1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Штерн и другие (1931) показали, что и более сложные образовмшя (например, атомы гелия) обнаружива1от дифрзкцию па кристалле Во всех случаях найденная из опыта длина волны точно отвечала ньгпупьсу частиц в согласии с (1.26). Зааача 1-4. Оценить энергиго электрона в опьпе по дифракции. Найти длину и ""~тогу волны дс Бройля: идя электрона со скоростью и =-1 см/с, с энергией Е = ' 100 Мэв; ляя теплового нейтрона (эисрпм раева ЗТ2 при комнатном' температуре; ' эц =- 11Ь00 К); дяя фугвояьного мяча. Применяя такой же вол1ювой подход к связанныь~ состояниям атома (состояния финитпого хтвижения классической механики), мы 1'олжны получить в стационарном случае карти1 ол о сразу приводит ь постулату Бора (1.9'): для круг и Место „?" заняла картина волн де Бройля (1923).
Предположим„тгто ук пучку частиц с энергией Е и импульсом р соответствует некий волновой процесс с длиной волны т1 и частотой и такими, что 2=2л:т .= — го= —, (1.26) р А 2=, «1= 1,2,. — ' л( Ч«(й, «) = (р (г) е 'о(( = («( (г) е я (1.34) ~-(г' с«д«« «(( м(( Е с -( ь(((, = А р «( К= — =Е— 1((( (1. 30') по:помч Ля(( «((1( = ( 'зт (Д вЂ” !/) «в лн ции по квянтовоимвхдникв стационарная картина возникает, если длина волны укладывается ля ' . орбите целое число раз, т.
с. откуда г = г„= -" = — ««Х илн, в соответствии с (1.26), г„= ««Ьр, а мо-.;: мент импу«~ьса (.„= л(«(г„=- р«„= лл, что совпадает с (1.9'). Здесь ясно ': видно, что квантование (вспомним классическуто струну или волны " в резонаторах) возникает как следствие граничных условий, наложен- '; нь«х на волны де Бройля.
Для того чтобы иметь математический аппарат, пригодный для ре- ,' шения любых квантовых задач„необходимо найти динамическое урав-:.: нение, описывающее распространение волн де Бройля в пространстве н '; ' времени. Ясно, что это уравнение не может быль выведено из предыду- ." щих теорий; со«'ласно принципу соответствия, наоборот, их резуль«а«ьь( до«(жны получаться из реп«е««ий искомого уравнения как определенные:,.
предельные случаи. Мь«придем к нужному уравненюо с помощью неко- з торых правдоподобных аналогий. Пусть имеем волну, заданную комплексной функцией Ч«(К, «). Рас-, п1«ост)зщкенне обычных волн (электро(магнитнь«х нли звт новых) описы- ': ' вается волковым уравнением У нас вместо скорости волны с должна стоять фазовая скорость по нм«(улье частицы выражается через се кинетическую энергию Поскольку фазовая скорость зависит от координат через потенпв- альну«о энергию 1~(Е), распространение волны де Бройля должно напо- минать распространение света в среде с переменным показателем прс- лоылениж л,,цяя к возникноввнив основных квднтовых понятий сасэлаялие имеет вполне определенную сохраня«оСлк«««ианарное с я энергию, поэтому в силу (1.26) соответствующая волна де Броимс(.т определенную час«оту щ = Е«й«, т.
е. Ч«(г. «) зависит от времепн чя лмсст опрсделенн , „Риони «секи: (1.31) г с, для стационарных состояний част.щы В общем случае произвольного лесяяа««коварного деаже««ия зависи- мость Ч' от времени не является чисто гармонической (1.31), энергия уже не сохраняется, и мы вместо Е оставим в (133) производну«о (1.32) ло «(ременн: «1« — — = 1' — -' — ~7«+ («(г', «) Ч«(г, «). «в 1 з((( Итак, мы „получили" волновое уравнение д««я волны де Брой«и, отвечакнлей движению частицы масс«я га во внешнем поле («(г, «),— знаменитое ураенеяие «««ре«)и««гера (1926) соответственно для стационарное (1.33) и общего (1.34) слу(«асв. Отметим сразу очевидные свойщна этого уравнения. 1.
