1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Посколь- "; ку кинетическая энергия К -- положительно-определенный оператор '~':(нд:классе нормируемьгх функции), !г! = Г ю ч' ~- -"-' р '! ч = г! ! гг ~ гч ~' г о, (аг! 2!л ( 2ж та': Ьля л!Обого стационарно! о состояния Е„.= (К + Й!)„~ Ь с"н ~ „„, < О'; а при !Е ! -г се 0~(Е) — О„то все стационарш>е со"пка с Е < О являются связанными и образуют дискретный спектр трехггсрном случае, в отличие от Результата задачи 5-4, в достаточно ');::-'!"', Яь>с СВЯзаннь>х состОЯпий может ВООбн[е не ОказатьсЯ.) СЯЯзан :.'-,:::::.:: Осгояния могут быть нормированы на единицу Состояния с Е > О -',":г!>ус ООС !, ю! щ!фпнитному движеншо и образуют непрерывный (сплош- ~::.~тяечаю! г",.,5~ф') с„ек "Р (для соответствующих волновых функций нормировочные '"Ралы Расходятся).
""" " шшомсрпом случае для Е > Ес движение нифинитно в обе ' огд! х, то все состояния с Е > Е оказываются вырожденными, 'М ..-".!НО, '0 нн'>му значению Е отвечают две линейно независимые собствен- ные функции (с асимптотиками е — '"', ср. (5.18)), кратность вырожд.' Равна 2. В слУчае, когда движение инфинитно в однУ стоРонэ, а в с гую С'(х) — со, спектр остается непрерывным, но вырождения не .'. Определенные свойства симметрии потенциалыюй эперпщ ': могУт оолегчить Разыскание и классификацию стационарных сосс ний 1подробнее об этом см в лекции 13).
Пусть потенциал О(у) -'-, риантен при пространственной инверсии: Тсяда при замене й на — и уравнение Шрединсера не меняется, зна' если 1д(г) описывает стационарное состояния с энергией Е, то ф(': также отвечает стационарному состоянию с той же энергией. Еслвьс состояние не вырождено, функции ф(г) и (р( — «) могут отлич " лишь постоянным множителем: уэ( — г) = сор (г). Отсюда, делая сще-," отражснис координат, получим ф(г) = пзф(г), следовательно, ат " а = -ь 1. Поэтому при четном потенциале (6.10) волновые фун."'" невыро>кденных состояний обладают определенной четносзью. же состояние вырождено, т.
е. ф(й) и ~Р(-г) линейно независимы;:" любые их линейные комбинации также описыва1от стационарные"' стояния. Всегда можно составить четную и нечетную супсрпоз 1Р(г) -~- ф( — и). Итак, при выполнении условия (6.7) решения ураян ' Шредингера можно классифицировать по четности. Точно так же можно рассмотреть операцию комплексного с жения в стационарном уравнении 1Дредингера.
В силу веществен "" энергии и потенциала функция 1р удовлетворяет тому же урвал что и уь Для невырождснных состояний они могут отличаться т постоянным множителем; выбором фазы их можно сделать ве асиными. Прн наличии вырождения всегда моясно выбрать всщс ные суперпозиции вырожденных волновых функций. Зтн рсзуяв, не относятся к движению в магнитном поле, которое нельзя опя„,, потенциалом (см. лекцию 13). Как мы вскоре увидим, операция лексного сопряжения связана с обращением времени. Стациона),, потенциал при этом нс изменяется, в зо время как магнитное полК,, няется на противоположное. ПеРейдем тепеРь к полномУ УРавнению ШРсдньп еРа (4 24), ОП к лающему эволюцшо во времени.
Для стационарных состояний зав, мость от времени является чисто гармонической (5.1). В силу ве,, венногтги энерп1и (6.4) среднее значение любой физической вели не зависящей явно от времени, в стационарном состоянии оказы .-,, постоянным (это и есть свойство стационарности): (а) =- ~ Ж Чт"1.)Чз = ~ дт ~'ев 'Де Я ~ = ~ стт ~'Д ~с :,:,.';:;; Завива 6-К 11оказать квавтовзио и~кариму иирваиа: в стационарных состояниях ',:Зысаратиого сосктра (К) = — (к г20) и — — (к - Ц. 1 2 2 Аналогично (6.11) легко найти временную зависимость произволь:;:~:,лоте матричного элемента (4.22), взятого между стационарными со„';:СГряииями.
Действительно, если (7 не содержит явно времени, то (л ) Д ! ьч), = ) Ж Ч~и'ДЧ',„= (6.14) =3 1 в вР.0 ": Ф =е " ) УтФ:0уэ -""-(ио'-лк даст и явное решение уравнений (4.30)). Мы видим, что мат-';-;.,каачвые элементы между стационарными состояниями суть чисто гар;М~оническне функции, осциллирующне с частотами сосок '!"'11)1 имвлитуд ц ш й, = (л ~0 ~ Ф = о = 3 с1т 1к'(э ики ::-"-::Рас ассьюгрим теперь произвольное нестационар редиш ера Ч'(с), «), где д — совокупность пе :;;:,'::!;:: "аления. Запишем его в виде фурье-разложен Чз(7, 1) = х Р.Ю и (6.
