1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 34
Текст из файла (страница 34)
АА' ЯА' Г . АА'" (19.18') ,;-;;","::~'равнивая полученные результаты с (14.10), мы видим, что можно „"АяГГв в Операторь1 рождения и уничтожения квантов: 1 ьи ", .;+ М' Ь--Г. ААТ 11 ясз Аяц ГТАА )1 зз,я,2 АА' (19.19) (а —, аА,А,) = ды дААТ„ ,„,,;,:'лего гамильтониан (19 15) запгнпем в виде й=,'~ й,„-, АА (1920) 2 2- — --'-'-; (Ь -Ь + Ь -Ь -) = — — (аА-а - + а ААаАА), Теперь поле описывается числами Л2, фотонов сор- ~'-'!-"- РГа )ь„',-' мающими лкзбые целочисленные значения (фотоны по он, Г 'Л'Гиля тистике Бозе — Эйнштейна).
Как и для любого осцв,нгяг„„ знсргигг«пулевых колебании: полная зпергия основного сгз 'Ора, МЧ'.',г сутствие реальных кван~он, л „- = О) СГ стол х 1 Еб = ~, — Гиле 22 расходится. Для свободного злектромагнитного поля «ил Рас„о' ',-1 НЕ Су ЩЕСТВЕННВ (ЕО МОЖЕТ бЫТЬ П)ЗИНяТО За НВЧВЛО ОТСЧСГЛ),'д:г чнслип имп)льс злектромагнитиогО пОЯЯ ВыражаЯ сто зере1)'* Пойнтннга Х = — — («В х с".Зьа ) (см. (326, зе 32)); 4т Р = — ( сгг Ж(Р) = — ( г(г (5 зс сот' ) =,2 Выражая поля (19.9) через потенциал Огзг и переходя к Гзггератойа'"!.' Ко ПОЛУЧИЬГ ае = т -' л,„.
'- = т ге (я„, '), ле " 2а формулы (19.2О') и (19.23) полностью соответствуюг обьгчноь~! ' ставлению (см. лекцию 1) о фотонах как о часпщах схз)1 ' Е„- = йще —— йс)г и ньтулвсом р = лег, т. е. с массой, равной н)ГД(йз " м, ° то „улевой" ул В (19.23) в е в у тр15 ку)'ма. Задача 19-1.
Вычислить момегп Ь злектромапгитлого ггаггя. ге«редел ласло ь' = ~ аГГ (г и †.С(т)1. 2 Векторный потенциал (19.5), выраженный через г«ггсрагорвг',~;,е Рождспия и уничтожения квщгтов, имеет Вид А(Г', Г) = > Г "- Ез (ЕгегггЗ, + Е ' Итгд.,) 1йм Входящие сгола операторы имеют временную зависимость (1 ', , 1941. полагается для гейзсиберговских операторов свооолщзго по Согласно (19.25) оператор сЫ имеет ненулевые мат)зг" г'и'е - гые Зла«г для изменения числа фотонов 25гг = -ь 1(14.22). Очсрвлгзо* ' же свойствами обладазот и операторы полей с,гд (199)' .':;-!!в ,бл аплот'ВА средние значения полей равны пулю, если состояние О з.
' "' „ия З о КВАН'ГОВАНИЕ ЗЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛН зяб Лек гия киагггов. Для перехода к классическому пределу необ- Р 'чисЛОМ ГГЬ когсрснтнвге состояния (см. лекцию 14), ип, ко -Г;лей, вообще говоря, не коммутируют между собои и„ Ры г;Огг нс явльчотся одновременно измеримыми.
