1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для n = 1 мы уже строили его в примере 10.2 : g(x, x 0 ) =max(x, x 0 ). Можно было выбрать в качестве фундаментального решения и g(x, x 0 ) =|x − x 0 |/2, добавление гладких решений однородного уравнения не меняет характераособенности при x = x 0 .При n = 2 следует решить уравнение42g(r, r 0) = δ(r − r 0 ),где 42 — двумерный оператор Лапласа. Чтобы определить тип особенности, локальнопроинтегрируем это уравнение по кругу радиуса ρ = |r−r 0 | → 0 вокруг точки r = r 0 . Интеграл дельта-функции равен единице, а интеграл оператора Лапласа по площади кругасогласно теореме Гаусса сводится к интегралу по окружности радиальной проекции градиента, а последний в силу симметрии равен производной по радиусу, умноженной надлину окружностиZZIdg= 1.42 g dS =rr g ds = 2πρdρПолучается дифференциальное уравнение, решение которого имеет логарифмическуюособенность, подобно потенциалу заряженной нити в электростатикеln |r − r |.g(r, r ) =2π00(11.5)При n = 3 надо решить трехмерное уравнение Пуассона с точечным источником:g(r, r 0) = δ(r − r 0 ),4где 4 — трехмерный оператор Лапласа.
Интегрируем его по шару радиуса ρ → 0 ипреобразуем интеграл по объему к интегралу по поверхности от градиентаZZZZZ2 ∂g= 1.4g dV =rg dS = 4πρ∂ρРешение полученного дифференциального уравнения дает фундаментальное решениеg(r, r 0) = −1,4π|r − r 0 |(11.6)8011 ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНАzx’,y’,z’xx’,y’,-z’Рис.
11.1. Изображение точечного “заряда”, отраженного в плоскости z = 0 к примеру11.2 .которое естественно совпадает с потенциалом точечного заряда в электростатике. Приn > 2 фундаментальное решение получается убывающим на бесконечности.Упражнение 11.1 . Найдите фундаментальное решение уравнения Пуассона в пространстве произвольной размерности n > 2. Ответ:−Γn2−14πn/2 |r − r 0 |n−2.Функция Грина для задачи ДирихлеЧтобы построить функцию Грина задачи Дирихле к уравнению Пуассона, надо кфундаментальному решению добавить какие-нибудь решения уравнения Лапласа, чтобы удовлетворить граничным условиям. Ясно, что получить явные формулы даетсятолько в специальных симметричных случаях. Когда форма области — шар или полупространство, то помогает метод изображений. В двумерном случае бывает полезенметод конформных преобразований.
Оба метода проиллюстрируем примерами.Пример 11.2 . Построить функцию Грина трехмерного уравнения Пуассона для полупространства z > 0, которая обращается в нуль на бесконечности и на границе z = 0.Функция Грина строится методом изображений. Надо к фундаментальному решению (11.6) добавить потенциал “заряда-изображения” противоположного знака, расположенного на равном расстоянии под плоскостью z = 0, как показано на рис.
11.1.ПолучитсяG(x, y, z; x 0, y 0 , z 0 ) = −11q+4π (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2+11q.4π (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z + z 0 )2Особенность второго слагаемого лежит вне области D , второе слагаемое гармонично вверхнем полупространстве, граничные условия выполнены. Значит искомая функцияГрина построена.Пример 11.3 . Построить функцию Грина двумерного уравнения Пуассона внутри круга D единичного радиуса, которая обращается в нуль на единичной окружности S .11.2. Уравнение Пуассона81wzi=w(0)0Рис. 11.2.
Конформное преобразование (11.7) отображает единичный круг из комплекс-ной плоскости z в верхнюю полуплоскость комплексной плоскости w.Построим конформное преобразованиеw(z) = i1+z.1−z(11.7)Единичная окружность переходит в действительную ось, потому чтоw|S = i1 + eiϕϕ= −tg .ϕi1−e2Начало координат переходит в точку w(0) = i. Значит единичный круг отобразится вверхнюю полуплоскость, как показано на рис.
11.2.Функцию Грина в верхней полуплоскости, которая обращается в нуль на действительной оси, легко построить методом изображений, как это делалось в предыдущемпримере. Только вместо трехмерного фундаментального решение надо взять двумерное(11.5):1G(w, w 0 ) =[ln |w − w 0 | − ln |w − w0 |] .2πТеперь перейдем к переменной z1z − z 0 z −G(z, z ) =ln − ln 01 −2π1−z01z0 1z0 !(11.8).Получилась искомая функция, которая обращается в нуль на единичной окружности z = eiϕ . В этом можно убедиться, вводя полярные координаты z = reiϕ , z 0 = ρeiψ.Тогда из (11.8) найдем!1r2 − 2rρ os(ϕ − ψ) + ρ2r2 − 2r os(ϕ − ψ)/ρ + 1/ρ2ln.
(11.9)G(r, ϕ, ρ, ψ) =−ln4π1 − 2ρ os ψ + ρ21 − 2 os ψ/ρ + 1/ρ2При r = 1 логарифмы в квадратной скобке взаимно уничтожаются. Тот же ответ можнополучить и методом изображений. Как видно из формулы (11.8), нить-изображениепротивоположного знака надо поместить в точку инверсии.Метод основан на инвариантности двумерного уравнения Лапласа относительноконформных преобразований w(z):4z=∂2,∂z∂z∂∂∂2= w0⇒ 4z = |w 0 |2= |w 0 |2 4w .∂z∂w∂w∂wОтсюда, если 4z u = 0, то и 4w u = 0. Подробности метода конформных преобразованийизложены в монографии [39].Лекция 12Функция Грина второго рода12.1.Формула Грина для оператора ЛапласаМы разбили общую неоднородную задачу (10.0) на две полуоднородные задачи(10.1) и (10.2), а потом записали решение первой полуоднородной задачи (10.1) в видеобъемного интеграла (10.8). Аналогично, решение второй полуоднородной задачи (10.2)можно записать в виде поверхностного интегралаu(x) =ZGS (x, x 0 )g(x 0 ) dx 0 ,(12.1)Sгде функция GS (x, x 0 ), определенная при x 2 D , x 0 2 S , называется функцией Гринавторого рода.Для трехмерного оператора Лапласа можно вывести формулу Грина, котораясвязывает объемные и поверхностные интегралы.
