг)> = Е((га>) + — ((Р. — (г.>) (гд — Ь>)> — (4.4-'" 2 дгодгд Центр пакета будет двигаться точно по классической трасктор '-'.,'.",' если флуктуации силы и области пакета (второй член (4.43')) ьг~~. (ср. рассуждения после формулы (3.21)).
Так как (3.16') размер гзактвтчн пе меньше его длины волны Х, то условие классичггослзи двггэггегггзя е"-""',, Х2Е1л2 «г (где Š— характерный размер неоднородности гголя)„ие,';",'!: т2 Р2»Х2, — "')»1 (44й2' (большое по сравненшо с Ь изменение классического действия 3 р1(,::2 на длине неоднородности). Согласно (4.43') свободное движение, двя".-: зкение в однородном поле (Е = сопят) или в поле упругой силы (гярыгтк пический осциллятор с г' = — ггкцог) всегда классичны в счьгсле д~ц': 2- жепия центра пакета: т -"-, (га> = Р®).
(4,431г: Если (4.44) пе выполнено, то квантовые флуктуации весьма сущее(г венцы и понятие траектории теряет смысл. Из (4.40) мы видика ч2я,: при свободном движении — щсалог кл~ссического зпкоггсг соярниеиыя сюгульсть ~!: задача 4-7. Доказать квантовый закон сохранения ьюыента иылульса лля лвв)нг. нпя частицы в центрально-сиыыьчричиоы иоле 17 =УйЯ) Задача 48. Найти квази оный игалог вектора рунге — Легше 122а, з г 51 (гкглол~ы тельный интеграл движения лля кулоновско~о поля).
Литература: (10; 15; 17; 21; 32в, пк 2). рассьзотрим простеипгие заЛачи, допускающие точное 1зешение. , ось Оказывается возможным выявить большое число качествен' ',ных эффекгов, имеющих место в реальных квантовых системах. Будем я 1: екать сгггглгггоиарггьге сосгиоялия — те, которым отвеча1от пользе про"::,',, сом ле Бройля с определенной частотой и, с определенной энергией ':'3Езхе Лги В соответствии с этим выделим в общем уравнении Шредин::.,гера (4,24) чисто гармоническую вреьтенную зависимость волновой ;;,,'функции (131) (это возможно, если 7зг явно от времени не зависит) Ч'(Г) = фе "" = 21ге я (5.1) " '-'Песдссановка (5.1) в (4.24) приводит к стаииоггаргггзлгу уравлеиша Шре° я1гнгяерс! ХФ= Еф (5.2) Или Лля Одной частицы в постоянном поле 'Дзая стацгговарпого состояния р(г, г) = ~ Чг (2 = ~ гу 12 не зависит от г, и уравпекие непрерывности (4.11) Лает сйу ут = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