Бор и Розен'- ' ьно. Гщ «ь Ьгаза гв 1933), что лгобые две компоненты е' и ж:, усредненОи же пространственно-временной области, всегда из";Вг)ГГГОЁ Гг Го я ращых Обтгастей, кото)зьзе мОжнО связать сВетоВыми сит,;..' „„Ми т отличное от куля произведение неопределенностей, йознвка ' , В классическом пределе (Л вЂ” О илв л > 1). ~:.:: ~ а 1е2 дог акать, чзо огзеркгоры лолли и двух точках Гг, г) и Гг', г) ие комму::эигль сс'и ес.д гги г.о жи могкг быть свЯзаны световыми сигналами, т, е 1Р— г' ~ = с1г — г'1 ~аалисаГГИЯ ВЗВГГМОДЕЙСТВИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С СИСтЕМОй ЗаРЯДОВ и':":":.«(Свз, лскцюг 13) сделать в гамильтониане системы замену всех ' а'-"-""сов 15 - Ра — — ' стог"(и,).
Тогда члены взаимодействия будут 12 — гЛ'(Га) р2 2глг 2лга '.;='::::::::::=,',::::--: Х 1-"з- Гг« Аьг«Ь« ~Ге« аа — , г ГЕ«~ а .' а а и 2 „,.:~2)ябранной калибровке (19.1) рсФ =- ссз')з, тогда ;:„,,"';,:!',:::;-'и" = ~, ) — — "- Р,сгьг(~',) — "- ж~~(гт,)) = =Й~ Й2. (19.26) .ВЬУ-"(1925) 'Глен Й1 в (19.26) может менять числа фотонов на 1«ч~ )ь описывая излучение или попющение системой квантов поля. . Йт — в (19.26) дает сз.л = .ь 2, О, что отвечает двукван.„-:;~рсхолам вли рассеяиииз света ва системе (попгощеиие с по,"и испусканием или наоборот) щевз матричные злементьз оператора Й' (19.26), отвсчаюгцис ' фВЗГГ'ГЕСКИМ ПРОЦЕССам, КоторЫе НаМ ПОиадОбятся далыле ~;."::,::„-,.НВЕ СГГСТЕМОй Кааита М С ПЕРЕХОДОМ Г -ь у (л „+ 1; (' 1ЙГ ) и „-;, г) = ,.1,'.
-- (л — + 1) ()',' Х вЂ” ' (Р,е -) е '"" ~ ); 196 лвкции ггэ квантовой мвханикв 6) поглощение системой кванта М с переходом !- (и - — 1;7' !Й!)и„-;«)= Ьтяс к 1 ~~ де зА(1~.— <'-А) "~), кш! о а в) непускание системой двух квантов М ~ Х А' с перевел (двуквантовый переход) (л,А + 1, пгА + й „Е ! Йз (и,„-, и,,) = 2 — —,.'=' — -!'.= н ':.'-":,:-~ ! „'ачшк,ртр к ч( аа + 1)( кк р 1) (еза .з ) (7 ~ Х тли~ г) поглощение кванта М и непускание А А с переходом ! -ь 7' ние электромагнитной волны) ("зА 1 ляль Р "з ~ААз ~ "зА пяакп ') 2 г===' и ! осок к "4"зА +') "зА ('м ' )(7 ~Х- — ' "" "" Ф=': о 2"'о Если процесс происходит со свободной частицей, то начально~;.
печное состояния — плоские волны с импульсамн р, и ру е венно. Тогда матричные элементы (19.27)-(19.29) проиорц д-функции, выражающей заков сохранения !ль!и!льса и процвел)Оь а) д (р7 — р, + йй)„ 6) д (рг — р, — й!Ай в) д(р7 + М + М' — р,); г) д(р- + ййп — р„— йА). Для связанных частиц сохраняется полный импульс ст!с!елен'в:::.ь В реальном процессе кроме импульса должна сохраняться и'",.аь Для свободной частицы эти законы сохранения одновременно~в:;, Выполняться, излучение и поглощение света одновреыенио',, -,:„;, ны.
