1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 13
Текст из файла (страница 13)
перес 'ок в без сохрювения э српн ) Л„ННН 5 Пв ОСТВИ(двИВ КВЛНТОВЫВ ЗАддв(И ВЗ В влас» ический импульс яв:* в»'„.ф(ает(1 „-$7 ПМЫМ а КИНЕ1И'(ЕСКЯЯ эней я;Данг у -- (11в '. О. ЭТО НЕ Всдет Пи я ив»Ив~ ',::-,::,)РА(Я,.:, арал 'са . так как об ар)- ": , „аким л' , „,тнц*„в в области П вребует ев.' Е»вас 1 Ь коз»кх., т,нпв на длил(.: Ьх — 1 (5.23), '"~";",':у~дяи'(а и ВОГДЯ 1"с ;"".рвг „;, соотношению неопреде- .~":"'В '. 11 2'Чг = Ы ' йг(, ск в' !'::::А(( Р Р;.",йетвнс, ) гс (вг~сг,(2п ) (2 у, ) 1/,. 1, так что становитсЯ г (Ф. е .м,слснным говорить об определенном звшчснии Л От(в(,п(с пвубины проникновения от нуля ведет к шввому явленикв— лввктыав»(в зффскпву. Пусть барьер в области Й имсс( коке п ;.:-„:;а (рнс 5 3) н мы РассматРивасм слУчай Е < (2(в.
Рспюниа :!"щ~ведингера вю-прежнему даю~ел формулами (5.1(() области :;сея)чак (» - н облдкпв П. Однако, поскольку область Р тепе ;" д~рается до бесконечности, ивч оснований' полагать 13 = О, а .; Пв)от(юсвь потока 1(1" и: О (см (5.19')). В силу (5.4') мы полу Левой поток и в области Л7, где решение содержит лишь п 1»:,;-дпяну с тем же ~олнов~~ вектором, вто и падшощая: Аяв с' в(в» .((лв ' .1 ( р вг (5.24) вн ПЕКНИИ ПО КВДНГОВОИ МВХДНИКй л 171 О -'Ф' аз й« Рм 54 При больших ген Величк«ьз З' (5.25') «рсзвычайно чувств««гезм«' к 'зне(н'ии частицы. Этим Обьяснястся, в частное~и, различие ка порядков времен жизн1«разли«шых ядер по ольошеик«о к окрас "' кото(зый является типкчн« 1М зупнсзп«ным эффектом: 11-««асгица доз '-- прсодолеть потенциальный ба)зьс;1.
ОорвзОванный в«к.'ц«ней с«снксй" роткодейстяу«ощего ядерного потенциала притяжения и бли часп 1о дальнодейсгву«ощего кулоновского отталкквакпя, Зная решение для подбарьершзго значешп« энергии, ле« ко ъ к сз«У загс 71 э (уо 11РИ згг«ьз В«11в««зькы ОДУ'«аи ('о ~ 0 (баР " рис. 5 4, а) к 011«< 0 (яма, ркс. 5.4, 6).
Легко Видеть, гго здесь воли '"" функция полу«астся из ре«цепка задачи 5-1 заменой и «ю12л« 3 .' 1 — „(Š— (уо). Тогда Вместо яйз(ьв) в коэффшшенг прохоя«зз '11 г«З Т (или в коэффициент отра«ке«гия Р = 1 — Т) входит ярлт (/зп) и . „ йза = лл мы получаем У =. 1, 7«' = 0 .
Дс«аиплслос г«р«а«ляг«)«1«1«с. зв((5 симости ««и Т от энергюз имскзг вкд рис. 5.5. 1 «ри«««еззез«ие «к нзг«'изг и зонанса оправдывается здесь тем, чзо условие йз«« = лл совпяг«,, с условном (5.12) сурдесгвовапкя связанных состояний В яме 1(сззс ., 1ельно, при этом Внутри Области действкЯ потснцкаш1 МОЯ«ез суа. е ковать стоячая волна де Бройля. «ризи геским п(зиме(зом рсзОнанса ыозкег сдзух«и'гь так Базь1ВВС м «Ф««1««к««1 Р««зыаууш (1920) 1г«1личие,„; й я( шмумов эффективно«о сс «е«шя рас; пня (оно появляется трехмср«п;«м ав,: гом кО'к(зфиниспта От(залшния) в ст ЛОВ«.'ИИИ МСДЛСШ1ЫХ 1ЛСКТРЗОНОВ «' з, " ', .- Я мами. 2(ля:н1ектро««ов с Š— 1'10 '" «' яйй городныс газы (Аг, 'Хе, Кг) оказьзв1'к,.