Уравнение П1рсдингера линейно, т. е. волны де Бройля удовлстворякп принципу суперпознции (линейная комбинация ~с„Ч«„нескольких Решений Ч«в(г, «) с пРоизвольными комплексными коэффицие"«вмн с„опять удовлетворяет тому же уравнению). 2 Уравнение 1Предингера имеет первый порядок по времени; поэтому сто рещение полностью определяется значением Ч«(г, «) в пронз«(«(я«щь«й момент времени «о„задание Ч«(р, «в) детерминирует всю даляне«й«лз ю эволюцию системы, дает о ней максимально полную ннформацн«о 3. (1(ормаль««о уравнение 1Лре««дингера (1.34) сразу получается из юьасснческого выра«ксюш полной энергии частицы Е = К + («' = лнкции по квлнтовой мнхяникл зФ2зл) + У, = р ( ) У, если заменить энергию Е и импульс р на операторы дифференцирования по времени н координатам, дейсгвующне на амп литуду волны 1р(г, 1): Е-+ й --, р- -йз7 д.
м' (1.3 . 5):-: (выбор знаков перед 1 в (1.31) и (1.35) произволен, но должен быть раз и наВссгда фикси1зОВан). Остапгся „только" понять физический смысл амплитуды Чз, кото1~ую П1зинято назыв~~ь волловол ЧЭулкнвсв, и ~вяза~~ сс с набл~~~~смымн Величинами, Литература: (12, 27, 34, 47, 54). Сравним общую постановку ~влачи в клас~ич~~к~Й н в к~~нт~вой физике. Под сисл~емой всюду будет пониматься совокупность частиц, вищмодсйствующнх друг с другом и с окружением (необходимой частью которого явля1отся измсрнтельньн: приборы). Примем, что внутренние свойства частиц (массы„заряды, спины и др.) известны нз опьпа. Поведение системь1 описывается в терминах динамических переменных, каждой из которых должен быть сопоставлен способ ее физического определения.
Для классической системы динамические переменные — - это координаты да н импульсы рв частиц системы (либо какие-то функции 4в, Рв), длл полей -- это п~отно~~~ соотвстствУющнх величин В каждой точке (г, г). Прн этом подразумевается, что (по крайней мере, в принципе) можно сколь угодно точно измерить значение любой динамической переменной в данный момент времени, Задание всех мгновенных значений д.„р„определяет конфигурацивз системы — положение изображающей точки в фазовом пространстве. Со временем ЯОнфю урацяя меняется (тОчка движется по фазОВОЙ травя'1О)зии), причем ~аждая фазовая траектория характеризуется набором интегралов движения (в их дОли мог) т вьютупать сами начальныс услоВия лля каздой индивидуальной траектории). Один нлн несколько интегРалов еще могут нс определять полностью траекторию (например, при Рассеянии частицы В цсзггральном поле задание начальной скорости ю нлн эпсргии Б = тлЫ2 определяет множество фазовых траекторий, """1нчающнхся прицельным расстоянием Ь или моментом импульса 1 = лщ.Ь).
Существуют полные наборь1 интегралов движения, каждому пз которых Отвечает лищь Одна фазовая траектория. Можно сказать, что 'гакой набор полностью определяет состояние сисглеиы. В более Общем случае некоторые (или все) интегралы движения из полного н бора могут быть задщпя вероятностно, с помощью каких-либо функций Распределения — это гоже способ описания состояния системы. бщс, состОянпс — этО нсвозмущсннОс ЛВижснис систсмыр Ограни" "енз Ос набором каких-либо условий.
пвкции по кв>«нтовои мвх««никв Очевидно, что условия, харакзсризую!Нис состояние, должны быть;:; взаимно совмсстными «х«>гя и нс обязательно лваксимально полнымп) "::,, Для „ирв>гоовов,>ел!!я" системы в нужном состоянии вт. с. для провсркя:., ВыпОлнсния наложснных условий) нсобходимы физичсскис изл1срсния й: Однако любое измсрснис требует взаимодсйствия системы и измсрн. !: тельного прибора «„набл!Овватсля"), которое наизбежна возмущает снс .':в: ТСМУ. Классические теории основаны на концепции непрерывности; .'" твердые и жидкие тсла, рассматривасмыс в классичсской мсханикс„за- ':: ', ряды классической электродинамики считаются бесконечно делимыми бсз изменсния св«>их сущсствснввьвх свойств.