14') нос регнение уравременных данного ия по времени "4 - э,оь1 сзучае легко из уравнений движения (4 30') получить — "(О) =0, (6, 12) ,,дспзно (6.11). (При этом нужно воспользоваться эрмитоь~:;,.6,'.:-' . (1 которая эквивалентна вещесз еннос. Энергетического ;.'.,',)я1етьш ',-',:~))акбара ) ,, на1яюсть (6.12) средних значении приводит к важным фи- им следствиям. Так, теоремы Эренфеста (4.39), (4.40) сразу да~ь,.
в стационарных состояниях дискретного спектра средние зна- л~пульса н силы равны нулю. Подчеркнем, что речь идет лишь врезном спектре, так как в доказательстве использовалось свойст;.;~> зрмшовости Й, сформулированное с помощью теоремы Грина "..(427*) лиль для функций, исчезакяцих на бесконечности. В непрерыв.
й(кз спексре, ргкзумеется, возможны стационарные состояния с (р) ф 0 :=:~';.(Рз) ~ 0 (за счет этого частица и уходит на бесконечность) лекции по кВАнтовои мехАнике волновым рье-гармо- (6.15). ее значение (6.25') где ф„(д) — коэффициенты разлвкения, а ~ обозна «ает сумм интеграл по фурье-гармоникам. Подставим разложение (6.16) а, ь кение Брредингср. Е'. З«1«(««, «) х-~ «й« — — — =,э.««ш„ф„(«))е ' = т.е "'Й 9„(«2) д« (мы считаем, что Н не зависит явно от времени). Поскольку (61."'":, до~~~о в~полня~~си для всех ~~манто~ «зремени, м~ж~о прирав«":-", коэффициенты при всех гармониках Й «)«„(«)) = ьвЯ,(д) (6:1~~ Итак, коэффициенты ф„(«2) разложения (6.16) являются реп«ени стационарного уравнения П1редингера (5.2), отвечающими энерг """' Ев Делп.
Будем считать, что стационарные волновые функции 11«„. ««орь«и~";;-' наны согласно вглражению 3' й «р.И) Ф„И) = 6.„, (6«1, где для случая ненормируемых состояний правая часть обращается,в~ф л = л' в бесконечность, и мы будем ее понимать в смысле «)-функ«(1(11' д(«« — л') (эти состоят«ня ««ринадлежат нег«рерывному спектру и и««даял сы л состояния менгпотся непрерывно; например, в качестве ««нд, можно взять саму энергию Е„). Тогда коэффициенты ф„в (6.16) от ются от нормированных волновых функций (6.19) постоянн«ями зяб,'" жителями (вообще говоря„комплексными) ' $ )д„(Ч) = с.Р.М (6. «еи '.ф Ч«(«1, «) = ~, с, е л ~,(ф.
(6'4г., ~3 е Формула (6.21) дает общее решение нестационарного уравне, Шредингера. Выбор конкретного решения для данной физичес««ой ьзвэ туации осуществляется наложением начального условия. ( о«з« ':,. квантовому принципу причинности (см. лекцию 1), задание волне .';;,, функции Ч«(«1„0) ~~~й-ю начальный момент « =. О полное«ью опре~) лает дальнейшую эволюцию системы. Из (6.21) имеем Чзй, 0) = Х ' «)«(«)). (6. в Так как начальная волновая функция может быть любой, (6.22) озиа что любая функция переменных д может быль разложена (предста Лекцив Е ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА тэ -) по стационарным решениям уравнения Шредингера.
Из оз цией) и э2) мы заключаем, что стационарные волновые функции ';:~61"~),,, полную ортонормированную систему функции .-';,:''лт41«) эф««„««пие««ть«с„суперпозиции (6.21) легко находятся: умножая «, 22) на ф„',(д), интегрируя по «)т и пользуясь (6.19), получим с = 3 «1т 11«' (««)Ч«(т, О). (623) (6 21) среднее значение любого оператора Д (не зависящего ~,:«::О',.)гласно ( сю« явно) равно .* Ю'йР «Е, -л 1« Ю) --3 )УЧ'"й,«)аЧ(ц„«)=Х...,„.;. -'--'- ~ 4) 4': ны матричные элементы (6.14') по стационарным ;='::где введень« ~; -З нациям Мь«видим, что величина («„„фактически дает фу ": Рвяу средне«о значения (Я«„отвечающую частоте перехода ш Выбирая в качестве Д гамильтониан Й, найдем среди .
элер«тп«системы (оно, конечно, не зависит от времени). К,.т =,) (т1рл ОЧе = Ет.) «тФп рт = ЕРАли, (6.25) Сравнивая (6.25') с (4.1) и (4.3), мы видим, что величины ~с,„~з ' '$ж~т вероятности обнаружения у системы энергии Е (исходное со' ' 'э1вллие нестационарно и не имеет определенной энергии„хогя среднее ,', Яе«,зиаче««««е постоянно). Как следует из (6.21), задание амплитуд с Г!Однссгью определяет состояние системы, так как это эквивалентно '",~~;"~4ни«о волновой функции Ч'(«). Поэтому набор величин е естествен.'; '«1ю назвать волновой функцией в энергетическом представлении .".:;„-, Отсутствие явной зависимости Х«от «приводит к тому, что с тече- „.':.'-~'~~~~ времени меп«потея лишь фазовые соотношения между отдельны"!.';:~«(всостааляющими суперпозиции (6 21) а интенсивности ! с )з гармо:.' -~й~д(ве1юят««ости разных значений энергии) остаются постоянными —— " ~акими они были при приготовлении начального пакета (622).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