ГО'1тп п(зозрачи11ыи. Однаы««Р Р«л«55 кость рсалыгой зада ш ш«ос1г' р, 1 в проотнйшинкнднзоныйздддчи аь кь (сосзоянн«. зле 1МРОБВ В а1оме' к(зомс эпс(и ив ОписыЛОЯО«Е«аьз «Г~В1~ у . Орбзиг.1льн1«м мом«ьзОм). сазе гй .ф «з«м ~~ро«««сд««1«з1«волям оо срьввевюо с волной, «Две «аюозсй св«бол- Е„,; чаз., с е' ., ' * ' 1' (~",,Фауйд ' ' .', с тов «ьс звср~ лей (лрв «мелеховой «юрмкровкс яа — ез) Гюьазать, .;ер«о««с з ««« млзсллс воляово«о «мхе«а, по возы«кмоюсс яз за кала л«л торез~«звала а«вязав лв««л с«« „' ..
-Кв«~ (олк олерсжсеил) оввс«а рвало й. Ддма мдерзьв«~ ,=-й НЛ« «викс —. звс1лял кео11а «мвс,,з 'рассв1от(зим, пако1к ц сл)«'1аи ям11 иа 54, «12 БО прк значсккк 'знсргии ,,фзс .'ТТ < Е < 0 (рис. 5.6) (возмоткиы ли со- "1, евзяаия с 1'' < («'««7) цнутрк ямы (область 7Т) решение ;:-,:: у()йввския 111реди «1 сра имсез внд (5«13')„сз«у'«а11 и, Однако по о(зе стороны ямы леькат бесконечные под.тарас(лп,ю / .,*:®йяасти, «лс Волновая функция долзкна '„" с Фауухать ь П «Л Д«к.
5.й зл« (5.27) '11йз ' '1""з"ча 5-4, 11оьа ж~ ь, ч«о в слммс~ рк «оой одвомсрлоя вмс лрк л«сбой сс о«убл ..Кв сь ""~ссз««зе«свлзаляое сосголлче, в олределкзь сто твср«юо связи "л'в««е Н (121«, 4 Л5, зада «а!1 ««1«В«вв««, что 11: 1== — — 1 «Ь 17(з)~ . (5 «х) ':1""У)зззахтгсугсзвия анен«него поьока здесь 1игг произвольно задаваемого ,'' кбмрфициеиза, 1(озток1у условия сшивки при х =. 0 и з =- а дагоз линейку«о однороднузо сис«ему 1етырех уравнений для определения (в еъ О, Тй )та система мозкет нмьгь нетривиальные решш«ия лишь ЛРИ нек«ПОрь«х ЗБВЧЕззкяк ПВРаметРа Т'.
Йтаода ПОлучшотСЯ Дкекрсз" 'йй(е знер1етк «вские уровни (стоя сне косный Поскольку Вох«новая ; ь З«у(зьция СОсредотй«реиЯ В коне«БОИ Области прОс'1ззанс«ва, Она мозкст 0. Мть, нормирована па едш«ицу Зада'«а а 3. 11айто воановьс «1«у««кд««««м звсрпю свлзаовмз с««с~««лп«зй дль ль««л ззй йа«' дикции ПО квднтовай мехднике Качсстлснио результат (5.25) можно иолучтпь простыми оценками, Пусть л ! пиал хлрлктеризустся радиусом дсйстлия а и отубиной Стть заь что ) «1«та(х) Прп чалой энергии связи (ка«1) волновая функция будет зятухзть лоб«тле~и бя 5 очень ьтсытснно, т. с.
