1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(1 Если подсистемы не взаимодействуют, то их моменты с//храня/в '*' состояние каждой подсистемы описывается моментом Лы; и его'2."и екцией т 621 (а также прочими квантовымн числами). То" да сос всей системы задается вектором Ф „„„„„„= — ) Лг/11', Хгп/2) $': /де остальные характериглнки состояния явно не указаны, Про во состою/ий с заданными Л, /2 нмеез размерность (2Л / 1)(Щ'ча векторы (16.2) могут быть выбраны как базис в нем. В<пыожпо, однако, что из-за взаимодействия между попса моменты .Хп У в отделы/ости не сохраняются. Тини атж/ прин„ является елин-орбипитьная связь — наличие в гамилтоппане пропорционального проиэведе/ви/о Х о операторов орби/влы)ахч.
спипового моментов. В силу (15.1') операторы Х2 и яг к//х/му/вру ... спил-орбитальным членом, т. е. квантовые числа Л == ( // /2 прежнему являются и/ егралами движения. Ио (Хх„Х. 5) магнитные квантовые числа //4 = аг/ и и/2 —— — т, не сохра//яютсях::'е"': стояния (16.2) нереста/от быть стационарнымн.
В то же время;г:::;; ленный член Х,5 является скаляром и не меняется при в11а/пенза~*;е. темь/ как целого. Поэтому гюлный генератор поворотов Х =. Х +!::;.::: храняется (13.14), соответствукнцие ему величины / и т (момен ,мент Ф:„, скция всей системы) являются хорошими квантовыми чис//ам/' -:.; парных состояний.
и пачерп 1) Х (2Х'2 л (Х) таблицы. По опрея называется моментом тояний с просадила/г/ от зможпый момент систе'ем; нни уго проекци + 1 сос сший во подсист /г / /г-2 2(/ /г/ ~ / Лахмиа 16 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ 166 еобходимо уметь делать г/реобразова//ие от базиса (16.2) у //ео ххх.
(16.З) г, а пРоекции /и/~ и т2 не име/от опРеДеленных значений. /тп название вектор/поен сяоз/ее//ия тол/ен/г/пе всс/о выясним, какие значения могут пробе/ать квантовые се11 системы в пространстве состояний с заданныа/иХ/ н /2. г~""~и,т все// , для олределепносп/ Л ) Х2 гм (рис. 16.1) г/рямо/о таблицУ с Размерами (2Л + + 1), так чтобы каждой /г//,/ однозначно соозветс остояние (16.2) с опре- ...
- '„, „„,, /1 /и Из (16.1) следует стояния (16.2) явльчотся Ипымн вскзорамн оператора 3, =.)/а +3„, (16.4) /ффй/венное з/лв/ение которо~о Равно /и= т/+ и;2 (16.4') максимальная величина полной проекции (гг)мах /Цаах П/! гаах + //12 а/ах Л + 22 (16. 5) , " ' состоянию отвечает правый верх фая()гю (лекция 15), максимальная ,;(1(~атеааь~у и еи о/нечаст мУльтиплет 2Х :.'.ф!~~;;Х) 'Итак, согласно (16,5), наины ; „. 4/)~Е'Палого равен сумме моментов Лаах Л + У2 (16.6) а/ /,гл//, ,+Х/г . + ,г 1 х,::::: Л" "1 ххх '. /г !~ /,ы Рис.
/Гх/ !66 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОИ МЕХАНИКЕ Рассмотрим теперь состояния (16.2) с полной проел!!и - 1!!' к*!ией;:. лицу меньшей чем (16.5): Гх Л + 22 ! (-(х) 1. Как видно из таблицы, таких состояний (+) оказываегся г!ц . (Л, л!! = Л 22„л32 = 22 1), )Л„хя — Л 1; 22, ль любая их линейная комбинация также имеет значение и, рави,! Однако в Уже найденном мультиплете (16.6) состогп!ий (16 3)1 ° ':.
