1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Выдел,;:; елявз (как в опыте Штерпа -. Герлаха) произвольиое паправлепие 2 В про,::'; рапстве и измерлл проекцию Х,-, можпо получить лишь 21+ 1 зннче'1 ! ' проекции от — Й до + Й. Поскольку максимальная проекция мом' вевчча6 7 Х! 121(1+ 1) 22«1 Г. Таким образОМ, с)эедпее зиа'1епие длипы Вектора момеита равпо «1 и всегда больше макСРРыю!ьв!«21! проекции мого вектора на любое иаправ23епие (рис. 3.6) ПолучевнвьРН сграпв!ь133 разут!Ьтаг следу«т 3 йичерпреч'ировать в духе соотношения пе- 1 / определсвшостей. Если бы сушествовало со- ' СтОРПШЕ С ОДПОВРЕМЕИПО тО ПРО ЗалаННЫМИ дзвлюй вект ра Х и пр в бирая это направление за ось квантования, мы, коне шо, получили бы проекцию, равную -'-' в«висим!НРРывому значению и совпадаюшую Риг, 3.6 .
с э(1.2 Пи самом деле такого состониил не суд(есРВуег. П«!этому при фиксированном злачеппп ь" = 621 (1+ 1) поль- ::,.-: за точно определить паправлеиие Х. в прострапстве. Хотл проекция Х.т можа»'ме1ь вполпе определенное значение РЛХР, проекции Х,„и Х„ В Этом состоянии оказывшотся полиостью иеопределепиыми (а с ии М' н азимутальиый у!ол уз). Классической впало!.ией этого является и с Рсце«сия Вектора момента ах!круг Оси (Хс ье соп51, О = сольц Хк и Х т ие ол о"Ределепы а их средине зпачеппл Х,. = Х., =- 0 Х.
= Х = — (Х вЂ” — 1 -Хт)>Ц! 3д«.с, 'т':"д врое д«сь мы имеем иону!о пару дополнительных перемеппых: угол (О "лекцию момеита Х.г, котоРые пе могУТ одповРемепно иметь опРе(деленв,11 "пьРх чиаче13ий. Так как «р и Хсе в классической механике могуч РР7231!.+ 1! м лл-л Лекции 3 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕЦЕПЕННОСТЕЙ 45 16 естествеппо было бы считать, что длина Вектора момента ~РРВ Го 2 )й! ОЛПЛКО ЭТО ПРИВЕЛО бЫ К яВНОМу ПРОТИВОРЕЧИЮ Лей«23-вв!телы!О„пусть в анализируемом пучке частиц лет Никакого ИЛ,Рго иаправлеиил.
Тогда, прикладывал штерн-герлаховские по ;ЛЯ«ЛЕДЕ! зпьвми ориептациями, мы с одипаковои вероятностью получим Ради "и «3 " я про ии мев а. Средее а вча момента Хзь по большому числу измерений в силу изотропии (и (Е33)) Х2, Х2 3. Х2 — 3Х2 — 3612ш2 — 13 ч!2, ~33~ 2 — 3дт 662 :;'-'ВЬРчпсляд сумму квадратов целых чисел„ находим играть роль обобщенной координаты и сопряжеш«ого ей обоб«««е««««о'"-.',",'. импульса, то в духе (3.16) можно сформулировать гипотезу о том, для любых обобщенных координат и импульсов классичсск ='"-" механню«с««раведлив««соотншлшпге неон)х:деланностей Вида Л«)„.
ЛРВ - Л. (343)-", При зтом координаты могут меняться как в бесконечных пределах (х)) так и в конечных (р). Если формально устремить квант действия Й к пулю, то кван«овце', аффекты исчезают. Распль«ва««ие паке«он (3.25) прекращается, сооп«;>';"' шепие неопределенностей (3.43) не накладывает больше огра««иче««вйг):.: на одиовременв«ую измеримость величин. для момента гвредель««ыая переход к классической механике происходит сложнее: нужно ««ерейтй),- ' к большим значениям момента (1 -+ «««), тогда исчезает ««рс««ессщ, (т«Х.~ - А) =- (Х«)~, ), а затем положить л -ь (), так чтобь«й) оставю«о«~ конечным. Электроиов с макрос«а««.ическим значением спина ««е су,".., ществует, позтому вектор спина (1.24) я = В2, имеющий )милу.
