1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Другими словами, имеется n2 -мерный вектор-столбец w, такой, что Aw = 0.Линейная оболочка таких векторов w представляет собой ядро Ker A линейного преобразования A. Умножим (A.2) справа на w:AD(2) (g)w = D(1) Aw = 0,тогда D(2) (g)w 2 Ker A, а значит L = Ker A — нетривиальное инвариантное подпространство относительно группы матриц D(2) (g). Это противоречит предположению онеприводимости.Пусть теперь строк у матрицы A больше, чем столбцов (n2 < n1 ), тогда еестроки линейно зависимы и существует n1 -мерный вектор-строка v, такой, что vA = 0.ОтсюдаvD(1) (g)A = vAD(2) (g) = 0,105т.е.
vD(1) (g) 2 Ker A, и L = Ker A снова оказывается нетривиальным инвариантнымподпространством относительно группы матриц D(1) (g).Пусть теперь матрица A квадратная, но вырожденная: n1 = n2 , det A = 0.3.Тогда у матрицы A имеется нулевое собственное значение, а подпространство собственных векторов w, отвечающих этому значению: Aw = 0 образует ядро w 2 Ker A:D(1) (g)Aw = AD(2) (g)w = 0 ⇒ D(2) (g)w 2 Ker A. Имеется нетривиальное подпространство Ker A, инвариантное относительно D(g). Опять получается противоречие спредположением о неприводимости представлений (A.2). Мы доказали, что матрица Aквадратная и невырожденная, а следовательно имеется обратная матрица A−1 , представления D(1) и D(2) эквивалентны и их размерности равны, либо A = 0.Теорема A.4 .
(Вторая лемма Шура) Матрица, перестановочная со всеми матрицами неприводимого представления, пропорциональна единичной.Пусть AD(g) = D(g)A для всех g 2 G. Пусть w — собственный вектор: Aw = λw.Подействуем на вектор w правой и левой частями равенства AD(g) = D(g)A:AD(g)w = D(g)Aw = λD(g)w,тогда D(g)w — тоже собственный вектор оператора A, принадлежащий тому же собственному значению λ. Поскольку представление неприводимое, инвариантного подпространства относительно D(g) не должно быть. Линейная оболочка векторов D(g)wсовпадает со всем пространством F n , когда g пробегает всю группу. Любой вектор является собственным с собственным значением λ, откуда A = λE, где E — единичнаяматрица. Такая матрица, пропорциональная единичной, называется в линейной алгебре скалярной матрицей.Теорема A.5 .
(Соотношение ортогональности)Xh(α)i|G|δαβ δik δjl ,nα(β)Dij (g) Dkl (g) =g2Gnα = dim D(α) ,(A.3)где D(α) , D(β) — при α 6= β унитарные неэквивалентные неприводимые представ(α)ления, а Dij — элементы матрицы D(α) .Обозначим сумму по группеMjl (α, β, i, k) =X h (α) i (β)Dij (g) Dkl (g),g2Gгде индексы матричных элементов Mjl пробегают значения i, j = 1, . . . , nα , k, l = 1, .
. . , nβ,nα , nβ — размерности неприводимых представлений номер α, β, а верхние индексыα, β = 1, . . . , L1 пробегают номера всех неприводимых представлений. В силу унитарности представленийDαij (g) = Dαji (g−1).(A.4)Для всех допустимых значений α, β, i, k матрица M связывает два неэквивалентных неприводимых представления. Действительно, пользуясь (A.4), получимnαX2(α)Dmj (g)Mjl(α, β, i, k) =nαX X4g 0 2Gj=13α)(α)(β)Dij (g 0 )Djm (g−1 )5 Dkl (g 0 )j=1nβi XXX h (α)(β)(β)(β)0 −10−1Mmq (α, β, i, k)Dql (g),Dkq (g g )Dql (g) ==Dim (g g )g 0 2Gnβq=1q=1106A СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЙили в матричной форме для любого g 2 GD(α) (g)M(α, β, i, k) = M(α, β, i, k)D(β)(g).Тогда в силу первой и второй лемм Шура(A.5)M(α, β, i, k) = δα β Enα λ(i, k).Здесь Enα — единичная матрица порядка nα (Ejl = δjl ), а множитель λ зависит только отчисел i, k.
