1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Йоэтому гуг " («у(у)1А) = уу ~г?,— гуг — ', у (уЯ1А>. (12.45) вг ад дчлбь 1) . ( й -=И~'ту,-й —,, Ч1„(,,), д1 да / 1аао ПХН1 Д гя стационарных состояний из (123 5'), (12.36). (12.46) и (12 4,"'ь Чтл(16 1) = Чья(7, О) е 'лаи ' = фл(Ч) е лл'а, (1 з Й г7, — 16 — еРЛ(Ч) = Вя 1,1(Ч) (ц'," да/ ким образом, все старые результаты получены здесь сдинь1ьет и менее строгим, способом. Мы видим, что волновая фу есть просто частный случай зависящих от времена аьптьь. ности. Произвольная амплитуда (А | В) может бьп.ь найдена', агам координатного представления: (А ~ В> =,.ь (А ~ а(т)) (Ч(т)! В) = (1~; = Х(Ф~) ~А)' (4~) ~В> ~ 1~а Ч~й, т)'Ь(Ч, «) Та лес пл (12 46) ве)зонт Поскольку координатная волновая функция щая состояние„локализованное в точке г'„ соглас с (3 15)) ТРь (г): — (г' ,г) = ь) (г — 6 частиць1, опис ио (12,3К) равва'- (1" остоглшн в 1се11, ) так: ,'ь (Р ~ г' ) =- ~ Вг Ч1р(г) Ч'д (6) 1Р-'(г ) = (г' 1Р)', (1 „, (10 18).
Ампл с определенны~~" (1$:;: (г 1 тб ~ Р> = Р (Р ~ р) = — 1л — (г , 'Р), д1 то амплитуда вероятности локализованного в г' с ноги представлении запишется из (12.43) и (12.46 что соптасуется с сооыюшением взаимности (1250) легко найти явно, так как для состояния пульсом ) Р> Ра ~Ф>= Р ~Р>, откуда в силу (12.43) находим Вводя шредингеровскую волновую функцию (10.12) 'Рл(д, 1) = (д (1)1А>, имеем уравнение 1Предипгера в координап1ом представлении г — 1ЕУ вЂ” е;) ,~~~(Х1е ' "11) Х а =1 (12.57) ;г уРАвнениядВижениядля ОпеРАтОРОВ 1ЗВ , координатная волнов~я функция состояния с опреде- Ф'-'-" 'тельно к иыг .'~ь™ (т: ) Р> = Чтй(г) = сонат ° е' лв1а (12,53) овна (3.7). Если нормировать неубывающую па бесковзрвуто функцию (12.53) в соответствии с (10.21), то ',:=~!"':-'- )у) = (Р ~Р'> =,) й' (Р1 > ('1Р> =,) Вггр Ч'р(") '1'„- (г) = 1 опа1 1г 3 сйеа = ~сопз1 1г (27тл)з б(Р— Р'), е''..-:--:::®~ироваииая на б-функци1о амплитуда (12.53) равна ~~ф,®)ьм" (.— ~ Р> = (Р У)' = —,,';з —;г- еь"".
(12. 54) .";.~(~)йец. ам1иипуда вероятности обнаружить у частицы в произволь- !~~4,-',сыстоьчши ~ А> значение импульса Р рави~ Кл(Р) = (Р ~ А> = .) Вг (Р 1Р> (» ~ А> = (12.55) -'~ъ; -'.- = — - — — - 3 сй е ' Рвьа Ч1л(Р), ~,я)З1г внивая с (3,12), видим, что получается фурье-преобразование ко- ,«)$~$р)атлой волновой функции Чтя(Р) = (Р ~ А) состояния ) А>.
:,':А~;Вазтогил1ым образом, используя соотношения коммутации, вы- :."111авлйьотся матричные элементы различных операторов в любом пред- ".'1~)чалеиии и с 1юмощью амплитУд (А ~ В> (игРающих Роль фуню1ий ЛРе- ";~.,'а)мав1жнвя) совершается переход от одного представления к друп1му. ~~!~"-.~~лана 1г-1.
