1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 16
Текст из файла (страница 16)
9) 41 Д111 'гочистстз вьщислепия предзкспоненциа ","'йеЪ-'конечно, Решение уравнения Шрединг .!' Я4(злых ширил основная зависимость энер ";"."~1зхождсци я 7 т;,;,.:;:,:::::::.:~4итературас (4, ч 26-30; 15; 17; 32 в, гл. 3; 37, стц 3-6; 46, гл. 2-4; !;:-:::!'~ гл. 3) ! я Лекции 7.
КБАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Шредингера)~)~'„' частицы а некотором потенциале Цх) (рис. 7.1). Согласно резуааьза(йь, приведенным в лекции 6, волновые функции с знергией в областях(: ', и (Ьс) будут иметь принципиально различный характер. Область, с,"' ннченная то аыии поеоролаа а и аа, представляет собой область кьЛая) * .В. * иа=оаьа.=хл учя --.
н -.;-,а*а=я сс-лай ааах) обращается в нуль, н частица оаразиа)4))й. бы от барьера. В квантовой механике а~а~! вероятность проникновения частнаа за ' ',.' ':за;,,:, ку поворота и, при конечной ширине ера (аас), туннельного выхода плрузки.' достаточно широкого барьера ве)юя туннельного перехода будет мала (з '"" "с) ненциально — см. (5.25')). Позтому с а „,: деленной степенька точности можно' ' ' зать, что движение частицы в основном ...„,. средоточено в классической области (а1а). Мы видели нз теорем Зренфеста (лекция 4), по в кааассагн',и доступной области движение в плавно меняющемся потсааааяальа)ан поле близко к ньютоновскому.
Есгественно ожидать, что для ааакогаФ тенциала должно сУществовать математическое пРиближенис, дак)ас1када( предельный переход от уравнения Шредингера к результатам кя як; ческой динамики и в то же время позволяющее учесть основньае ь,.;:;:: голью зффекты. Это п)анблнжепис называется капзикзпсся а .;:.',.й (1926; метод И'К — Бентааеля, Крамерса, Бриллузааа).
В классическом случае стационарная плотааость вероятности рл т хождения частицы в окрестности точки х (ср. (5.14')) аароаааарааиоаав;. ( времени прохожления зтого участка: солка солЯ (Ф,, сам = р оах = сопка М, р(х) =— (сах l сна) о(х) Лекция т КНАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ , "*'':: ' „сс ' скоро ь ( ) = — = 1 — — (Š— (7(х)) ,о (х) „жемос решение носит !"."'- плспюсть вероятности ~ 9 .,'!,',::.;,""'!;,'зтсм) вошювая функция дол „ся формулой типа нижес Фйряж квазиклассический характер, то кван- (х) )а должна совпадать с р (х) из (7.1).
жна в квазиклассическои области вы- ледующей: (7.3) х Ча(х,г)= — а Аехр~-~р(х)пх + ,~~(х) ~ Х + В ехр — ~ )з (х) с~х ехр — — Ег ь::;П)Е-два знака пеРсд неизвестной фазой Ь(х) отвечают волнам, бегУщим ;;явх-разньах направлениях оси х. Отметим, что и р в (7.1), и аР в (7,3) ';,;": яаааацакатся в бесконечность в точке поворота„где р(х) — 0 Точное :;.',:саыатсвое решение не может иметь такой особенности; тем не менее -,-,'- аяьатслъзовааане приближенной волновой функции (7.3) вполне законно, -, "йаыкак корневая особенность является интегрируемой, и, следователь,:- ащ,Окрестность точки поворота а на самом деле не дает существешюго 'х,',.яка)ада в интегРал 3г ) аР(х) (~ Их. я Само понятие классического импульса р(х) сохраняет еще смысл --':,4 квантовой теории в том случае, если он меняется досгаточно плавно ;7 м.:йго можно определить, не прибегая к слишком сильной локализации : часика а, С той же оговоркой можно использовать понятия переменной 3;ааааааы волны гс(х) = Ьр(х) и волнового вектора ас(х) = Угс(х).
