1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 6
Текст из файла (страница 6)
лекцию 2) детектор, фиксирующий координаты, т. е. Локализу»ощий частицу, с рав»юй вероятностью может обнаружить ее в любой точке — частица как 61»,размазана" по всему просгрансгву. С точки зрения волновой тео- ;: ':' Рни мы имеем стационарную плоскую волну, бесконечную в пространстве и времени.
Р,кт измерения координаты „,стягивает" плоску1о ВОЛНУ В »ОЧКУ 1«онечно, состояние в виде плоской Волны (3.7), заполняющей цеогРа»'и'»с»щое пространство (н потому не нормируемой в смысле (3.2)), яе»ся идеализацией нормальноп1 эксперимента, в котором пучок 'астиц создается исто»ником, форьщруется„направляется в зксперинталы1ую зону и регистрируется детектором. Реальный пучок всегда НМЕС-1 мест конечну»о пргпяжсццость в прострацствс и времени (ср. пример с волн Ол"овым цугом в лекции 2), что искажает монохроматичиость Вол- 1»Ы днако во многих случаях можно этими искажениями пренебречь и по, о'ьзоваться идеализированным описанием (3.7).
16 — = — -- 72Ч» 1«у Я2 а» 2т ЗЧ»(х, 1)»,2 д»Ч'(х, 1) 1 '6 — --' — = — -' З» 2М д«2 Хотя абсол»отнял общая нормировка волновой функции нссущсствсц« на, обычно удобно нормировать се так, чтобы полная вероятность Об-' наружения частицы равнялась единице: В случае бесконечного объема, доступного для частицы, интеграл в левой части (3.2) может расходиться, тогда будет иметь смысл лишь от. ношею»с плотносгей вероятностей ) Ч»(г, 1))~ в разных точках г„для которого нормировка несущественна. Пусть частица совершает свободное движение в направлении оси х с заданным импульсом р = р,. Такое состояние, как показывает экспс' римснт, физическ~ осущсствимо; проверку' значения импульса можнр (например, для электрона) провести с помощью эффекта Комптоиа — ' рассеяния очень мягкого фотона, почти не меняющего импульс элоев":.
рона. При (7 =- О уравнение Шредингера имеет вид Поскольку физически выделено лишь направление оси х, будем яс кать решение (3.3), зависящее только от х и»: лс«а«я з соотношннин ннопраднлннностнй - „уравнения (3.3') в виде бегущей волны есть рс,пенис У Ч'(х, 1) = Аекм .. произвольная комплексная амплитуда, а волновой вектор )1 и 1.дс А частота „ , с» произвольны, но связаны соотношением Я2~ 2 ЙО» = — . (3.5) 2% л ш,о (1 26) импульс частзщы р и ее энергия Е выражаются через „; акгеристнки волны де Бройля (3А) как р=)й, Е=йа», (3-6) т е (3 5) даст Обычную СВЯзь энсрп1и и импульса свобОдной част1Н1ы, как и должно быть по „Выводу" уравнения 1Предингера (1.34).
Ясно„ .»то свободному движени»О частицы в произвольном направлении к бу- дет Отвечнп бсг)'щая В этОМ цапраВпснии плоская ВОлна связь (3.5) между О» и 7» = 1А. ) Сохранится, Применяя к решению (3.7) вероятностную интерпретацию (3.1), видим, что плопк»сгь вероятности обнаружения частицы в точке (г, ») (Ч»(г, 1))2 = )А (2 = сопз1 и, ч я з. соотношвнив нвопивдвлвнноотвй з1 лвх 1ии по квантовой мвхлникв зо В гппдте с дифракцязей на двух щелях па экран падала непдо . 3 волна. Однако любая вОлна можег быть представлена как суперпо „:: ция плоских (разложеыЯС ФУРье).
Пусть, для простоты, мы имеем ас:,:,: го две составляющих гляда (3.7), когорые имеют одинаковую част озу '::.: (иначе картина персстаУ~СТ быть стационарной — будут наблюдать Я-',-' биения) и, согласно (3,9), Равные волновые векторы А = , 'Ц = 1К,1. '". — 1 еда~в — в1) 1. А С1(ь2) — ж) 3 Решение (3.9) описытваст уже совершенно иное физическое составу ние, чем (3.7). Плотность вероятности нахождения частицы вбднэя точки (г, г) равна теперь 1чэ(г, г) )з =1 А)1~ +1Аз1~ + 2 ке (А, Аз е'1д "~)я), (3 1()~ о „всгствии с (2.5) стационарная (нс зависящая ат времени) интерференцггонная картина: интенсивность волны в данно)и точке определяется разгзостью фаз интерферирующих компонент, (6Л:; и в (3.7), часпща не локализована, однако теперь вероятность ес на'; хождения в некоторых точках выше„чем в других.
