1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 19
Текст из файла (страница 19)
«(Чй)) а»т, ûûлучччм Ф" + т"Ф --- О, Ф =- ее»"'~". (8 16' е.,'фр~,как чк»»в~с»вая функция ц»(г, В„у») лолжна быть однозначной ф) нк"'Лве(1 своих ар»"» мс»1точч ТО ~э~сиен~с у»т1»ч ~ ка 2Л должно приводить к ,,",')))иу,я»8 зка»снкю Ф(ф), т, с. Ф(»»ч) — псриоди»еская функция. 1рсбова ')ж)ахчс~жодичяОстк сразу' Отбирасг ливп Гчслючислсннь~е значспия л». 7огда»вчя Р(В) получается известное уравнение присоединенных „',".~~йкчдчй Хнпкакдра (351, причем условие коне гиостк значений Р на ;»т)В6)ах интервала ( — -- О и В = гт) может быть Выполнено ли»ля для ", ",.(йрадслскичях значении ванном 1 для т может сучцествовать лгпкь 21 ' 1 зна- бозкачения состоягичй с опре»1» асючым 1»чспоччьзуют сок»чо сччмччо»чику, сопоставляя ткаченкам 1 буквы: согласно (8.17) и (8.18) значений и и 1 рсгпсякем явкйснльче»»»»»»»»»»»»л»ы .»Вез»с»»»»дрп () .ь т) ~ Π— »)з) '"' 4» — » — (Ц вЂ”.
1)', ») '= соа В. (8.19)  — т)' 2 Ы 4»1 за лек««ии 00 квавтОБОЙ механике Прв «л --- О «ц «««.осг«1«««св«««.«с цолввомы Ясх«а««д)за перса«л«яз -„ в в,и«,г, УХе«я«ло)гк« Ъ(г)1 — — Х«(г«). а и«;в замсвс л«на -гл Р— м)1 П вЂ” ..(Ф --1-1)о' ', 1)а,(г)) Оь м).' 1м «ебра«оь«. 1«сБгст«вяк«г«у«левон« урйв««сввя (8.14) я««гя с««««с фу«зкц«н« 1'м,(ХХ, «о) == Х«'оас'""~'Хз«а,(с««к О), о -- цр«з«««воз«ьйь«е цслыс ч«юла, 1 в О,' ,«л ~ е «' ! Ьвмк«л о сфс)звчсск««е функции (8.2О) ортогональны, сслв овр«з«е ' ""', ос цр«««««леле«взе (Ь ««к«гвв на сфере сг««в«««чи«««о Ралц«т««каа",.=' ('Р, 'Р') и ) ОО «(з'(Х), «о) «)л(О„«о) ' —- (я.в = )' «ХХ )' к(о О «ХО «)з'1«:= 3 «1д 3:6; «1з'«(ь о о о (8~ .';н~ ические функции Ой 2О), (8,22) образу«от орз«л;«"1««««~рова«« (1,'„,. )гм') — ' «)к Омаг.
(8-'а '. Така сфе)юр«с 0«е1в« Р«г«'ь, 'л с кол я 1«н Псов ««ь«бр««ть цо«1«мв1««звоч««ую коне«виту Равной / тг з 1 1Π— гч) 1)о ал )рь ен г«о сфе1« систем'' « «ц« является волной, так ло глобал непрерывная ва «опер;... «пе1«в««л«1 к«сьая цо «о функция Х(О, р1 мотке««3«лзь .ю ней '3;а с«:«н ~ «1, .=.! ~ л«хкева; Х(В, «Р)= ~~ ~~', Хоа 1;„,«О, Р) ! Хаа -- «1л„г). 11айлсюю«Р«юсввс угг««г«з«««о тпаввсв«ы «1ь«е«гт 1«1к стой «рвзвчеа„. смысл «««~е1«мо1 )злов«««моче«на в за а «е 4-1 есть ",у Х. = — й '1г и «з« 1 «8 ,. а в Ц ВЦ н Р 0-симметри м поле вв е2 = — ать.