Этот множитель находится, если взять след от левой и правой частей (A.5)при α = β:nαnα X hiXXXX(α)(α)(α)(α)Dij (g) Dkj (g) =Dki (1) = |G|δki .Dkj (g)Dji (g−1 ) =nα λ(i, k) =g2G j=1j=1 g2Gg2GОтсюда и следует соотношение ортогональности (A.3).Теорема A.6 . Все неприводимые представления абелевой группы одномерны.Предположим противное, пусть размерность неприводимого представления абелевой группы G dim D(g) = n > 1. Рассмотрим элемент группы g 6= 1. Поскольку матрицаD(g) коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления, по второй леммеШура она скалярная, что противоречит предположению о неприводимости.Теорема A.7 .
Число неэквивалентных неприводимых представлений равно количеству классов сопряженных элементов.Пусть R(g) — матрицы регулярного представления группы G размерности N = |G|. Напомним, что регулярное представление строится по таблице умножения группыgk = gi gj :Rkj (gi ) = Tijk ,где i, j — номера строки и столбца таблицы умножения, а k — номер элемента группы,стоящего на их пересечении (см. стр.15).
Построим вспомогательную матрицуM(x) =NXxi R(gi ),(A.6)i=1где gi — элементы группы G, а xi — комплексные числа, которые будем рассматриватькак координаты некоторого вектора x = (x1 , x2 , . . . , xN ).1. Сначала покажем, что M(x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0. Если x —нулевой вектор, то M = 0 по построению. Пусть теперь M = 0, а матрицы регулярногопредставления получены из единичной матрицы порядка N перестановкой столбцов.Тогда k-я строка матрицы M состоит их координат вектора x, переставленных в другомпорядке. Значит из того, что строка нулевая, следует равенство нулю всех координатxi .2.
Пусть существует K неэквивалентных неприводимых представлений группы G.Как мы показали в лекции 3, каждому из них отвечает характер χ(α) (σa ), где верхний индекс α = 1, 2, . . . , K нумерует неприводимые представления, а нижний индексa = 1, 2, . . . , L — классы сопряженных элементов. Как следует из (3.4), все векторы характеров ортогональны, если рассматривать скалярное произведение с весом, равнымчислу элементов pa в классе σaLi1 X h (α)pa χ (σa ) χ(β) (σa ) = δαβ .|G| a=1107qМожно было бы перейти к векторам χ~ α (σa ) = χα (σa ) pa /|G|, которые были бы ортогональны в обычном смысле. Число векторов линейно независимой системы не можетпревышать количества компонент, поэтому K 6 L.3.
Пусть K < L, то есть различных представлений меньше, чем классов сопряженных элементов. Тогда таблица неприводимых характеров — прямоугольная матрица,значит ее столбцы линейно зависимы. Существует ненулевой набор коэффициентов λa ,такой что для всех αLXλa pa χα (σa ) = 0.(A.7)a=1Построим вектор x~ по следующему правилу. Его компоненты x~i = λa , если giРассмотрим вспомогательную матрицу (A.6) на векторе x~M(x~) =LX0λa X2σa .1(A.8)R(g)A .g2σaa=1Разложим регулярное представление в прямую сумму неприводимыхR(g) =KMkα D(α) (g),(A.9)α=1где kα — кратность, с которой неприводимое представление D(α) входит в разложение.Подставим (A.9) в (A.8) и поменяем порядок прямого суммирования и суммированияпо группе:LKXXMkαλa Maα , Maα =D(α) (g).(A.10)~) =M(xα=1g2σaa=1Заметим, что матрица Maα коммутирует с D(α) (g). Действительно,XXD(α) (g)Maα =D(α) (gg 0 ) =D(α) (gg 0 g−1 )D(α) (g) = Maα D(α) (g),g 0 2σag 0 2σaпотому что элемент gg 0 g−1 лежит в том же классе сопряженных элементов, что и g 0 .Тогда по второй лемме Шура Maα — скалярная матрица порядка nα : Maα = caα E Следматрицы Maα равен caα nα , a с другой стороны по построению это pa χ(α) (σa ).