Даеааат1ь Чта дда фиаатНОН СИСТЕМЫ Ж ЧаСтвц, МЕжду КатарЫМН ье~~.~азат снльл ааенсац1не только от координат частиц, слрааедлнаы арсенал е1аам "1я);>а1 .а 16 стацнонарные состоанна системы) г —,Я (ду — ЕГ) „>,(Х1ьа 11) 11г.56) л а =1 Тяааетнфеа~ .
'ае ф~енао Томаоа — райке — Куна (х-комнонента вектора дн~ольного момен- ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОИ МЕХАНИКЕ Й оператор А, не затильтопиа Ом РХ, есть Налиь1ИЕ ИНТЕГРВЛОВ усть система инвирм- О. При этом физиванин, сохраняющие РОВ, Поскольку дина- СВОЙС~~О инвариапт- Лв то в силу <13.2') ему 1да собственный векную энерппо Е, при Обладающий Вследст- непрерь1вными пре1ам сохранения, нмеости преобразования ования ()„а е сколь о ф, Й) = О. В силу даемой величины 1"". - правило сумм для флуяглуаннй еяоялюселн„так как 1>урье-кеннонен ента о '"'"З плотности А(Р) (4 18) равна л" (3( ) М» ~;1яей ьл Уклялнве. Воспользоваться тем, что для любою оператора Г1 в любо1 < Фа* Б) а1 И> '= 2 Х 1<У! а Р> 1 (ку — гь) н для снл, нс аалисяшвя от скоростей, аналосннно (4да), (1 =.
т (г, Й>=(е, Х)=1- в, 1--(Е~ -Е,)(Г(ей>=(; )рт,,> и Ь 13 СВОЙС3'ВА СИИМЕ3'РИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ур е еи . Движ. Ня <1224) любо ,й явно О1. времени и коммутируюший с гаь ;~~~3фйл движения: — =- 6. Лс ,~~(зф':я- в классической механике 132а, ~ 6, 7, 91„ фф~11вфньья тес1КО связш1О с с~~м~тр~еЙ спет~мы. П (1)ай)>1до относительно некотороп1 преобразования Фаю((яане смысл имеют лишь унитарные преобразо , векторов и свОЙстВВ зрмитовости Операто „хМЮФ:сйстеыь1 опреде11вется ее гамильтоиианом, ,Д3>4((:озиачае1; что при таком преОбразовании хГ = Оп()- = Й, ""'К, в(1Ой(ератор Г коммутирует с гамид ьтонианом: ОЙ =.
Й(). (1 ':;" ~сс(ап оператор () не содержит явно времени, 449~М а отвеча1ь некоторый закон сохранения. То ,;-',~~;.", к гамильиониана Й, име1ощий Определен ~~. ~~~~- разовалии (,' переходит в вектор Ф' = уФ 'М::,<13, е 2)'1ой жс знерьией отриы сначала симметрии, порождж'мыс 'я",, ваниями (они и только они приводят к закоь ;,~~-~ класс1шеские аналоги). и силу непрерывн жво ~зять бесконечно маль1М (см.
(5.29)): () =1+ (ВГ, Г=Г~, < „'-'гиясов гов оператор р' есп, генератор преобраз - ":" мало Инвариантность (13.2*) означает, чт ;р,"...,... сти ~'" мь1 имеем закон сохранения наблю лекции по квлнтсвои михянике ,я «З СВОИСТВЯ СИММБТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНННИН Простейшим примером является инвариантность замки; мы при временном сдвиге (однородность времени). Генераптр сдвигов является (см. (12.19)) сам гамильтониан Й„так «, ~л~ссичес~оЙ ~еханике, однойодность вйемени влече~ за собс,„-::., нение энергии замкнутой системы.
Рассмотрим теперь п)зостранствепный Сдви~ си~темы на вектор да, т. е. преобразование координат всех частиц ( 6) — О ) и) = ) зн) = ~ и + да). Генератор этого сдвига есть вектор Р, определенный так, что Ю(6а) = 1+ к)а Г. Пусть частица находится в состоянии ~ А). Совершенно ясно, что',"Ут литуда вероятности найти ее в сдвинутой точке и' = г + да раяККя литуде вероятности найти ее в старой точке и, если бы она нах ' " в „сдвинутом назад" состоянии с) ' (А): (зга ~А) = (() Й ~А) = (Й (б~ )А) = (и (() ' ~А).