+ 22, ш) тоже должно быть состояние с гл = 2! + 22 — 1. 11озтойвы из двух линейно независимь!х комбинаций векторов (1656) и '::". жит мУльтиплету (16.6). ВтоРаЯ, оРтогональлал к пеРвой, супер- хх состояний (16.7), очевидно, сама открывает новый ыульп!Лла!':„ есть мультиплет с максимальной проекцией (16.7)„!! е с ь!он' .': / /вех 1в)!+ !2 1, вялю'2акпций (2/ + !) = 2 (Л + 22 1) состоя!'Ни, У!12*' Л + 12.-';:)э( Перейдем к состояниям (), имеющим !я=Л+22 2- .й:;: Их будет уже три: |Л* л!! =- Л' У2 л!2 =- 22 2) !Л 'л! = Л 1 22.
л!2 = 22 16'::" ~Л, л!! = Л вЂ” 2; l2, ~~~ = 22). -::,ф. Рассуждая, как и раньше, видим, по из трех линейно пеза комбинаций векторов (16.9') две принадлежат предылушим мул,е там (16.6) и (16.8), а третья является „родоначалы!иксы" муль отвечающего полному моменту га! /'=Л+А — 2 и поэтому содержащего 2(!! + )2 — 2) + 1 состояний!22!2'Л+: — 2, л!). Легко видеть, что, двигаясь аналогичным образом по ™ .; рис. 16.1), мы будем на каждом шагу получать на одно состолянв, ше, чем в предыдущий раз, так ч.го каждый раз приле!ся отк~~;. но ый мул типлет с Л У ень!Пе ым,!а единицу. Ув и сии~';з мультиплетов закончится, когда мы достигнем состоя!Льй нв..:-, нныв;;..
выходящей из правого нижнего угла таблицы (заш!Рихова! "-:::: раты). Из этих состояний одно принадлежит минималыюму з,:::::- ,и зй (У2.),е!е = — 22, так что следующий шаг (1) даст Уже ровн! но т,„ количество соспжний, как и предыдущий, полому все !'!'и рзн;:, Лекция !6. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ 167 найденным мультиплетам и новых мультиплетов с еще У„че!!Кем не возникнет. :К мульт ,,тнглет с наименьшим моментом !' = 2!е!„Возникает после ,ы !2остигаем состояния с проекцией в„' когда х!" 22.
=.22 — й = — А, ,'",;, °:„„следовательно, 2в!„отличается от Твех (16.6) на 222 "'фФ:. хаЬ /в!. = Л + А — 26 = Л вЂ” У'2 (16.11) ~~':;::~'-'>; было бы Л в = .6 — Л). ,;.ЯььввУ!оп!Не шаги отвечают нсизменномУ числУ заполнаемых Ввдютов ло тех пор, пока минимальный из них (16.!1) не будет , !„„! залшшеи. Это произойдет, когда мы попадем на линию (! ), :="::" Шутю !и левого верхнего угла, т. е. минимальный мультиплет, как "ае"61!1з таблш!ы, содержит (22! ' 1) (212 + 1) + 1 = 2(/! — !2) + ! = 2У ""' 8ягнз!й, в соответствии с общим правилом (15.9).
После этого даль- " '"' ' шаги последовательно завершают построение мультиплезлэв с $йтамя~ возрастающих!и ог/в!е (16.1!) лоЛеех (16.6). '.-,'1~',~акйы образом, при сложении моментов !'!, Лт подсистем состояния '6 ."яйстемы образу!от мультиплеты, отвечающие определенным зна,, кь полно!.о момента У = Л + Л. Л + 22 — 1*" . ~ Л вЂ” А! (16. 12) ,";;(6Ржа!Лис по 22 - 1 векторов (16.3) с проекциями момента л! = ,.;,,":.-$:",.!'. 1голный момент (16.12) принимает меняющиеся через значения между суммой и разностью слагаемых — квантовь2й обы'шшо геометрического сложения векторов (лравш!о л!Рс- ,.- .,!1~!6) Из построения (или из (16.12)) следует, что число мультиВв:равно 22(+ 1, (1бэ, ! 3) ,'~~ 'МЕПЬШЕЕ ИЗ ЧИСЕЛ !!, !2.