Именно поэтому вполне сот«'.ствснным кажстся, что вссгда ножн~ сдслать такис изма)>итсльныв ' ! приборы, влияние которых на систему будет ниже любого наперед за- ', данного предела «например, можно уменьшать внутреннес сопротивлс- . нис амперметра или увеличивать эту величину у вольтмстра). Устремляя .' ' к нулю вносимое искажение, мы получим при измерении информацию:.:; о сисгсме,„как таковой". Поэтому в классической физике требование взаимной согласован!- .: " ности условий, характеризующих состояние, удовлетворяется просю " '. ограничением тсх псрсмснных, чьи значсния (или пределы, в которь!х,'.. они лежат) являются динамически связанными.
В гамильюновой ди-: намике независимыми псрсмснными явл>потся координаты и илшульсы, которые и образу>от максимально полный набор. Обычно динами- -.', чсскис задачи формулируются так: если координаты «у и импульсы р„',,: НМСЮт ПРИ Г -- га СООтВСтотВСННО ЗНаЧЕНИЯ д И Ро, КаКОВО ЗНаЧЕНИЕ: а а некоторой функции координат и импульсов Дд„, ра) в момент Г = !'? Кардинальное изменснис в динамику вносит атомистнка: сущсст- ',: ' вуют элементарные структуры, так что некоторые величины не явля- .,:;: ются беспредельно дслимыми.
Но тогда необходимо пересмотреть и: ' процссс измерения. Х«>тя взаимодействие атома и макроскопичсскоп>.: прибора прснсбрсжимо мало влиясг на свойства приб«>ра, оно никогда:.. нс является бссконсчно маль!м. Атом вообще можно изучать ли!Пь по .'; сго взвнвмодсйствиям с друп!Ми объектами (в том числе с его собствснными дубликатами), а тогда влиянис взаимодействия на изучасм!>и ' объект нс мало.
Всегда сущсствуст нижний предел возмущсния, производимого в системе процессом измерения «хотя само значение мо!'а ":;, предела может зависеть от природы эксперимента). Этот предел заложен в атомной, квантованной природе микромира и ис может быть ';: обойден искусством экспериментатора. Болес того, фактическая всличина возмущения в ках«дом частном ': взаимодсйствии неизвсстна, и поэтому нельзя внести количественную поправку Можн«> лишь ожидать, что в большом числе тождественных экспериментов будет некоторый статистичсский разброс возмущений л .ч з. .волнсвли пункции и вв си!ность гз ; . б ос мох«по характеризовать откаонением от срсднсго значе.
-! .нис само имсст нижний предел, что Вела! к Важнсишим ния; О.ГКЛОПСПИ ' Л С!. С ГВ И Я М по теперь пскоторыс виды измсрсний могут стать взаимно ,ссоВЛЮС! ИЛ .мыми, так по будет бсссмыслеино !оворить об одновре- мспнь!х 'г" чпых значсниях некоторых переменных. Действительно, „«„-да м>,1 !'ОВ >, «В«>ч!!и, по псрсменная А имсе! в момснт 1 олреде!Слвое Э!«1!ЧСИ!!С О, " °:, то подразумсвастся, что измсрспие величины А В момент г дало значг ,ни«: о, а в баскова !НО близк~й момснт в)>сл«сни повторнос Взл!арснис даст бесконсч>ю близкое значсние. Однако уже первое изме° фактичсски псрсве!о систсму из сс исходного состояния в со- сг«>ян!>с с Опрсдслспным значсписм пс1>смснной А. При этОм нскОвпрО- лирусл«о -, юс воздействие па систсму 'юлжно было быть лостаточно силь- ным Гвв,!Нве того нижнсго предела, о ж>гором говорилось ранее).
Мох«ет Оказаться, чтО '1акос Возеюйс1вис пОлностыО лишит нас Возможности пред ;: : ! . Ск!св«ггь рсзульгв« измсрспия в олижай!Лий момснт врсмсни другой цели щны В, т. с. в созданном первым измаранном состоянии с опредс- лслньвм зна снись! А нс суп1сствус! опрсделснного значения 8. Тогда это озна !Вот, по сосгояннс, в котором всличины А и в«одновремснно имеют опрсдслснныс значепия, нс К!ожет быль „привотовлепо" — оно физичсски нереализуемо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