'.4 = ~~аз — ~~- 1~~ = '-- йт, Мь«видим„что вся квантовая теория базируется на сущсст««овал«В«;::::- дополнительных величин н дополнительных классов зкс««ериме«гггя«)11,,:. Э о каь б проекции «рооб зс а . раз и* фи. ° - айаг ' ции (в каком-то смысле аналогично различным системам отсчета в те:",:,:;; ории от сительности). так роисходнт познание рирод с «Очя)):,,:; зрения принципа дополнительности Н.
Бора (1928), имею«цего б«жФ::- глубОКОС, философскОС зиачсние. Фактически сОотнО«пе««ие ««со««ред4)« ленностей — - зто количественное выражение принципа лопал««««те«з4-:;:: иОсти В кВантовОй физике. Литература: (10; 21; 326„ 5 53; 34; 39, гл. 1; 46; 47; 54). Еоглас«к««ю"«ОВ««аму квантовому постулату волновая ф «««р Олр.лелле«вераят««««ст««ВС«."х Возможных зкспгриментов над Системой. ррос«ей«л««й результат зксперимента — среднее значение физической «к«л««'«н««ь«.
Еусть, «гапример, ставится о««ьгг по измерению координаты частвцы. '1 )р««м«югоьратном повторении Опыта В тождественны ТВЕНПЫХ )'СЛОВИЯХ каждое значение х„будет встречаться с вероятностью и„- ~ Ч«(х„),"". Тогча счел«««:с з««аче««ие координапя (и «темкдп«еск««е ««жидание) (х) = ~,х„и;, — ~ «««х х ) Ч'(х) ,'з (4.1) (г>=~ й'-1.(-)1з (4. 1') гол««волновая функция Ч«(г) не нормирована на единицу как (3.2' ) следу'ет заменить Вь«ра>кеит«еь« р В 3 «)д У )ч««У) ~~ (г) = --- — —,—— ~ й' ( «р(Р) ,.~ Аналогично с «е рею«сс значение любой функции координат )г(г) (Ц = ~ Й' )г(Е) ) «Р(г)!".
(4.2) Рдипат«ьзя Волнова~ функция 'р(г) ««Озв««ляет предсказать Ве О- "«импульсно з««е)э«етическ««х зкс««е(«««ме««т««В. Действ««тель р"е пре««б ы« ИО, разоват«ие (3.12) дает амплитуду вероятности д(1«) в имр д Влепил. Тогда среднее значение импульса в том я,с «бльсн««ь« О"пии аналоги шо (4,1), равпо (р) =- ) ~й Д й 1уф) 1'. лвкцьзи по квднтовсеи махдника (О) = ) г(т Ч'аьР С помощью (ЗЛ2) — (3.12") н (4.3) легко выразить (р) через коорезнеев ~'' ную волновую функцию: (р) = )г —,— А д ул'(й) 3г г(г Чг(г) е '"' = (чт)3 Е 3 = еде ~ — — уу'((г) 3г пег Чг(г) 443е ™м = еде' (р )343 = гй 3 ----, ер'(А) 3 г1г е '"' Тетр(г) = — еде ) 41г Че'(г) 3РР(г) (З )343 (Прн интегрировании по частям предполагалась квадратн шая еееетсу" рируемость гР(г)„в силу которой Че~„„- О).
Напомним (лекция 1):.; что реально никогда пе существует пакетов бесконечной протижнв,::- пости; плоская волна есть математическая идеализация. Таким образом„мы имеем два эквивалентных выражения для сре~;:,:,' него зпа ьения имгеульса -- (4.3) и (4.4). которые можно записать едае) пообразпым способом (р) = ~ Д«р*(й) й й „(й) = (" (г Че'(г) (-ейеЗ2) Ч(-). (4$:: Удобеео ввести понятие олсраепора Д, соответсз вующего днееамическГЕ перемешюй Д, так чтобы среднее значение этой переменной в состо4У нии с волновой функцией 4Р выражалось и виде гДе опеРатоР Д и элемент объема пег отвечают томУ же пРелставееенн(ьч( ,.: е: что и волновая функция Че.
Преобразование операторов Д от гедееоеу'. представления к другому определяется требованием совпадении феей":; чески наблюдаемых величин ф) во всех представлениях. Из уравнения (4.5) заключаем, что оператор импульса р в имгеулФ;::,: пом (собственном) представлении есть просто оператор умножения еев: (с-числовой, неоперазорный) вектор р = еед, а в коордгнгатном своФ:,::: ся к оператору дифференцирования (ср. с (1.35)): М вЂ” импульсное представление, 33 = ь — еуету — координатное представление. зада еа алк найти операторы координаты г, кинетической энергии ет, мон меян импульса х.
