1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(5.4) :-:рйект Мы знаем, что многие квантовые снстемга обладают дискретным ': .. ктром 1тюрешенных энергий Е. Как видно в модели Бора (1.27), Ование энергии возникает вследствие наложения граничных - условий "и и обеспечивает стационарное существование стоячих волн ' "заэнзь, ту в уравнении (5.3) Е следует рассматривать как параметр, дое значения которого должны получиться из рспгеиия (5.3) совааСПГМЫе О с т1зебуемгями граничными условиями.
Фактически мы имеем а ~обственные значения Е: сопиюно (5.2) стационарное состоя~ьзь собслгиеггггсцг функция гамильтопиана Й„отвечаюгцая собст- МИ, ГДЕ Потсттпная ~" и а координаты х, так гго новая нение ф" + ттг(х) гр = О асиному значению Е. Очевидно, что в состоянии с определентл„л чением энергии Е ее среднее значение тоже равно Е: (Й) = ) й тр'Й ч' = е ) ю тр'р = е. Ограничимся пОка ОДИОме(тными задача функция ф зависят лишь от одной т(1редингера (5.3) принимает вид где переменный „волновой вектор" )т (х) = à — (Š— С'(х)) '1' Яг При этом из (5.4) следует посптояпсптао плотвоспги полтона (5'' Щгв цами (5.8).
являтОтся стоячие водим ттлеттт~ЫЬтн Котт Р „(5 10) ~(х) = А н(п ф х + а), (5.8) определяют фазу а = О и допустимые значе- ЛТХг 2 2 (п = 1„2, ... ); Еа = — —" = ~ — „- пг 2ат 2гааг м',мируя волковую Функцию (5.11) в соответствии с (3.2), найдем а а ~ 212 ) фа(х) 12 = ~ А„12 3 ах н(пг ( — х~ = ~ А 2 Ух (5 "' ~тх Простсйнтей моделью связаннот о состояния частицы в атоме, нтск куле илн ядре является прямоугольная яма с бесконечно высо стенками (рис.
5Л): ~0, 0<х<а, У'х) = ( а, х<О н х>а. Иаттичие резкого края (разрывность ттотенцнала) явлнетсн, кон идеализацией — в применении к реальным системам это озна .„... очень быстрое изменение потенциала на длине волны частицы (Е « случай обратный квазиклассическому (4.44)).
Физически ясно„ что плотность вероятности ТР должна бытьят,*. прерывной функцией координат и времени. В данном случае босхом~"' ттГхт но большие силы, лействуюитне на грат,".,.„- "1 1 ямы (х = 0 н х =- а), запретцают выход 'тас' „:,- наружу, т.
е, вне ямы ф = О. Тогда треб непрерывности приводит к граничным услов,, тР(О) = О, ~(а) = О. Внутри нмы волновой вектор (5.7) постоянств".' б а х 22ал (5;, та дт :;: 13бнтая фаза волновой функции остается произвольной н не войдет в '':'.~щзическис величины (поэтому, в частности, значения и < О в опреЛаааении волнового вектора ттп (5.12) отвечают тем же состояниям, что ив > О), а нормировочная константа А, может быть выбрана чисто ве,-:::аяественной и не зависящей от и: (5. 13) .:"' Таким образом, связанные состояния частицы образуют злесь дис,:РРетиьтй спектр (5.12), характеризуемый одним квантовым числом п.
; ОаУлтестветттто, по Уже в основном состоннии (п — 1, так как и = 0 ПРи; аале бы к уг = — О) энергии отлична От нуля ягнг Е "1 2аго а *Рнергия покоя" является прямым следствием соопюшения неопре:1Ра~ттност~й, жанни ее ~~впала~ цжкой (326). 0тноси~еж~же :1)Де~таяние межлУ соседними УРовнлми (Е„+, — Еа)тЕЯ Убывает с Рост" (ттоскольку пропорционально и '), т. е, спектр приближается к не- ,'~)(терьтвттому. Легко убедиться, что, например, длн электрона в сосуде ;:мжахроскоттических размеров уже при п — 1 расстояние между уровнями ттакт отто мало по сравненнто с тепловой энергией 1тТ даже при сверхт мпера урах.
Поэтому, как упоминалось в ленц н 3, п. 2, посту"""л~~кттх т . ь"ое движение атомов или молекул в ~азах всегда квазикласенчно "'я~ 'о"ьте Функции ф„статтиоттарньтх состояний (5.13) осциллиру,"„; ' Ри'ем число узлов внутри ямы равно и — 1. Хотя силы действуют лекции по квлнтовои мехлнике лр (лГ ' а) Г(И класс (ага) а ЬЭГ'+ Ь,У»Г = О г ° Д,= ~ — — '-, .Г(0, Ьлг: йг ---,1'-"-' (Š— ('о), л > О г )1»г (5.1Я') дас.