(8 26) ф-,'.,"; е время в сферических координатах оператор имеет вид б,— — «7«х — — у-- = — й —- (8.27) ( Д ,;-;:;;:::::.:!:.дейсзвуя операто -;!:;:,~г.,'(О' (р) видим из (8. что оаератор каалрага момента прон а во а: еску«о функцию рами (8.26) и (8.27) на сферич 14), (8.17) и (8.20), что Х2у — К21 (1 1 1) у 3аким образом„сферические функции Угм являются собственными 1.::: ~фнклияь««««1««ораторов квадрата ~~~~~~~ и «н о з-проекции, отве гак«- -!::,'~)(Визг собственным значеню«м 821 (1+ 1) и Лт соответственно (т. е. '',;:яавставты разделения С и л«определяют орбитальное и магнитное !!!4(аг)«втовь«с «вела). условие (8.17) дает, следовательно, квантование ор"«яияльного момента (1.8'), а (8.18) - ограничение Х = (Х.,) '41-',~~(< (А,)~аа (1.23) и пространственное квантование (см. лекци«о 3, ,',~'.- а,:рз В центрально-симметричном поле все операторы Х, Х ., Х, Х., ком- "...и«,УФяру«от с «-амильтонианом (задача 4-7) и, значит, сохраняются.
Одна- ~~~!!;:3% как мы видели в лекции 3, п. 6, нс сугцествуст состояний, где были "':: Ъдд««парса«с«зно ючно определены все три проекции момента. В па- '""„:;~3,,слУчае осью квантованиа выбРана ось Я„позтомУ пРоекции Ха, Хт ,",-'аа ях«еют определенных значений. Поскольку фупкцни у~ образуют !,.'(!'-:-;, ауге орз««««нальную систему и сиани в силу уравнений (8.28) це- -=;::-""'.~Фиг определяются значениями операторов Х и Х2, то Х„н Х2 предав«ог с«'г«««й полный набор одновременно измеримых величин для «'« ~™«х в«' ~г««звьи функции ~.:,,:::.:-:,-',", сне'««зо, выбор оси 2 в качестве оси квантования произволен. Пс':;;-"',1«ЛДчдег к др)той оси означает некоторый просгранственный поворот и ,„-'.",."."'::.":;; - ет вь«бг:ру состояний с определенным (как и раньше, квантован- ~«га'е««г«««м г«рг ек ги««««о~ «ечгга ««а новуго ось. Рак как г«р«г поворо- .=„'г,';::!'~ Меняет .
-'-'я лигнь о)>иентация системы коорди«зат, то дз«ины векторов ~„-';~!ЕЕ " «ос'гю ься неизменными. Это означает, что преобразованное со'-'"~~йщ„, ф~"-"'!':.:,у': «1«е-просяному будет отвечать значению Х2 = 62Х (1 + 1). Позтс...ауеслв в "" об«лему правилу (8,24) угловую часть новой волновой лекции ЙО кВАнтовои мехАнике функции У!», (В', р' ) разложить по старым функциям 1! (О, З2) ю поженив отличными от нуля будут лишь члены с тем жс сак! чением 1 = )ч (О', «р') = ~~' В!;„,У!»,ф, !р) где кг«эффициенты разложения Й„;„«зависяз От углов повор!!и, 1!') темы координаа Таким образом, 21 ь 1 сферических функций.„' (,„иульж2!пчел!*') преобразуются дру! через друга при враще1 няэ„" ' лизуют лепр!!води.иое пре!)Сьчаеление группы ер«п!)ел!Из).
Очсвидвв,'-"' радиальнос уравнение (8.13) вообще не затрагивается пов!2)«отан~~.„';,,'.') При пространственном отражении (г -» — г) радиальная !асгь "" новых функций также не меняется (г — !), а в угловых фуи '-"" слсдуст преобразовап координаты 0- 2г — О, Р-и+)о. (3- ' При этом !12()О) — ( — 1)'»Ф(«р), а, согласно (3.19), р1„-» ( — 1)' '"Р! „ гго сферическая функция У1„, приобретает фазу ( — 1)'. Итак, «!ст4' состояния Определяется только всличнноп орбнтальн!Ио и и равна П = ( — 1)1, Подчеркнем, по этот результат спсцнфи«и$ одной частицы в центральном поле. в общем случае нет олнозв, связи углового момента с чстностью. Для снстемь! слабо в !аимод$,', вующих частиц в общем цснтралыюм поле полная волновая фув', сеть произведение одиочастичных функ!ц1й и полная чет1юсть .