глубина проникнолсния (5.23) 1» а. Среднее зилчет«тм зк ьяязяииого состоят«ил Е = (К) + 1от). Согллоно соотиоцтснито иеопрелсл«,нт„, «з средняя кинетическая зттсргил н оснонном состоянии определяется размером 1 2 2 тн локлг«нзлцтти: (К) — Л«1(2лт1 ). Средняя потенциальная энергия рлянз «~1««тнз т ':я нито нт ня отиоситсльнуто лсроятттосзь прсбыллння тястнцы и яме' (7) — туо . то«(ьх 1«)ииимизт!руя Е кяк функцикт 1, получим й2 . лт — — Š— — т«1 па) глоб б В2 л согласив с (5.25); 1 ч а«ири По -- б, Зяднчя 5-5.
Путем прямого реглсния днффсрснцияльнмо уравнения Рирсдил "'"' найти энергетические уролнн и яолиолыс функции сзационлрных состоя«и«и чт«сцмяз я пояс упругой силы (олпомсрный гармонический оспаялятлор) П(х) = — атат х2. 2 2 2 Метод нахождения собственных функций и собственных:тпдчсв)15 дискретного спектра для дифференциального уравнения вгоргтго;й>~. рядка будет проиллтострировдн далее на примере радиальной зайаг Ке лера ( екция 9). Задача для армонт еско о осциллятора (529)' '; дет решена более простым — операторным — методом в лекции 14: "«а Зядячя 5-6. рсглить урялиснис П)родит«тора для злсктроия о однородном злсьтв11 чсском поле и = 'гх укязяпис.
удобно, сделал фурье-прсобрязоллнис, перейти л уравнении 11!ряд)чя( горя к импульсной лолиояой функцик рй«) (3.12'); (17, 1 1, № 13). Задача 5-7. Найти волнолые функции я, рсстсттттые значения энергии (зоны) для 'ас)«йзт цы я одномерном периодическом ткпсыв4В (рнс. 5.7) Ст(х) = Ст(х + 1). Укязяттттс. Сделая л урллиснин 'Лрс «т«Ф замену переменной х нл х+ 1 н носпыт глись периодичностью потсииияля, лотка т1,,'" чнть, что р(х) = сопз1 ' тр (х+ )) где 'сгтпз11««11. Позтому достяточно рассмотреть один псряядх )тис 5.7 произлестн дне опилки — при х = О и х = д' -; б 1, № 16). В задачах 5-6 и 5-7 появляются специальные функции -- пол х:-;- мы Эрмиз'а и функции Эйри, которые окажутся полезными а". нейшем.
Литература1 [15; 17; 32д, 3 661 36, 4 55) !",')) ~ии б, ОБ(ЦИЕ СБОЙС'ГБА УРАБНЕНИЙ (1)РЕДИНГЕРА :-'-:-',,'=Б л ю1ии 5 мы видела, что стационарное уравнение Шредингера г вид ншпчи на собственные значения ЙЗр =- Еф. (6.1) -,,:3На ьдассс нормируемых функций оператор Гамильтона Н эрмитов .(4(25), т. е 3' (т(РЪ2)*Ф1 = 1 (т БЕйр1. (6.2) т(врез матричные элементы (422) свойство эрмнтовости записывается .как' (2)~11>=(1)7 12>. (6.2') Свойство (6.2) приводит к важнейшим физическим результатам.
17,1)уатЬ фуихцнн 17т1 И (р2 — рсщсиня урааисиня ШрсдИНГЕра (6.1), т. Е :;. (обегвениьте функции Х7 с собственными значениями Е1 и Е21 7Ъ = ЕПд. От = Ы' (:з). )ожим ттервое из уравнений (6.3) на тр2, вьзчтсм из него умноженное :,:::,Лза'ф1 комтшексно сопРЯженное втоРое УРавнение (6.3) и пРоинтегРи",)«РУем гтбс чттсти пОл)'чив!пегося соотношения (рФФ1 — М1(йзрз)* = ЕФ2Ф1 — Е2(рз(р1 (6.3') ,.
~ вбьему отг то о представления, в котором выражены волновыс функ;!,'-,"1(йв з(«1 и ф2. В силу эрмитовости (6.2) интеграл от левой части (6.3) ';:.,::;:,'::й«Р еза '1' И Ь1Ы ПОЛУЧаЕМ (Е1 — Е') ) т(т зР2((т1 = (1 (6.4) ли выбрать состояния 1 и 2 совпадающими, то интеграл в (6.4) Если ;;::.р'вра;,.