5.7 па частицу лишь на границах, внутри есть области с разнои в„ ностыо обнаружения частицы Г(л~„= Ра(л) ГГХ = ) Л»а(л) 1г ГГХ =- — з(Глг — ' х~ Г(х а л а Однако Гй»и боя~шик а уже на манон длине (л <~- л) волновая Грул фа(х) имеет мнОГО )злов, так ЧТО ВСРОятнОсть (5.14), Усреднсш»щ "-' этому участку, не зависГГт от того, в каком месте ямы выбран ГГнгс -"". ус)»сднения: — г . »Г'лл ') Г Лл СГГа„= — Гйпг 1 —. Х71 Гбх = = — дх = — ' (5.14': а а а г а Усредненная вероятность (5.14') не зависит от л н совпадаег с в~' ятностыо обна1»ужения на данном у шсгке клас~ической час~иГГЬГ вершакллей последовательньГе отражения от стенок через ин»ера "" ВРСМСНИ Г = -": (5 14Г Гаким Образом, и с этой точки зрения при больших л мы получ' классичсскис 1»сзультаты (лпллцлю сооллатллсглвпя, см лскцюо !) Пусть теперь потенциал (Г не обращается в бесконечность, а ф.;".
пытываст скачок на конечнуло величину ( а (потенциальный барГйй рис. 5.2). Тини Гный пример подобной сгггуации движение электрона У4$~ верхности металла, когда Гьо обе стороньь Границы электрон движ по*пи свободно, а высота барьера равна работе выхода. Фуяция Й:„'! (5.7), входящая в ураигеннс Шредшп»зр~ (5.6), терпит разрыв при х ",'.Ка н равна Здесь возникаГОТ два НРинГ»ипиаэл НО разных случая (см. 1»ис. 5.2) ' а О Е = Е > (л' классическая част» ',,.
двигаясь слсВВ, прошла бы над Оа Г»а ром, уменыпив свою кинетиГес ьл »лерг»по величиной КГ =. Еа прл Г .:4, ло значешгя ЕГà — — Е, — (7с В тр время при Е = Еь < (7с клл~слнчс »нерГ пн пе хватило бы для ГГреоГГОЛС~.;;с СМ,.Ч Пакциа В. ГГРООТЕЙШИЕ КВАНТОВЫЕ ЗАДАЧИ Гл» и часп1ца оГразилась бы ог него. В этом случае величина йг в $,'," ' 5) ьпгима ГГг — — 1»Г, »Г = —" ((/с — Еь) (5.
15') рсГлсллия квантовои задачи нужно к уравнению Шредингера щему разГ»ЬГИ Вид В Областях 7 н 7Е добавит» ~ро~~ требо-ааняя не ' я непрерывности Ф уело~не сшивки решений 7 и П при х = 0 Из $1аГ~',6) ~ил~о по во всех точках, где ГГ(х) не обращается в бесконечность (Г(Л) И са), ф"(Х) ТВКЖГ: КОНСЧЛВ. ПО ЭТО ОЗНВЧВЕТ, ГТО ф(Х) НС МО„ТсрГлеГт, разрывов (иначе, проинтегрировав обе части (5.6) по мало- ;Г-', )„Гастку„иглкжающему точку Разрыва, и, воспользовашпись непре„"";~)ЕГВ(нос»ЬГл~ ф, мы Г!О»Гучипи бьГ ГГРОтиворслГис — в этГ»й толГКС уравие- ~';,";~~~ не бьшо бы вьпюлнено). Таким образом, условия сшивки таковы: ~И0) = ФГГ(0), МО) = МО) (5. 16) ';::ВСВСМНГГая определение (4.10), видим, что (5.16) обеспечивает сохра: ве)ие тока (5.4') В.облаглн 7 уравнение Шредингера (5.6) одинаково для обоих слу- ,:.,Г)ВЕВ (С Еа и ЕМ ДаЛЕЕ ПРОСТО а И (Л); (5.1 7) ХОРЛГСС Рел:сине (5.17) содержит две произвольных константы. Г)Л вЂ” 1 Сай л .1 Л -Л~ к (5.18) .;;,':Г-'с- ВГьтяется суперпозицисй двух волн, бегущих В противоположных равлснГГях ВЛОль Оси х (Ггрн нашем ВыбОрс Времсннои зависимости ' ( »1),к(1 ешь амплитуда волны, распространглощейся вправо, а ГХ1— .;:„ВЛЕ'во .
