1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Найдем функцию Грина двумерной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в верхней полуплоскостиu4∂2 u ∂2 u+= 0,∂x2∂y2u(x, 0) = g(x).Сначала найдем функцию Грина первого рода, действуя, как в примере 11.2 , нопользуясь двумерным фундаментальным решением (11.5). Нить — изображение поместим в нижней полуплоскости на равном расстоянии, подобно тому, как мы делали сзарядом-изображением в трехмерном случае (рис.
11.1). Получим функцию Грина первого родаqq10 20 2ln (x − x ) + (y − y ) − ln (x − x 0 )2 + (y + y 0 )2 ,G(x, y, x , y ) =2π00которая обращается в нуль на оси x. Значит функция Грина второго рода для задачиДирихле получится после дифференцирования по y 0 при y 0 = 0 :∂G =GS (x, y, x 0 ) = −∂y 0 y 0 =0"12(y − y 0 )2(y + y 0 )=−−−4π(x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 (x − x 0 )2 + (y + y 0 )2Тогдаu(x, y) =∞Z−∞#=y 0 =0dx 0y0)g(x.(x − x 0 )2 + y2π1y.π (x − x 0 )2 + y212.2. Потенциалы простого и двойного слоя85Пример 12.2 . Решить задачу Неймана для области из предыдущего примера, т.е. найтирешение уравнения Лапласа в верхней полуплоскости, производная которого принимаетна оси x заданное значение h(x).Функция Грина первого рода отличается от предыдущего примера тем, что нить —изображение надо взять того же знакаG=qq1ln (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + ln (x − x 0 )2 + (y + y 0 )2 ,2πчтобы удовлетворить граничному условию"∂G 2(y − y 0 )2(y + y 0 )1+=∂y y=0 4π (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 (x − x 0 )2 + (y + y 0 )2#= 0.y=0Функция Грина второго рода строится ограничением на ось x, то есть подстановкойy0 = 0ih1ln (x − x 0 )2 + y2 .GS = G|y 0 =0 =2πРешение задачи Нейманаu(x) =∞Zhiln (x − x )2 + y2 h(x )00−∞dx 02πсуществует, если выполнено условие разрешимости∞Zh(x) dx = 0.−∞Решение определено с точностью до константы.Упражнение 12.1 .
Найдите функцию Грина второго рода для задачи Дирихле в единичном круге. Воспользуйтесь функцией Грина первого рода в полярных координатах(11.9).Пример 12.3 . Адамара. Чтобы ответить на вопрос, почему мы решаем задачи Дирихлеи Неймана для уравнения Лапласа, а не ставим задачу Коши, приведем пример, которыйпринадлежит Адамару. Попытаемся решить двумерную задачу Коши, точнее целуюпоследовательность задач при m = 1, 2, . . . , в верхней полуплоскостиu = 0,4u(x, 0) = 0,∂u sin mx= νm (x) =.∂y y=0mПеременные разделяются в декартовых координатахu(x, y) = X(x)Y(y),X 00Y 00=−= −k2 ⇒ X = sin kx, Y = shky.XYРешение уже удовлетворяет первому граничному условию, а если выбрать коэффициентcm = 1/m2 и k = m, то получим решение задачи u(x, y) = sin mx shmy/m2 .При m → ∞ функция νm (x) может быть сделана сколь угодно малой, а решение получилось неограниченным.
Значит задача поставлена некорректно. Корректнаяпостановка задачи по Адамару включает в себя в дополнение к существованию и единственности решения еще и требование устойчивости решения относительно малых шевелений граничных условий. В данном примере сколь угодно малые изменения нулевыхграничных условий приводят к катастрофическому изменению решения задачи Коши.8612.3.12 ФУНКЦИЯ ГРИНА ВТОРОГО РОДАУравнение ГельмгольцаМы уже построили обратный оператор к лапласиану.
Но чтобы закончить краткий обзор основных эллиптических операторов, надо рассмотреть еще один важныйслучай — оператор Гельмгольца^ = 4 + k2 .LЕсли перед k2 стоит знак минус, такой оператор тоже называют оператором Гельмгольца. Уравнение Гельмгольца возникает в задачах электродинамики и оптики, когда мыищем решение волнового уравнения в виде монохроматической волны. Такое же уравнение возникает в квантовой механике, если нас интересует стационарное состояниеуравнения Шредингера для частицы во внешнем поле.Можно построить две функции Грина первого рода для трехмерной задачи, каждая из которых обращается в нуль на бесконечности. При k = onst обе явно выписываются0eik|r−r |.(12.4)G =−4π|r − r 0 |Они обе удовлетворяют уравнению и граничному условию, имеют правильную особенность при r = r 0 .
В этом можно убедиться локальным интегрированием, аналогичнотому, как мы искали особенность (11.6) фундаментального решения уравнения Пуассона. Причем и ответ получится тот же самый, потому что член с k2 при локальноминтегрировании обращается в нуль. Функция Грина G+ называется расходящейся, а G−— сходящейся волной. На практике та или иная функция выбирается в зависимости отпостановки исходной физической задачи. Функция Грина с постоянным k иногда можетбыть полезной и для уравнения с переменными коэффициентами. Продемонстрируемна примере, как она позволяет свести дифференциальное уравнение к интегральному.Пример 12.4 .