'-:==.М., ТВЬ мы имеем два способа классификации состояний системы в ,-:;:,:,: (16.2) и (16.3). Число линейно независимых векторов в обоих „:., явлениях, разумеется, одинаково и равно числу клеток таблицы: != l!+ л (22 + 1) = (2у! + 1)(222 + 1) (16.14) I л .!2! н"""у суперпозиции (1О.!1) должно существовать унитарное -м ФЖЖвали (У!~я' узл!2 ~ !! 22' !гл) от одного базиса к другому твв уЗЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Л22* Лп> у~~~ЛУ/л 22У/2> Ьп/У ./2/У/2 ~Л/2~ /Уп) *Я ечууюу (.' иуъу прсОбразОвания (/улу,„' ~2/ууу ! //22, //П> = (/у/2', 2/П ~ /ууууу'„/2П/2> — = Г называются коэ4//40//у/иву/в/гулу/у Кле/у/у/а — Хордаууа (каууффууууне;.'-'..-:~ горного сложения). Принятому ушуовшо (15.14) вещественпосщ матрупуууьух эл„"' момента отвечает всгцествсууность коэффициентов Кууебуула ..
1 эе. Унитарность преобразования (16.15) означает фактически ууол~ зисов (16.2) и (16.3) и в силу вещественности коэффициептаь КдЕРе 1'Орлана сводится к двум саазлуошсууияьу о»ууоганальност~,. (/у/2', /та 1Лж~,' /2/п2) (/упуу', /2/у/2 ! /у/2,' /'уу/ > = = Х ':,"-'„,...'",'„-,=- еууыу Х (/упуь ~2/уу2 ~ ~г/2 /уп> (/у/2,' /уп ~Лпуь' ~2пуу> = ую (ф ле Поэтому преобразование, обратное к (16.15), дается той же м коэффициентов (16.15'): ~ йп0' /2'п2> =. „~,ь т ы 1Л/2' /УУУ>.
уы Рассмотрим простейшие примеры, на которьп. Моиз ну у/опята,::;у, сабьу вычисления коэффициентов Клебша — Горлана. йсую, что,„у одной из подсистем /2 -- О, та векторное сложение уривиаууултгЪ~"., ,У, — УП = Улн Г1УСтЬ ПОДСИСТЕМЫ ИМЕЮТ /у = У' =- 1!2 (Наэоасм ЯЯ' ° тицами" со спиуюм 1/2). Еуазисньус спиноры обозна/и/4п каь "(»;,. посредством Х,. Базис (16.2) состояний с определенными пров спинов частиц состоит из четырех векторов Хе(1)ХеР), Х -(1)ХеР), Хе(1)Х-(2), Х (1)Х -(2) для того чтобы классифицировать состояния па Определен/у//му: -„" му спину и ега ууроекции, т: е.
Явно вычислить каэффипиеууть' 1ордапа, будем действовать, как и в вьппеприведеппых 1уассу '::...",;~1 двигаясь от правого верхнего угла таблицы. ! 0 ,У 0 22 2 2 2 2 22 Пекуме Ув, ОПОжЕНИЕ МОМЕНТОВ УСВ 1/ 12) полный спин системы ноже/ принимать значения '~Р~ - -ня с /у = О, ь 1 — - уприюуепу) и 5 =- 0 (1 состояние с ясна ( =- 1, ,/суп) СОстОЯпис (А) с максимальными значсниЯми О = 1/2 ст»)ОитсЯ ОднОзначнО' -',-Г ~5 = 1,.~, = 1) = ~1 1> = Ху(1) Хе(2), (16.18) тсувуюуций коэффициент Клебша — 1ардана можно поло- ТакОЙ вьубар фазы ВОзмОжен всегда н мы п»уимсм ":!Кьааууьуьу у1 у уу /1 д (16.19) луу /уд уа имеем (левый нижний ууол таблицы) для 5, = — 1 = ' ~фмЧУУО -":1Д- 1 "2 , :1 — 1> = х-(1) х-Р). (16.13') улисса /паа состояния из набора (16.4) обладают Б, =. О и поэтому ."' "" принадлежать как триплету, так и сиууглету.