Однако рассеяние света (процесс г) возможно на свободна~~', 1326, з 73). аг ил!омАА'.,-,; задача ! в-к совершить квантование колебаний. в влек !роыл л!и'т!ом.,:.!А1 в !!епи с распределенными Л и С, воли в струне с закреплениьли! копна Литература: !2, ч 5; 6, гл. 1; 7, гл. 19; 21; 22; Зг" 'к -::!а СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ )2'2 льнов! !х задач допускающих точные репгения неВелико - 'тчасто а реальных ситуациях воздействие различных факторов чно„среди них можно выделить более и менее существен- ~~)ф удается точно решить задачу при пренебрежении менее важ';атакторами, то згпем их влпявше можно учесть как малую по- " '„::Обычно (хотя и не Всегда) Включение добавочных Взаимодейст,'"" ь слабо меняет волновую функцию системы и энергии стациосостояипй дискретного спектра.
Качественная картина дие" ''за) спектра сохраняет свои главные черты. Математически такое Означает аналитичность соответствующих физических хак, рассматриваемых как фуньз!Ии новых взаимодействий. ,',.',мо)кяо искать поправки к исходному (невозмущенному) реше'.:внде степенного ряда по интенсивносп! дополнительных факто'к *' ;1йкавуъ1ений). Суздествуют случаи, когда уже бесконечно слабое ве В каком-тО Отио!пении радикально меняе'!' невозмугценную , (в кдасш!ческой механике говорят; что исходное состояние ) (О!да рассматриваемая !Опке фОрма теории Возмущений '-М ся неприменимой ", .
Мотриы возмущения, не зависящие от времени (стационар.-„~~у~ть гамильюииан сисгемь! Может бьггь разбит на две часги Й = Йг+ яй', (20. 1) раме'р формально введенньзи' дт!я указания силы позмущс1в:„.1зредположив!, гго известны стационарные состояния ~ л)о дисъ' 'ектра и энергии Ео невозмущенной системы (я = О) 7т'о! Н)о = Е" 1п)о (20.2) " наи'!'и истинные стационарные состояния Ф, удовлетво- ',!.~:.ураввеви! 1А1 (Йо + дй')Ф = ЕФ, (20З) ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОИ МЕХАНИКЕ считая возмущение в каком-то смысле слабым (точныи кви г!й рите получен в ходе решения). Если возмУщенне Й' не мснлет гРаничных Условий ю г..) тор состояния Ф может быть разложен по полпои систем °, ных состояний , 'л)о.
Ф = ,« с„ ~ п)о. Подставляя (20.4) в уравнение Шредиш.ера (2ОЗ)„) мвожа,'!.; на вектор о(«л ~ и пользуясь ортонормированностью соотг,яннй.. найдем „'~ е„,(«в ! Ео + 8ХХг ! п)о = Е,," с„д„„„ гг л (Š— Ео,) с„, = д,," с,Н„,„, '':»г гг Нггггг = о(«л ~ Н ~ л)о. Система линейных однородных уравнений (20.5) ляя козф тов с„полностью зквнвалентна уравнению Шредингера (20.3).
при больпюй (или бесконечной) размерности матрицы (2О.У)":, решение невозможно; лищь с помощью ЗВМ возможна ~нсле)дг гоналнзация матриц большой размерности. Разовьем ре«уляриыв:." . построения последовательных приближений. Пусть ~ Х«)о — ««еяыХ«оз«еде«(«(ое стационарное сос«ояпие «ТО)« „включении" возмущения Н' оно перейдет в некоторое точнов, „ пие Ф» == ~ Х«), которое, будучи разложенным сощасно (20.4), с примеси с„других исходных состояний ~ п)о, и Ф»2 Пав)е и жение аню~итичь«ост'и равносильно гипотезе О плавном убыла)я(вгт переходе з«и'юпия зпер) ни Е В Е«о при е О. )йознгыУ Л,. шение для ~с-го стационарного состояния в виде О) 2 (2) с„, = д„,» + уса Р д с„+ ..., Е =- Е» + 8Е»п + М" +- Подстановка (20.6) в (20.5) дает систему уравнений (е»о — е) + де() + 82е»( + ...)(д„,» + 8с(,' + д е„+ "'»-" я где я фиксировано, а «л принимает различные знамен«)я.