::к(5 )й, ево). ( ООГветственно плотность потока, отвечаклцего решению - е) яалясГся согласно (4.15) разностью двух встречных потоков 7Р»= "' (~А, 1г 1Д, Р) =;(Г1 )тт (5. 19) ~6елерш аГГалоги „„, В Об»гасти 77 Грл + ГГТФГГ = О ЧГà — »Ггтрд = О, й»ГГ = АХСГ1»л + Е сеилл »7, — к е-хк 1 77 хл у ~ (1Аг 1г — 1Е Р) 7РГГ=-2 Г 1ГЛ(Е Г»). пвкции па квднтавои мвхдникв В обоих случаях общее реп(ение (5.18), (5.(й') содержв(т 4 „: вя"* ввозных коэффициента. Для полного их определения недосгато„:-. двух соотношений (5.16) и нужны евце физические условия, кон зирующие реальнуво постановку задачи.
Пусть, например, нсгсч,'п ЧаетИЦ НаХОДИтСЯ ПРИ Х вЂ” — СС. ТОГДа ПаДаЮЩИЙ ПОТОК внвн, = ((11 но задать произвольно (например, выбор Лв —. 1 от.нечаст (',ад -- ь е н ной пло и а ' й О ).Вобв " (кром пнда,о 4 есть еще отраженная волна (с,р — — ~(11. Однако в области В в слнч~, вчгн такой НОсгановке опыта неозкуда ~зяться обратной волне, пввз .":- Вг — — О, /вп) = О, ((Л) = внр „. ПОТОК В Пращсдщсй ВОЛНЕ.
ОС(авн '" ся даа коэффициента Вв, Л2 Оввределявотся нз условнй сц1ивкн Ав А2 Вв = — — Лв, .42 =- — — Лв. (5 Ав + А» Ав + Аг Физически наглядными вели шнами являвотся казгА»(А»пв(нв павы ~~-;" ражспввл и прохозн дспня В== ~— = (52Ен /н»к 1 Ав 1 АВ Ь А» унссн 12 (А(2 (г 4АВА' 1„, Ав (А, 'г (Ав + Аг)г ,",е В силу сохранения тока (5.4') В + Т = 1. Таким образом, мьв получй((в) чисто квантовый результат — надбадьсрпас апвравсслас часта,.
(Аналогичной формулой дастся коэффициент отражения злектрсь нитной волны на границе двух прозрачных сред с разнымн показа,. Ляын ПрЕЛОМЛЕНИя: В = ((Пв — 112)1(111 + Пг))2.) ПОСКОЛЬКУ В (5 21) В~в висит лишь от ( Ав — Аг ), то такая же доля интенсивности волвьы Отй~: зится н при падении ее справа - например, нз вакуума на поверки(в(Я(АЯ( мс галла. В случае ь решение (5.11(') дает суперпозвщню затухаощей и 1(а~ гущей:жспонснт. Плотность вероятности ввахождения частицы не:-,:.: жет беспредельно возрастать вдали от начала барьера; поэтомУ еле положить П вЂ” О. При этом нз (5.19)у(лв — О, а в силу сохранения тпкв~д, )( ' — О, т Е.
1»мд =2п„р, в(Л() -. 1В(( Здеек МЫ ПОЛуЧаЕМ аиадщ Паг ., плвтрсшвсао апвражвввнвтв. Амплитуды Вв н С' получаются ив Вв " случая а заменой Аг па вж Волновая функция фл — — Се "' затухает. с вероятность найти частицу в классически запрен(снной обласвн ВЕ;и заметна на расстоянии порядка айбшвы праннкпансаня (5,2. к,„Ь»1 ٠— Е) 1ую ши(гиуравнення У и (5.18'), рь не пропри (2 ~ О чаем нену- рошедшуво Таким образом, частица может „нротуннелировать" через класси»»венк(в'запрсвв(еннуво подбарьерную область Х7.
1(стыре условия непре„" .рывности (5. 16) для ы и Ну в точках х: О н х =- а позволяют определить .'= .1(еизаесгпв,ве козффициентьв В„С. П, с' Адан вн 5 1. 1снмвь урннввснввс Н(рсдвппсрн внж Гвнрьсрн нн рвк 5 3 н дсннзвпь " ,!ввп дввгфв(ввн в»все в вврсхсждсннн ранен а Аг2 (5.25) 1А( ( 4Авк + (Ав + нг) дн (кп) )ри м~лых гса ск 1 вслиьчща Т немногим меныле единицы (что ! —, А»)ляетс ляется влвтввчсскв(м аналовом этого случая?) 1)раве('11 вески впгтсрссеп случай дтв ж 1, когда (5.25) переходит в т ... — 2кп 16Авгнг (5. 25') (Ав + кг)2 ':,::,в(ОРа»анвввс в" с то'внын результат (5.25) с оценкой, приведе(щой в лекции 3, 'унв'.слирование оценивалось как последователыюсть внртуНЬвд псч, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