Стационарное уравнение Шредингера имеет вид!4+k202mU−ψ = 0,h2где k20 = 2mE/h2 . Если потенциал U мал по сравнению с полной энергией E, можно строить теорию возмущений для задачи рассеяния, считая невозмущенное решение плоскойволной ψ0 = exp ik0 r:ψ(r) = eik0r + ψ1 (r).В задаче рассеяния при больших r решение состоит из плоской падающей волны и расходящейся сферической рассеянной волны. Сходящейся волны нет, поэтому неопределенность снимается и мы пользуемся функцией Грина G+ . Найдем интегральное уравнениедля поправки первого порядка ψ1 :Z2mψ1 = ψ(r) − ψ0 (r) = G+ (r, r 0) 2 U(r 0 )ψ(r 0 ) dr 0 ,hкоторое называется главным интегральным уравнением теории рассеяния.Интегральное уравнение решить во всяком случае не легче, чем дифференциальное, однако для интегральных уравнений обычно удобнее строить разложение по маломупараметру.
С точки зрения теории интегральных уравнений это уравнение Фредгольмавторого рода. Такие уравнения можно решать с помощью итераций и получать разложения в ряд, который в математике называется рядом Неймана, а в физике борновским:Z2mψ(r) = ψ0 (r) + G+ (r, r 0 ) 2 U(r 0 )ψ0 (r 0 ) dr 0 +hZZ2m2m+ G+ (r, r 0) 2 U(r 0 ) G+ (r 0 , r 00) 2 U(r 00 )ψ0 (r 00 ) dr 0 dr 00 + . . . .hh12.3. Уравнение ГельмгольцаОтдельныечлены87борновскогорядаможноизобразитьграфическиИнтеграл по r 0 в первой строчке формулы —первое борновское приближение — описываетоднократное взаимодействие частицы с полемUUUU. Следующий интеграл по r 0 , r 00, записанныйво второй строчке формулы, обозначается второй диаграммой, которая показывает, что частица дважды взаимодействовала с полем,один раз в точке r 0 , а второй раз в точке r 00 и т.д.Область применимости борновского приближения (область сходимости ряда) можно найти из условия малости первого члена разложения по сравнению с нулевым.
Оценка интеграла получается, если учесть, что интегрирование по поперечным координатампо отношению к вектору k0 проводится до радиуса взаимодействия R, а по продольнойкоординате — до 1/k0 из-за осцилляций ψ0 :2mU 1 2 1Rh2 k0 R1,где U — характерная величина потенциала взаимодействия. Если учесть, что при E Uk0 = mv/h, где v скорость частицы, то условие применимости сводится к неравенствуT=Rvτ=h.UВремя T пролета через яму должно быть меньше характерного времени τ, за котороеменяется состояние. При малых скоростях, продольный интеграл обрезается не на 1/k0 ,а на расстоянии R, тогда условие меняетсяUh2.mR2Потенциальная энергия должна быть мала по сравнению с энергией локализации.Упражнение 12.2 . Пользуясь преобразованием Фурье, выведите формулу (12.4).Лекция 13Нестационарные уравненияКак мы убедились, для эллиптических уравнений краевая задача ставится на замкнутой поверхности — границе S компактной области D или на бесконечности.
Дляпараболических и гиперболических уравнений имеется еще и начальное условие приt = 0. Для уравнения теплопроводности требуется одно начальное условие, для волнового уравнения — два. Пусть теперь D Rn — начальная гиперповерхность t = 0, гдезаданы начальные условия. Решение надо искать в области Ω = D R+ , то есть приt > 0. Надо найти то решение, которое одновременно удовлетворяет и начальным, и граничным условиям. Такая постановка называется смешанной краевой задачей.
В любомслучае во всем (n + 1)-мерном пространстве-времени условия ставятся на незамкнутойповерхности — на части границы области Ω: на начальной гиперповерхности и на боковой поверхности D [ (∂D R+ ). В основном мы будем рассматривать частный случай,когда начальное условие поставлено во всем пространстве D = Rn , а граничные условиязаменяются требованием убывания решения на бесконечности. Для гиперболическихуравнений ставится и задача Коши только с начальными условиями в компактной области, но решение такой задачи не удается продолжить на произвольные времена.13.1.Параболические операторыВ качестве главного примера параболического уравнения мы будем рассматриватьнеоднородное уравнение теплопроводности∂u− 4u = f(x, t).∂tПрежде, чем строить функцию Грина, надо убедиться в отсутствии нулевых мод уоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными и граничными условиями. Для этого сформулируем соответствующий принцип максимума для смешаннойкраевой задачи.
Ограничимся для простоты случаем одной пространственной переменнойut = uxx ,(13.1)когда нулевые начальные условия заданы на отрезке D = [a, b], а граничные условияпри x = a и x = b. Пусть требуется построить решение при 0 6 t 6 T , тогда область Ωбудет прямоугольником.8813.1. Параболические операторы89ЕдинственностьA’ tTγΩAB’ΠxBНа плоскости (x, t) рассмотрим объединение начального отрезка AB: t = 0, x 2 [a, b] = Dи краевых отрезков x = a, t 2 [0, T ]; x = b, t 2[0, T ]. Обозначим это объединение Π (по форме эта часть границы напоминает перевернутуюбукву П). Обозначим буквой γ пунктирный отрезок A 0 B 0 : t = T, x 2 [a, b]. Вместе они составляют замкнутую кривую — границу области Ω:Π [ γ = ∂Ω.Теорема 13.1 . Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