Наличие предпочтггтельных для частицы областей просгранстмэ (интсрференционные максимумы (3.10)) достигнуто за счет того, что св,",. стояние (3.9) больше на является состоянием с определенным гвипуль)' сом, а содсРжит лве компоненты: с импульсами Р, = ЛА) и лз - — — Л)г~:" Если мы теперь с помпщыо импУльсного анализатора будел1 измеря11( импульс частицы, то те~л самым будет совершап.ся выбор одной из лвуя альтернативных возмозкносгей („закрываем олпу щель"). Никаких др).':,: гих значений„кроме р~ и Рм мы при этом не можем получить, а сазак) эти значения будут появляться с относгпельной часптгой, пропорцио';:, надькой интенсивноегям соответствующих компонент ( А )~ и ~ А 'а, Т~~: ким образом, анализатор будет регистрировать импульсы р) и р, с ве' РОЯТНОСТЯМИ ! А 1' ь ) Аз~з 1 А( 1з -ь ! Аз1з ж)+из=1 Акт измерения импуль~~ возмущает сисгемУ "" типа разрушается (см.
(2-6)). После измерения волновая функция буФ~'; ~ представлять собой плоскую волну с фиксированным импульсом или рз). Перейдем теперь ь Общему случаю произвольного состояния час: тицы. Интересуясь мгиовенными характеристиками, будем опуса гть' аргумент Г у волновой функции. ,,я;им волновую функцию в ин.гсграл Фурье РЯТЛО ЧУ(г)=- ', ) сВ9(К)е', (2 )3'2 1а(й') = ', ~ Лг Ч~(Р) с-" . (~)з) )(ормпровка (3.12) выбрана так, что при выполнении условия (3.2) ьс обреа волновой функции нормирован: 1,7й ' У(й') 1' =- ( г7й ~'ф) --'-- ),7Р т( (Р) с-ма = 1э )172 (3.13) ~ г7г Ч'*(г) Ч'(г) = 1. рвало~кение (3.12) представляет волновую функцию как суперпозицшо бесконечного числа плоских волн. Рассуждая точно так же, что и в сэ~ ~ас двух ела! аемых (3.9), легкО понять, чтО импульсный анализатор будет регистрировать все значения импульса частицы р = л)г, для которых амплитуда (л(гг) Ф О, причем частота появления 7г пропорциональна игггенсивности соответствующей гармоники 1фА) 1т.
При нормировке (3.13) величину 1(л(й) Р можно прямо интерпретировать как вероятность обнаружения импульса )3 = Йгг. Поэтому 1э(7г) называют аолиовой функцией (или амплитудой вероятности) в шяпульслом предсглааделии (Ч)(К) — волновая фулклия в юорс)платком лрег)ставлелпл). Координатное и импульсное представления однозначно связаны преобразованием Фурье (3.12), Здесь полностью применимо рассмотрение волновог о пакета (см. Лекцию 2). Заслонка, пропускающая участок волпы е' " малой протяженности Л х (аналог т, см. Рис.
2.1), искажает эту волну: в спектре появлгпотся составляющие с волновыми векторами Л, Отлпчакяцимися от )гд, по крайней мере, на величину порядка М ~---- (3. 14) Ьх Впе коо . релельном случае точной локализации частицы в точке г = г се орлннапгая волновая функция О Ч'(г) = д (г — го), (ЗА6) Однако 1 ' ьо при этом импульсная волножи функция содержит все возмож"ые зла.
" ' значения волнового вектора )г с равными ассами: 9ф) = — ' — е™4 ) (аф) 1з = сопи, ( )зм лекции пО квднтовой ме)(янике Конечно, точно локализованное состояние (3.15) является предо,'.''!з НОЙ идеализацией в ТОЙ жс мере, что и неограниченная плоская но»»'9 (3.7). 11озже (лекция 35) мы увидим новые стороны этой пробле '::- в релятивистской квантовой механике. Итак, любая попытка локализовать частицу, г. е, создать состоян(' с определенным значением координаты х (уменьшить неопредс»»е»в»ое)):-. координаты Лх), неизбежно влечет за собой размывание имцульсн-"'1 волновоЙ функции, т.
е. У~е~ичение нсоп)эеделенносги з»мг»)э»х ц Лр = йЛл. Эти две неопределенности связаны соотношением г»со»зр~ делснностей Гейзснбср» а (1927), которое (опуская числовые множг»те(»(х нс нмегощие смысла, пока само понятие неопределенности точно ко»д(( чественно не сформулировано) запишем в виде Таким образом, нс существует соспщния, в котором частица од»й)3 временно имела бь» определанные значения координаты н имп)льва Координата и импульс явлщотся сопряженными (дополните»»ьг»ый(г друг к другу) переменными, а эксперименты, измерякицие их, состав': лают два класса дополнительных экспериментов (см. лекцию 2). Сд»я' дона» ельно, теряет смысл понятие траектории микрочастицы, пгэ»дэаф':: х мевазощее Определение В каждь»Й МОыснт Времени значений коордй% наты и скорости (или импульса).
звдвчв 3-Е Выяснить нв примере образования трека частицей, движущейся в ай мера Вильсона, когда прнблвженно можно ввести понятие траектория н пользовлгьр' клваспчеакой ыахвннкой, Согласно соотношению неопределенностей (3.16) наилучшая в((1(': можная локялизация частицлл при заданной неоп)зсделенностз» Лл'Ф:: импульса р есть Л х ~ В»Лр. Однако говорить хотя бгв приближен»ю в$; импульсе частицы имеет смысл лишь тогда, когда зна»свис это»о И~-; ' пульса больше его неопределенности: р > Лр. При этом 1»»Лр > Ййр =.;:: = 7.0» Лх>Х, (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