" ")естся в нормировочный и отличен от нуля. Поэтому Е1 = Е1, т. е. все собственные значения энергии вещественны. Тогда (б ~)) „.:- нимает вид (Е! — Е2) ~ ггг Фзу>! (6'„' е Разли щым с как функционал от произвольной (ненормированно ределенной на классе квадратично интегрируемых ф кать функцию г)>, дающую экстремум функционала ( щую в ноль вариацию д(Е): г> Д г!г я> тл>) ~ г!г у! Й ~ д(Е) = -- — ----.— — — — — — —,--; д (~ г ~ тР'У> () и У'д)2 — — ) г)г ((дг)> ) Йф + г)>*Йдф — (Е) (дф ,)ги Р'Ч д(Е) = ~' — †. ) г>т ((дФ )(Йу> ( Е ) М + + ~!ЯФ' — (Е) ~*) дФ.
Из (6.7) сразу следует, что условие экстремума д(Е) = О Удою>е г! рястся для функции г>>, если она подчиняется ураанениго Шрели Йг>> = (Е) ы, а среднее значение (Е) есть собственное значение Й в этом состсятг (55). Обратно, можно доказать, что если какая-то функция Р' ":;::- экстремум (Е), то она удовлетворяет уравнению Шредингера.
Пг>з>:зг наинизшее собственное значение Е,„оператора й' дает абгтжгг>Я",)г зги>ги.ггзггг функционала (Е), кои>рый, таким образом, рею!!!.гуег Полагая теперь Е, ~ Ез, видим, что С~едовател~но, ~об~~~ен~ые функции, Отвечающи ленным значениям, ортогональны.
Покажем теперь, что уравнение Шредингера некоторому вариационному пршщипу. Рассмотри энергии в состоянии >Л ) г>гу> ЙЙ (Е) = ) й. а "у> или, в силу свойства эрмитовости (6.2) (б. г) эквивал м среднее зпаче" (6 й) фун ции р, у наций. будем 6,6), т. е. обра тфы)= ) У> — (Е) гр Ф'::;-'г Лагпияа ОБЩИНСВОйСТВАУРАВНЕНИЙШРИДИНГТРА ВВ ,!внии !Л! основного состояния системы, Легко видеть, что вой Мунк ;:.'"'>)Ря " по вел!шине после Е„,!„Собственное значение Н дает мини- лассе функций, Ортогональньгх к Фс, и к д ги,гески варнационный метод служит удобным приближен- ,';.,~(Е на ь Прая! Иче споео .
бом Решения уравнения Шредингера в реальных ситуациях !!' ~г~> ' атомы, молекулы, атомные ядра, твердое тело), когда не су., Яню;нтического Решения. Обычно из физических соображе- .,:.';>>явствует " ' бп„ают пробную функцию у> основного состояния, оставляя йгга вы З „ес>,олько свободных параметров а,. Вычисляя затем (Е)„и ми- :,~~;";:::,й>йе! :"-' аймгпиру „руя 1>езультат как функцию а, (д(Е)/сгт, = О), находят наилучшее блиягениг; к волнОВОи функции ОсновнО! О состояния, дости>!(Имое -.:,"'„~выб Яупом классе пробных функций. При удачном выборе г>> резуль'гт будет достаточно близким истин Ому т(з варнашюнного принци!и ми ут б~т гюлучены Осииял>>!!>гони~~ „;-гж,аргггы, сшласно которым волновая функция основного состояния :>я!где„кроме„быть может, границ области„не имеет узлов, а для сле- ;',"." )ющих уравнений пюло узлов отлично от нуля и возрастает на еди- :::,взйгб~ для каждо~о гюследующего уровня с большей энергией Опираясь на Результаты Решения простейших задач (лекция 5), 'яе)ьо устагююгть нското1>ые об!дне С~ойст~а решений стационарного ,' '-~равнения Б1редингера (53) для одной частицы в потенциальном поле ,-'"6(г) Если Ь~„, - — минимальное значение потенциальной энергии, то :: Очевидно, гто в любом стационарном состоянии (гу) ~ Ог„,м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