(20,7') (20.8') сдвиг знергии (20.8) ния по невозмущен- ка ущеиию ВОЗМУЩЕ го поряд (20.8-) (20.9') (20. 10) (20. П) 2О СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМ)ЯЦЕНИЙ (вв сп ала в (20.7) л« = г«г, тогда ~'!--::: (8ЕО) + 82е»'" + ...) (1+ ас»п + азс»"'+ ...) = гя,'"'!'!.Ь' Х г (1) 2 (2) 2-.8г:.... = е ~„Н».,(д„» + Ес. + 8 с„+ . ) ""~»':-";: '- во)за « .;р о поряд по я в (20.7') дают Е»() = Неп (20.8) Е(2) + ЕО)ср) ч,",О) гг я»я~":(~бра)ем, в первом порядке по возм """яя'."с)реднеыу значению гамильтониана ""'':;~~стоянюо, а с точностью до второ Е = Е»з + 8ХХ»» + à — Е» с» ' +,г, Н»яс„ Яг'-"~~)(ения (20 7) ««1«и (ЕО ЕО + ЕР) + 2Е(2) + )( О) + (2) + (20.7") П (20.9) ;0) РО -о о (2) Ч (О + (Е» — Е„,) с„, =,г Н„',„с„, .
„ « яч я „.г~г)%9г) пол)'гаем примеси (л«Ф Х«) к ВОлнОВОЙ функции Ф-го урОВня сггг О о и» вЂ” ео (1(го ве ...-,:';:.,".;;..::: Рктор состояния (20.4) в первом приближении .%!:::,': = Ф» =- ~ Х() =- ~~' с„, ~ «л)о = ,Я (д„» + Ес, ) ~л«)о = ггг а =-'Чо(1+ ас )+ а,г. о «о-~ л)' О) Н.» ггг я» Е» Дггг ЛВКЦИИ ПО КВЛНГОВОИ МВХХНИКВ О) коэффицие)гг сг, дающий изменение веса исходи)зг)з, ':1 )ОГО СОС; по сравнению с единицей, остался пока ненайдепньж ' Ь, 1' ГЛ)са "')' из условия нормировки. С точ)юсгью до членов, прон 3 ' порцион, ':::::. (); ~«;) =1=-1+ с(с1,"+ ",и'), гак что коэффициепт с) оказывается чисто мнимым и с- ,0) 1 и сгяласлг)' дает несущественную общую фазу Ф.
Полагая с — —. 1) , ПОЛУч '"' ! У) = ! У)о + к Х -с -"-*'--! гл)3) Из (20.10) и (20.8") Е= Е~)+ИП)1 +ь Х "~3 ',О или с учетом эрмитовосги Н„» = (3)*гк,) 1))гс !2 Е =- Его + уН)я + ),2 х.' .о в„) Гг Гв Формулы (20. ! 1) и (20.12) полностью решакзт пас)з)влеинуа) нахождения векторов состояния и энергии уровней Метод и " ' тельных п)зиближс1)ий явлЯстся впО31нс рс1улЯ)зпым. так 'по Не. ' ляет труда вычислить поправку л)обо) о не слишком ль)соього При гном из структуры уравнения (20.7) легко понят)., чзо д))я- лспия энср)'ий в л-м порядке ассгда дОстатО 1310 31ш)ь ВОлновувй пи1о лишь в предыдущем (л — 1) порядке. В 1-м порядке, как в (20.11), к состояни)о ( 13)о примешиваются только те 1)евозиушс)3;, стояния ~ ш)р, которые связаны с исходным ) х)3) псисчеза)ол)1 ., ричиыми элементами возмущения г)".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