П =(-1).' Приведем сщс некоторые полезные свойства сферических Ф~«--,' ций. При пашем определении (3.19) ) „, = ( — 1)'"У!»,. ( -' и пропорциола)):;к Прп и! — О сферические функции нс зависят от 1о полнномам Лежандра: 12)+ ! 1)~(1)):««). —..— Р! (Соя 6). Полипом Ле1каидра от косинуса утла между векторами и, и' Рас настоя по сферическим функциям («леореиа слоо!Сепиз!) Р!(й й ) = — к- „2 У!'„,(Л) У,»( У). ««« = -! ких функций: à — е!о з1п 12, 3 ')' е, НССКОЛЬКО ПСРВЫХ Сфейн*1СС ,Гз 1!о =- ! соя 6, )!! =— 1' 4Л вЂ” !-- — (3 сояз б — 1). ) 5 ) 1бз авнения П)реди!нера (8.35) «;.,~';.:,':~!стаю!Яя кошзтан1у С из (8.17), получим 2" + ~);2(г) — — — ---- у = О "-:!!~)а)))1альвое урю!Нсп ", «„'~фяеиию для дви =-':,~:Д1(«казенны!7 в (8.33) член равен, согласно (8.23 «' .;.;;": )~)т,себе!! Псы«!ро -;,'Ьраяиенис (3 3 " "-;А!3~тленные значсн '~~в(3 17) нк)!и -.-:.фафвчвс, ты;,„.о "«!:;')й)кис«ло! С).
11ри ка 1="'')1«;вх можно нумер '~~У~:ФУ1!Кция (3 1 2) !3««яи(1) = и««!(г) У!«««(О, у), ..)«;::: „. 'ргия ! . -.. Е !;в;эв» -Ф.',""; ' ' ,'-' ." ели л!«!сициал . 311!С! 1" н«1И обращ О!'!1Олпым в (8.37) (но на полуоси г > О) палс ие свелось к,„одномерному женпя в эффективном потепц Я2)(!» О б)(! ) =-- П(1.) * ---- 2»ж 2' 2««! беяглыи п!«и!Сиуиео!. 7) содержит вс!о специфику ия энергии Е. Поскольку маг я Е нс б)«дст От н«.го ~~в~~~т~ энергия не может зависеть о ждом 1 возможен целый наб ствующис сОстОя1п1я лежа! овать главнык! Ква!г!Олыы чп задачи и Определяет нитное число и! нс вхо(пОлс цснтрально-симт Оришзтации систсмь! Ор собственных значев дискретном спектре, слом п, так по волно- Б непрерывном спектре роль !лав1юго квантового энергия Е.
П(!) пе слишком сингуляр ается в бесконечность медле (8.33) оказывается центробе сн в начале координат нисе, чем 1«гз), то при жный член. Поскольк) Лоиия ья«ЮБ!Т), '.'„""''":,"р1лс»1« ,.":-:.Ф13) Г2 '»«ж) "'»»Одя к пов!«й фу Ж« — )12 — 1+ Аз(!) и — — и О о«г 102 лекции пО квАБТОВОЙ мехАнике он полозкителск, возникает Пгязгиробемаскый 6арзлср, прскяг,;3, проникновению частицы к Зю1пру. В области малых 1 у)завгзсзЗБС(8 сводится к слсдуюп гому: З(гз 3) Х" —; у=3), (83 и имсгп два линейка независимых решения Згсп 1 .3 3 Зиии«З Сингулярное рсшспис нс удовлетворяет физическому требоващгк,:." не люсзк волновой функции в центре, поэтому слелуст вьЗбрать ларисе )теггзсййе  — г, Амзьззгтуда Верояпзостп Зюпадайия под Ззсгггробзсзкйыгз ба)зьср, естествеййо, умсйьцгас.1ся с / Зз ззивгь' "' ЗлВОЛБЬЗ () — 0) ОТЛИЧНа От НУЛЯ В НаЧаЛЕ КООРДИНат: 1«и13(О) СС 33' сс(())— (8: ъ 4.
«3433 болсе сию ут1я)зныс иотснциалы прзгтязке3113я м01 ут ра зрс313кз 3, и на цьчгтр (32в, 8 35 1 и не встрсчаюз ся в реальных зада зах. ('Згззг)ля '" Зтегалкивательные потенциалы (например, для взаимодсйсгвкя к ков на очень малых расстояниях) иногда могут быть заменены тв непроницаемой ссргщевинззй, на границе которой волновая ф обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