Из (13.4) — (13.6) имеем: (и + да ~А) = (и А) + («)а 7) (Й ~А) =- = (Й ( А) — к)а (г ( Йт ) А); (и,' Е ~ А) = 1 т«(Й , 'А). Сравнивая (13.7) с матричным элементом (12.43) оператора им В кООрдинатнОМ представлении„нахОдим Г= — — р, а оператор (13.5) бесконечно малого сдвига на да С(«)а) = 1 — — ' (р да), я« Аналогично тому, как это сделано В (12.23), можно восстав (13.8') оператор конечного сдвига на вектор а: ()(а) = ехр ( — ! Раа/Й).
Ганны Образом, инва)нгантности системы ОтносительнО с 1 двигоя:;~. родность пространства) отвечает и в классическои, и и кван нике сохранение асинульса системы. орот системы как цело- но малого поворота на ннтя так же можно рассмотреть пои :.,'«Кергвенг «ф екоторой Оси ж 01тератор бесконеч пишсы В ВИДЕ (), (доз) = 1+ г 6«РР,. (1зйо) '~!::.":и « „я аналогичные (13.6), приводят к (и ()т, )А) = « —.
(г ~А)„ (13.11) «т««я ''~:::Й)зе«ритор 1.; пропорционален =-компоненте оператора момента им««««!,';'" ) (8 «7)* '«1!':::;.'!",, 1''т — — -' 7я, 1) я(С)«Р) = 1 — «- д«Р Е,. (13.12) я "' ' л ку все повороты Вокруг данной оси аддитивны (0(1р + д1р) = ""'-:,~~тт4я) 0(1о)), оператор конечного поворота равен, аналогично (13.9), Ст(«Р) = ехР ~- -'- 1,«Р (13.13) У« "В)в:классической механике, инвариантность системы относительно в (изотропия пространства) ведет к сохранению гиогиенгла ия«- ' (в центрально-симметри нюм поле (см.
лекцио 8) сохраняются .',, Ионенты 6, хотя они и не могут одновременно иметь определеп, ",4цФчсний; в аксиальном поле, БшгравлеБНОм ВЛОль Оси е, сохра: """"' «" ., ,„" ',ккгько соответствующая компонента У.,). Результат (13.12) де,.„-.;,;,:„Рирует причину некоммутативности (437) операторов Г„: в силу ~~~~~ив трехмерного пространства результат двух послеловательных в вокруг разных осей зависит от их порядка. ' «~~::;::.;,чя «З-т. Поя> «ить соотиотисиия (4.37), исхиля ит явного рассмотрения ио- '''~"::,." «ем ~еперь не имеющий классического аналога внутренний моиць1 -- спин.
Частица, находящаяся и определенном просту«« "Ом состоянии„может при этом характеризоваться разными ' т'Роскции вектора спина У на выделенное направление, т. е. Вйит««е1 У-"Рснние степени свободы. Ясно, что в этом случае волновая „-ФЕФ час пя с'ицы в координатном представлении долткна состоять из -''и компонент, каждая из которых дает амплитуду вероятности ":.'",: """ частицы в данной точке и с заданной проекцией е,.
(Для ««.:. Иии«о .'ттяйиаь. ОРмации компонент должно быть столько, сколько различ"" х«ожет принимать величина я,.) пекции ОО кнАнтовой меж~нике Проиллюстрируем это па простом примере. Пусть 1х -- и '- ный вектор с углами (), »р. При бесконечно малом повороте на вокруг. оси х он преобразуется йп О соз (р + д»р)~ д»Р) 1»х = ~ 1х ~. 561 8 51п (»Р ч д»Р)1= соз 8 1р — др з)п 8 51п»р 1'„— д~» 1»,;!.!:-'. 1е + д»р 51п 0 соз»р = 1» + ду )»„',,:;:,.~ I .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