Тогда -':;.'Масленно фазы волны де Бройля на длине с(х есть й(х) пах, в то время ~для ренаения в виде (7.3) зто изменение равно -а- са57йа. Сопоставляя ,,'зак два выражения, видим, что квазикласспческая фаза Ь(х) волновой :~;,'.Ьакцааи удовлетворяет уравнению "- гас = й)с Их = р (х) с7х, т. е х 5'(х) = ь ~ р (х) сах. (7.4) '.;;„"-:зМК, об ° обадее квазиклассическое решение в классически доступной обгкалжно иметь вид Ке 522А = А — (525)2 — )(2(г) Уравнение (7.7) может быть записано в виде 57(А2Ь2Ь) = О. непрерывности (5.4), 11 о~л"- (7.7 ) ЛОлучасм ((' (72х Б силу (4.14) оно совпадает с уравнением мерном случае (Ь = Ь(х), (2Ь!(7х = — Ь') из пек14ии пО кВАнз ОНОЙ мехАнике Покажем теперь, что уравнение Шредингера допускает в „ ленных условиях решение вида (7.5).
По ст. Одставим в уравнение и- СКВСТ В Ол ы дингера (5.3) волновую функцию в виде„аналогичном (4.13)( ( 122(г) = А(г)ед "я Разделяя в получившемся уравнении вещественные и мнимые ПОЛУЧИМ: НИЫС И МНИМЬЛ' члс'"" Гохц 12 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ Г(иигпижЕНИЕ ВЗ (О:::;";. ЕРСМС( с,сппому ноказател1О преломления среды, который ведет -:;;;;от;(ривленп .,".~$~~~:.. 1гй1.(раекторйи свстОвого луча. Прй налйчий мссг бь(с(рого ;-,~$Ф, „показателя преломления свет начинает отражаться от этих '-я ":- Т „. (-„и квантовыи волновои пакет будет двигаться с классичес+1.=-.;Со Так жс (,„-тью вдоль КРйволййеййоЙ йьютойовскоЙ Т1заектоййй, еслй я„,(я й на кож1Рых менаетса А(х), велики по сРавпению с самой ..'~~~- 7 П противном слу'1ае в местах быстрого изменения или раз- .5:;,,;-( " зсппиаза возникает отраженная волна, В се интерференция ;;.-':,1 „,В(а;плюй ведет к су(цествснно квантовым эффектам.
Таким квантовая механика дает классические результаты, когда '-."'~!''~д. как а (7.12). Квазиклассическая область — зто фактн"1ески „"~,' -'сть (сомстрйческой оптики для волн де Бройля. Отметим„что в ре- ,~ ": ' 1яи (7 5) (2тброшенные члены нмекп; согласно (7.11) и (7.12), второй ,д,'Ефкдок малости по параметру квазиклассичности ~;:::-'.-,:::::::. Требование малости изменения дус = -- дх длины волны 7((х) = 1!:::,':.!:-'"-й(р(х) на расстоянии дх — )» можно записать еще в виде Предположим„что в (7.Б) левая часть мала по сравнению с лз членов правой части.
1огда (для одномерной задачи) Ьо1 Х (7.6) имеет е левой час соо.1 < ~! 2 Р соой( 1 соод( Пусть й характерный размер неоднород тельно, н вели(ин 72(х), )((х), А(х), Тогда нерва 1( СООТНОШЕИИ1О 2( !1(2()~ (22202 ности поля енство (7.1 (7,1, 4.44) эквивалентно:;:, тона. подойти с то'1 к и зре: (1 ина волны К(2:) аиазс что совпадает с найденным ранее условием ( квантовых теорем Зрснфеста и уравнений Пью К условиям квазиклассичности (7.12) можно ОптическОЙ анал01'ии. Медленно мсняк1щаяся д21 Используя (7.9) и (7.10), находим, что решение квазиклассическую форму (7 5). Пренебрежени дет оправданным, если (7,'1 ожидаек~~', (ью (7.6),;,,$1 (7;12.