=1гт к р)в коорлинатном и импульсном предсгавлеииах. зада еа е-з. Вьечеесееееть среднее значение импульса дла произвольного огр мае;( чснного волнового пакета вида Че(г) = с' гА1г) где А(г)- — вееиестаеннва амеелепуду( е(ге) = Яа П лекпииждиндмичаскиапнрвмвнные ев пьер мы рассматривали средние значения, отноапциеся до сн ,. „ваюеому моменту времени. Задача квантовой динамики— ,:„' фВКМЗРО ,, их изменение со временем. Эволюция системы управляется , ьдсучзае)7аелесии „„еье Шреееиенера, которое для одной частицы имеет вид (1З4) ,.1, ")(г..е) а: ;угур(- ) + (у(г ) зр(- де зле )Т„еелноетпь аерольчносепи нахождения частицы в окрестности дапйвй енеЧЮЕ Иг г) = ~ ьр( ' г) 1'.
(4.8) Измеееееенез р(г, г) со временем в силу уравнения Шредингера равно '"-'-' =- Ч' '-~ + — '"- Ч = —" (Ч'"(Ч'Ч ) — (~У Ч ) Ч ) = де аг аЕ Ъ = — 343 (Че ('уЧе) — (7Че ) Че) = — сеет т, Зле Уравегеееие (4.9) приобретает теперь внл уравнения ееееерерьевееоспеи ";,аьеражаюн,его закон сохранения плотности вероятности. Поэтому векюру у (4.1О) естествеешо приписать смысл нееотноспеи потока веро- ЯЕГееееегпеЕЕ , Дифференциальный закон сохранения (4.11) можно преобразовать "ептсералывй форме, связывая изменение вероятности нахождения .;:,,:час™цье внутри конечного объема )г с потоком через поверхность — 3' с(г ~ Чу ~з = — 3 413гг сеет ут = — ф оиру. (4.12) де Из 14,12 с 12) следует, что для нормируемых (квадратичпо интегрируемых) меян.
овь'х функции интеграл по всему пространству не зависит от вре— ~ сег 1Ч3 )3 = О, (4.12') де ,'ето езбе есеее"енвает сохранение нормировки, вьебрвушой в начальный мо- Бпогда Б«)3)с!)ныь) бывает Г!реле«явление комплексно31 волновав« ф)НКЦИИ "1СРС)»!ВЬ В 1ЦСС В~!О)~!Х ф) ~ЬЦ)3! (МОДУЛЬ Н фа»У). )Р— (р ), (4.
1З«а~. Тогда плотность Ботова (4.1(1) вь)ра)кает«я Тол~ко через Градиюп. фазь())3 (4.14з Б частности, лля волново!о пакета (задача 4-2) Р = .4, 5 = р)', р чм) 7' = Р— =- Рц, т. е. Бмее1 Внд Ось!иного вектора 11»!Отнести тол)()' в !'И»!родинаынке. Б Об)цем Случае Вектор» мо)К1ю записать с л«у.':. мо)цью оператора р в коор»!)п!В)лоы представлении (4.7): Лаацив а. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЬ)Е В! ,зимние)и для плотности заряда В злектродинамике). ОператОр выра)к ' ;:„1$) норм ,ФР' Б„рован 1«а чиссло частиц, ~ Г»г Р (Й) .= 3))3, ,и,)вода" уравнения Б1редипгера для системы многих част)п! Г1лл „В , «мся процедурой (1»5), сопоставляя в классическом выра- !1,':;„ГСПОЛЬЗУс -,' Й«йй)13! д и!ЕР1 НИ СИСТЕМЫ Б =- У, ~ — '- + 1»(г„) + — „' 8'(à — ГЬ) (4.19) а а ааь б!(Г 1 .. Г!о! епциал впе!Бпе)о поля, а й' - — знергия взаимодействия вц) зпергии Е оператор )Й '-- „а каждому импульсу - - оператор ,' ','-"«ффе1)ечп«иро«)ап)!я по ~~~рди~а~а~ соответству)о)цей частица! р, -' р, =- — )йт»а, (4.20) Отметиа1, гго плотность Вероятности (4.8) мохи!0 понимать )яв) с)юднее значение оператора плотности, имен)ц!е! О вид В коор»«)п!!Ливи~ представлении (здесь и, — перемеи«вя коорд)ц!ата, а й играет р«~: ю!синего параметра: зто точка, в которой измеряе)ся плотность вор)1; ятнОСти) Р(Г)3 =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
