1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 14
Текст из файла (страница 14)
У инвариантного тензора столько независимых компонент, сколько раз входит единичное представление в разложение тензорного представленияна неприводимые.Группу мы для простоты считали дискретной, но и для непрерывных групп можновывести аналогичное утверждение, интегрируя по группе.Пример 9.3 . Сколько независимых компонент у инвариантного тензора, если p = 2, n =3, G = SO(3)?Из разложения Клебша — Гордана (8.13) видно, что скалярное представление D(0)входит один раз, значит у инвариантного тензора второго ранга в трехмерном пространстве всего одна независимая компонента.
Это известный факт, потому что инвариантный тензор всегда записывается через символ Кронекера Tij = Tδij . По существу этоне тензор, а скаляр. Диагональная матрица с равными элементами так и называетсяскалярной.Пример 9.4 . То же самое, но для G = D3 . Характер 9-мерного тензорного представления D(1) D(1) дается квадратами значения характера D(1) , которые в свою очередьнаходятся по формуле (8.5):χi = 9 0 1 .1 1 11 1 −12 −1 0С помощью таблицы характеров группы треугольника найдем,D(1) D(1) = 2D1 D2 3D3 .Отсюда видно, что единичное представление вошло дважды, а следовательно тензоримеет 2 независимые компоненты.В классической механике известно, что когда мы вычисляем тензор инерции невесомого треугольника с расстоянием от центра до каждой вершины R,у которого в верхней вершине расположена масса m1 , а приосновании массы m, получитсяyIzz = (m1 + 2m)R2 ,IxxxR= m1 R + 2m22!2= (2m1 + m)pIyy3= 2m R2R2,2!2= 3mR2.2Если имеется симметрия правильного треугольника, то m1 = m, и волчок становитсясимметричным: Ixx = Iyy 6= Izz .
У тензора, приведенного к главным осям, остается толькодве различные компоненты.Чем ниже симметрия, тем больше независимых компонент у инвариантного тензора, как видно из таблицы 9.1, если двигаться вдоль строки слева направо. Для группSO(3), SO(2) приведем также разложения по инвариантным тензорам при p 3Pi = 0, Qij = Aδij , Rijk = Beijk ;Pi = Ani , Qij = Aδij + Bni nj + Ceijk nk ,Rijk = A1 δij nk + A2 δik nj + A3 δjk ni+B1 eijl nl nk + B2 ekil nj nl + B3 ekjl ni nl + Cni nj nk ,(9.7)9.3.
Правила отбора65Таблица 9.1. Количество линейно независимых компонент инвариантных тензоров рангаp = 1, 2, 3, 4 при n = 3.Ранг p SO(3)10213143T0127D302415SO(2)13719где ni единичный вектор вдоль оси вращения в группе SO(2), буквы A, B, C обозначаютпроизвольные независимые константы.Для тензора, инвариантного относительно группы SO(2) < SO(3), можно былорассуждать и иначе. Инвариантный тензор, для примера второго ранга, определен натаких сферических функциях, которые не преобразуются при вращении вокруг оси z,т.е. имеют угловую зависимость eimϕ с m = 0.
Тензор второго ранга преобразуется какпроизведение двух векторов, значит задача сводится к вопросу, сколькими способамимы можем получить зависимость с m = 0, возводя в квадрат характер неприводимоговекторного представления SO(3)χ(1) (ϕ)2= e−iϕ + 1 + eiϕ2.В данном случае имеется три таких слагаемых, поэтому число независимых компонент3.Упражнение 9.1 . Объясните, почему в выражении (9.7) тензора третьего ранга Rijk ,инвариантного относительно группы SO(2), нет слагаемого, пропорционального eijk .Упражнение 9.2 . В таблице 9.1 в колонке D3 содержится “опечатка”. Найдите ее.9.3.Правила отбораВ квантовой механике приходится вычислять многочисленные матричные элементы операторов. Чтобы сократить работу, хочется заранее знать, какие из них равнынулю. Такие переходы называют запрещенными, а закономерность, по которой их находят, называется правилом отбора.
Если известна группа симметрии системы, то такиеправила можно найти с помощью теоретико-групповых соображений. Для этого надознать, как преобразуются оператор, начальное и конечное состояние.Пример 9.5 . Если начальное состояния атома вырождено по проекции M углового момента J, тогда волновая функция представляет собой столбец из 2J + 1 компонент. Есликонечное состояние имеет момент J 0 , а нас интересует правило отбора для дипольногомомента (3 компоненты), то всего имеется ν(J, J 0 ) = 3(2J + 1)(2J 0 + 1) матричных элементов для каждого набора J, J 0 . Если бы не симметрия относительно вращений, надо былобы вычислять ν(J, J 0) интегралов для каждой пары J, J 0 .
К счастью, квантовая механика [2] дает правило отбора J 0 = J, J 1, которое резко уменьшает объем вычислений.Ниже мы выведем общее правило отбора для системы с симметрией относительно преобразований произвольной группы. Квантовомеханические правила отбора для669 ПРАВИЛА ОТБОРА^ преобгруппы вращений тоже будут получаться из общего правила. Пусть оператор Oразуется по представлению Do группы G, а начальное и конечное состояния — по представлениям Di , Df . Тогда матричный элемент^ iOfi = hf|O|iможно представить себе в виде столбца, который преобразуется по прямому произведению представленийD = Df Do Di .(9.8)Здесь означает сопряженное представление, которое получается комплексным сопряжением.