1) прйв 1д(2 2 дх 1 д 21е - г(1 ~ х оценок (7.12) (7 12')*(7 12 ) е является всегда, когда й мо ссйческим действйем йа дл орота (р =- О, Е = (!) движен бой потенциал без скачков ( 2), так что мы должны получ сханике. Однако этсч переход функция 122 не имеет классич л — О. К определенному пред ции, а м при этом чрезвьзчай1 (ым приемом отыскания ква фазы по степеням л. кнО искать волнову1О функцию след)"ст, чтО квазикласжно считать малым по иие неоднородности й. ие не квазиклассично. л' и О) будет удовлетвоить иредедьнып переход происходит свособраз еского аналога и неайаелу (7.10) стремится фа1о оыстро осциллируст.
нтОвых поправОк явля- я '' '.,1'..":,",;,Я(й(етавляя р = 22л '-!"':*:~с,'",~'д(я дГ( ' Я ) „-',:. В, ЗКВНВ2121СНТНЫ '.! Сянйим движени ;с-ЯФвдсиик1 с кла (й.,;3$двзй тОчск ПОВ Прйй- Олю ~: йр)ПВ условий) (7.1 ~-;;'.„~~~сичсской м ~;:~Т.:сама волновая ,'„-',.'!,':;.)Ч(ВЧВВ ПО й При ;:.':!:;;ЗВ1яолновой функ "ъ( зг(2му рсгуляр1 , „'-,:"" Разложение :'.!;::- ДЛЯ Э2ПЯО МО2 к(е ~ — — . «1.
(7.12") 2 ~Š— (21 лекции по квантовой мехьнике где определение фазы отличается от (7,6) лишним слагаем, й а мым -' й(у Фазу (7.13) представим степенным рядом я2 Ь = Ьв + АЬ~ + — 52 +... 2 (7;1; Подставляя (7.13), (7.14) в уравнение Шредингера и приравнивая ' ны при одинаковых степенях Л, находим Ь,'Ь,' — '- Ь,", = О, 2 ) 2 х ЬО'+ (7 — Е= О, Ь'д = — Р, Ьд = —.) Р(х) ух; (7,1'"'х Ь1 —— — 1п —, ехх = —; (7 ф' дБД ( лф'; м д(2 У т~ 2рз дх яр~ 1д / Результать1 (7.15) и (7.16) совпадают с (7.5).
Величина Ь~ дает аьс)(~~'; литуду (7.9), а в правой части выражения для 52 (7.17) оба члена одна" ' порядка, и при выполнении неравенства (7.12") ЙЬ2 «1. В самом дадф" ряд (7.14) является лишь асимптотическим, т. е. для любого Ю сувд);, вует столь малое л, для которого разнос~ь Ь вЂ”,~,(Л"Й 1)б„сколь ул))(;г х та но мала, однако при фиксированном реальном значении й и болылих)е) эта разносп растет. При выполнении неравенств (7Л2) первые чя,.".
ряда дают хорошее приближение„а допущенная ошибка -- порай(%, величины старшего из отброшенных членов. Волновой пакет, собранный из решений типа (7.5) с олннакоВЙМ„'::, направлением распространения, Ч'(х, г) = ~ — —.- 7(Š— Ев) ехр ~-' Ь(х; Е) — 2 Е() (7'хв-'.г) Š— еяхр я ь / обладает уже по существу классическими свойствами. Дейсгвительн~., фаза составляющих пакета Е(х, О Е) = Ь(х; Е) — Е( (7, 1$4"' есть не что иное, как классическое действие для частицы с энергие"'-~' лэ = — Е, — = — = ч= р (х) = ч- Ьл(Š— П(х)), .4( ' в' ГдХЧЯЯт Квяз Клясс чесхое приедиж Ь' у;ювлстворяет уравнению Гамильтона - Якоби (32а, () 47) ,2 — — = — (--) + П(х).
дЯ ) 'дБ (7.20') д~ 2т дх „ьсга (7.13) расположен там, гле компоненты с разными энер- ~;'ф Йф4й)Р пак ;-:=.-,::,,„... ~-~ ду дх — '- = — — (= О. (7.21) дЕ дд ',.',,:,;.,"х-",ода мы видим, что центр пакета лвижется в точности по класси.;:„ескому закону (квантовые флуктуации и расплывание пакета содерйагхся в выс1лих членах разложения (7 14)) г= -- '- — - 3 г(х,/2е(Š— П) = 3 дЕ дЕ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