Триплегпая линей- $/~»»у(1(»йбиууадия ~ 1 О> сразу получается нз (16.18) действием понижаю- ''»ь»)»у/»~'~иерагора 5 = гу + ь2 (15.14): :;:;:~;:.:;:,",;,,:;;::::5- 11 1> = 2 ~ 1 О> = (зу-х -(1>) х Р) + х+(1> (Т2-х+Р)) = = х-.(1) х+Р) + хе(1) х-(2), зл 1;.„, ~1 О>= -/=- (х+(1) х-Р)+ х-(1) х+Р)>, (1620) 'ф~;, ' ъ2 (16. 20') ,;..., Ональууая к (16.20) линейная комбинация дает синглеу О 0> = -/= ( х,(1) х-Р) — х-(1) х+Р>) П 6.21) я2 (16.21') 2 2 2 2 2 2 2 2 '(16.18), (16.13'), (16,20) и (16.21) мы видим, что трипле гные соолулуепу/у чпуя относительно гуересгановки спинавых коордиЦ1-2,6 времякаксипглетаут „.супр е.о ра- РХ :/У:;;:: .
Нина можно написать согласно (15.16) через матрицы Паули ф; осящиссЯ к спинОвым переменным частиц 1 и 2 Х = - (б, + 62). (16.22) 2 Ж2 = — (д« + д~~ + 2 д«д2) = — (3 + д«37„) (1' Е".. другой сто)зоны, Оператор Я имеет собствснные знл3сапии Поэтому синглет и триплет являются также собствепнымн «рун:-.=' оператора д«д, отвечаю«ними собственным значе««иям + 1 (триплет). () пера гор 'то = 52 — 1 = — (1 + д«дт) 2 3 3~ Б ) )3' '' ,у — 3 1О )-~ 3 3') — --) = 31 3 Х+ 2 21 313 12 - -1= 1- 'ю 22/ )3 (1, — -) = 1- 31«о 2 2/ '1'3 Х,- -Ь 1 й« 3 Х- )3 Г2, Х+ 1 11«Х— 6 имеет собственные зна'«епня +1 и -1 для триплста и с333«отста ь' ветс'твенно, т. е.
Отвечает перес«ановке спиновь«х координат: (оператор сииноиосо обмена). Можно ввести просю«иою ьс В ры, проектирую«цие любое состояние системы па синглст или три, 1та ге ( (1 — Р') = 1 — - 52 = 1 (1 — д3«дт), '(, Л, = -(1+ У3) = -52 = — (3+ д«д2) (31~'-,... 2 2 4 задача 16-1. Построить аолиоауго функцию е онределе3333ць3 лол3333и дла алею рона иа р-оболочке. Отиет, Векто«Зное ело3кенне о«3битальио3.о цоцеьпа 1 = 11."и,« н е3™ дае3 каадрунлет1 =- 312 и дубле~у .— — 132 ССТВУС интс3 13 ОЧСВ« т замкнутое выала, Откуда МОЖ" «ДИО, ЧТО В СИЛУ От нуля ли«пь п)эи 2).
На самом деле оправны (три сто«иентов Клебп«ив согласнО соотно" а Всех проекций (16.29') РЛ3 1 31'. ;«екции 36 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ 373 дз,'„ф«~333333«с««тг«и КЛСбюа — ГО)ЗДана Су«ц тс ж,нс 3310го Рлдн или ЯскОтоРО3'О . ЬВВВИЮ '' ць« ~ войств этих коэффициентов 3;~,33,333«к«3 коэффициент 1:., „, „отличен ''-'97 3 3 ьц ментах 1', лежап«их в пределах (16.1 по момснть« 73, 72, 1' фактически рави гол«33««ка). ПОэ«Ому частО ВмсстО кОэффи« Виг р...1, „„„ы, --. — — ( 73 72 73 1 С,."', „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