Представление D можно разложить на неприводимые представления D(α) группы G:DKD=(α)α=1(9.9).В прямой сумме могут встретиться и одинаковые представления, поэтому мы не пишемкоэффициенты kα . Такое разложение можно найти, перемножая характеры представлений Df , Do, Di .Перейдем в подпространство какого-либо неприводимого представления и усредним по группе. Для простоты группу считаем конечной. Столбец матричного элементане должен зависеть от элемента группы, тогда011 X (α) AD (g) Ofi .Ofi =|G| g2GСумма обращается в нуль в силу ортогональности неприводимого представления D(α)единичному представлению. Исключение составляет случай, когда D(α) само являетсяединичным представлением. Тогда сумма, деленная на порядок группы, даст единицу.Теперь мы можем формулировать общее правило отбора относительно произвольнойгруппы.Теорема 9.2 .
Матричный элемент Ofi равен нулю, если в разложении (9.9) представления (9.8) не входит единичное представление.Пример 9.6 . Найти правило отбора оператора дипольного моменту в группе SU(2) напереходе J − J 0 .Дипольный момент µ = er преобразуется по векторному представлению D(1) . Волновые функции начального и конечного состояний0f 0 | = hf|D(J ) ,hОтсюдаhD0= D(J )ih|i 0 i ∼ D(J) |ii,0D(1) D(J) = D(J )iD(J−1) D(J) D(J+1) ,(9.10)Если J > 1. Видим, что единичное представление войдет в разложение, если J 0 = J −1, J 0 = J либо J 0 = J − 1. Получилось правило отбораJ 0 = J, J 1.Случаи J < 1 рассмотрим отдельно, их всего два.
При J = 1/2 скобка в формуле(9.10) согласно правилу (8.6) равнаD(1/2) D(1) = D(1/2) D(3/2) ,значит J 0 = 1/2, 3/2. При J = 0 та же скобка равна D(1) , откуда J 0 = 1.9.3. Правила отбора67Таблица 9.2. Правила отбора для векторного оператора в системе с группой симметрииD3 . Номер строки означает номер начального представления, а столбца — номер конечного.i\ f D1D1 D2 ⋆D3 ⋆D2⋆⋆D3⋆⋆⋆Пример 9.7 . То же самое, но в группе треугольника D3 .Характер представления D(1) равенχ(1) = 3 0 −1 ,откуда найдем разложения прямого произведения этого представления на каждое неприводимое представление группы треугольника Di = D1 , D2, D3D1 D(1) = D2 D3 ,D2 D(1) = D1 D3 ,D3 D(1) = D1 D2 D3.Переход разрешен, если представление Df , по которому преобразуется конечноесостояние, входит в прямую сумму правой части.
Запишем правило отбора в виде таблицы 9.2, в которой звездочкой обозначим, что переход разрешен, а кружочком — запрещенные переходы. Полученное правило отбора можно сформулировать одной фразой:переход запрещен между двумя одинаковыми одномерными неприводимыми представлениями.Дополнение: Симметризация базисаСначала сократим формулы (8.1), (8.2) для действия матриц представления навекторах базиса, пропуская лишние буквы u, vD(g)|ki =NX|lihl|D(g)|ki =l=1D(g)|ii =j=1[D(g) D(g)] (|ki |ii) =Dlk |li,l=10NXNX0|jihj|D(g)|ii =XNXDji |ji,j=1|li |jiDlk (g)Dji (g).(9.11)l,jЕсли тензорное произведение симметризовано, то и базис должен быть симметризован. Переставляя индексы k ↔ i в формуле (9.11) для действия тензорного представления на симметричный базис найдем[D(g) D(g)]X11(|ki |ii + |ii |ki) =|li |ji [Dlk (g)Dji (g) + Dli (g)Djk(g)] .
(9.12)22l,j689 ПРАВИЛА ОТБОРАТеперь из (9.12) можно вычислить след, характер симметричного представленияχs (g) = tr Ds (g) =1[Dlk (g)Dji (g) + Dli (g)Djk(g)]j=i,l=k =21= [Dkk (g)Dii (g) + Dki (g)Dik (g)] .2(9.13)Первое слагаемое в формуле (9.13) представляет собой квадрат следа χ(g) матрицыD(g), а второе — след квадрата матрицы Dki (g)Dik (g) = tr D2(g) = tr D(g2). Отсюдаполучается формула для характера симметричного тензорного представленияχs (g) =i1h 2χ (g) + χ(g2 ) .2Остальные формулы симметризации, приведенные в конце раздела 9.1., предлагаетсявывести самостоятельно.Лекция 10Функция Грина10.1.Полуоднородная задачаDS = ∂DРассмотрим компактную область D Rn евклидова пространства^ — дифференциальныйи два линейных оператора, один из которых L^ — порядкаоператор порядка N — определен в области D , a другой B(N − 1) — действует на ее границе S = ∂D . В математической физикенаиболее распространен случай N = 2.
Общая постановка неоднороднойзадачи для дифференциального оператора записывается в виде уравнения в частных производных и граничных условий. Неоднородную задачуможно разбить на две, которые называются полуоднородными:^ Lu^ = f, Bux2D^Lu^Lux2Dx2Dx2S^= f, Bu= 0,x2S^Bux2S= g,(10.0)= 0,(10.1)= g.(10.2)В силу линейности если u1 (x) — решение задачи (10.1), а u2 (x) — решение задачи (10.2),то их сумма u(x) = u1 (x) + u2 (x) будет решением неоднородной задачи (10.0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