Отсюдаcaα = pa χ(α) (σa )/nα .Вернемся к вспомогательной матрице (A.10):23LXkα4~) =M(xEnαλa pa χ(α) (σa )5 .nαα=1a=1KMИз линейной зависимости столбцов (A.7) следует, что квадратная скобка обращается внуль, тогда и M(x~) = 0, хотя x~ 6= 0. Мы получили противоречие с пунктом 1. Следовательно предположение пункта 3 ложно и K > L. Но в пункте 2 мы показали, что K 6 L,поэтому K = L. Теорема доказана.Теорема A.8 .
Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы.Регулярное представление состоит из единичных матриц порядка N с переставленными строками. След единичной матрицы tr R(1) = N, а след остальных матриц108A СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЙравен нулю, потому что ни одна строка не остается на месте. Поэтому характер χR =(N, 0, 0, . .
. , 0). Следовательно, коэффициенты разложения в прямую сумму неприводимых представлений совпадают с размерностями неприводимых представлений:kα = hχr χ(α) iG = na .ОтсюдаR(g) =LMnα D(α) (g).α=1Теперь вычислим характер единичного элементаtr R(1) = N =LXn2α .α=1В заключение докажем простейшую классификационную теорему, сформулированную на стр.13. Будем действовать методом, изложенным в [3, 18].Теорема A.9 .
Дискретные подгруппы собственной группы вращений исчерпываются списком Cn , Dn , T, O, Y.Элементы точечной группы G, описывающей симметрию молекулы, — это осиn-го порядка. Если ограничиться подгруппами SO(3), то зеркальных плоскостей изеркально-поворотных осей не будет. Все оси cn пересекаются в одной точке. Опишемвокруг этой точки единичную сферу, ось cn пересекает эту сферу в двух точках, которыемы назовем полюсами P.Обозначим H подгруппу, состоящую из вращений на углы, кратные 2π/n, вокругоси cn.
Разложим группу на правые смежные классы относительно этой подгруппы.Количество классов по теореме Лагранжа (стр.10) равно m = N/n = |G : H|, где N = |G|:G = Hg1 + Hg2 + . . . Hgm .Элемент g 2 G оставляет полюс P на месте, либо переводит в другой полюс того жепорядка. Каждый правый смежный класс переводит P в один и тот же полюс Pi , причем разные классы — в разные полюсы. Все полюсы, получаемые из данного такимипреобразованиями, назовем звездой эквивалентных полюсов.Обозначим (P, g) пару из полюса и преобразования, оставляющего полюс на месте.Исключая из рассмотрения единичное преобразование, посчитаем число возможных пар(P, g). С одной стороны, полное число таких пар есть 2(N−1), потому что всего в группеN − 1 преобразований, отличных от единичного, каждое из них — поворот вокруг оси, акаждая ось задает два полюса.
С другой стороны, для каждой звезды это число равноmk (nk − 1), где значок k нумерует разные звезды, mk — число эквивалентных полюсовв k-й звезде, nk — кратность этих полюсов. ОтсюдаX2(N − 1) =mk (nk − 1)kили, подставляя mk = N/nk и сокращая обе части на N, найдем!X121−.=2−Nnkk(A.11)109Таблица A.1. Целочисленные решения уравнения для случая трех звездn32222n22333n1N/2345Nчетное122460ГруппаDn1TOYОстается решить (A.11) в целых числах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