С помощью формулы Грина мы научимся выражать функцию Грина второго рода через функцию Грина первого рода.Рассмотрим две функции u(x), v(x), определенные в D 2 R3 , и найдем разность скалярных произведений(v, 4u) − (u, 4v) =ZZZDZZZ(v 4 u − u 4 v) dV =div (vru − urv) dV =D!ZZZZ∂v∂u=−u(vru − urv) dS = −vdS.∂n∂nSS(12.2)Знак в самом последнем равенстве сменился, потому что символом ∂/∂n мы обозначаемпроизводную по внутренней нормали, а вектор dS направлен по внешней нормали.12.2.Потенциалы простого и двойного слояСформулируем полуоднородные задачи для уравнения Лапласа: задачу Дирихлеφ = 0,4φ|S = g(x)и задачу Нейманаφ = 0,4∂φ = h(x).∂n S8212.2. Потенциалы простого и двойного слоя+- - - - - ++ +++ + + +- -- - - -- -++ +++ + + +++++ +++ + + ++++ +++ + + +- - - - ++ +++ + + +(a)+- - - - ++ +++ + + +++ +++ + + +++ +++ + + ++++83(b)Рис.
12.1. Потенциалы простого (a) и двойного (b) слоя.В задаче Неймана имеется нулевая мода φ = onst, поэтому для разрешимости надопотребовать, чтобы она была ортогональной функции h(x). В трехмерном случае получается условиеZZh(x) dS = 0.SТеперь воспользуемся формулой Грина (12.2), подставив вместо v(x) функцию Грина G(x, x 0 ) первого рода для уравнения Пуассона 4G = δ(x−x 0 ), а вместо u(x) — решениеуравнения Лапласа 4φ = 0. Получим!ZZZZZ∂φ∂G000δ(x − x )φ(x) dx = −φ(x ) = −G(x, x )dx.(G, 4φ) − (4G, φ) = −−φ∂n∂nDSКогда второе слагаемое обращается в нуль на S , то есть ∂G/∂n = 0, мы можем подставить h(x) в первое слагаемое и получить решение задачи Неймана. Если же исчезаетпервое слагаемое, то есть функция Грина первого рода обращается в нуль G = 0, x 2 S ,то во второе слагаемое можно подставить вместо φ функцию g(x) и получится решениезадачи Дирихле.Остается сменить названия переменных x ↔ x 0 и воспользоваться симметричностью функции Грина G(x, x 0 ) = G(x 0 , x), которая зависит только от разности векторовG(x, x 0 ) = G(|x − x 0 |).
Найдем!ZZ∂φ(x 0 )∂G(x, x 0 )00G(x, x )− φ(x )dx 0 ,(12.3)φ(x) =00∂n∂nSгде дифференцирование по n 0 означает дифференцирование по внутренней нормали впространстве переменной x 0 . Сравним полученный интеграл по поверхности с определением (12.1) функции Грина второго рода.Первое слагаемое в формуле (12.3) дает решение задачи Неймана.00GS (x, x ) = G(x, x )|x 0 2S ,∂G = 0.∂n x2SИтак, чтобы найти функцию Грина для неоднородной задачи Неймана к уравнениюЛапласа, надо сначала решить однородную задачу Неймана, то есть построить функциюГрина первого рода уравнения Пуассона, нормальная производная которой обращаетсяв нуль на поверхности, а затем ограничить эту функцию на поверхность.Второе слагаемое в формуле (12.3) дает решение задачи Дирихле.∂G(x, x 0 ) ,GS (x, x ) = −∂n 0 x 0 2S0G|x2S = 0.Таким образом, чтобы найти функцию Грина второго рода для задачи Дирихле к уравнению Лапласа, надо сначала найти функцию первого рода для однородной задачи8412 ФУНКЦИЯ ГРИНА ВТОРОГО РОДАДирихле G|S = 0 к уравнению Пуассона, продифференцировать ее вдоль нормали повторой переменной, а затем зафиксировать положение второй переменной x 0 на границеS.Решение полной неоднородной задачи (10.0) для уравнения Пуассонаu = f,4^ Bux2S=gзаписывается в виде суммы объемного и поверхностного интегралов:ZZZZZ000G(x, x )f(x ) dx +GS (x, x 0 )g(x 0 ) dx 0 .u(x) =DSОбъемный интеграл называется потенциалом объемного заряда, второй поверхностныйинтеграл называется по разному в зависимости от задачи.Решение задачи Неймана называется потенциалом простого слоя, как показано нарис.
12.1 (a). Из электростатики известно, что если на диэлектрике поместить поверхностный заряд, он задаст нормальное электрическое поле, то есть проекцию градиентапотенциала на внутреннюю нормаль. Решение задачи Дирихле называется потенциаломдвойного слоя, рис. 12.1 (b). Если на двух близких замкнутых поверхностях сосредоточены заряды одинаковой величины и противоположного знака, то граничное условиев электростатике — это скачок потенциала при переходе через двойной слой. ФункцияГрина задачи Дирихле определится разностью двух функций Грина для задачи Неймана∂G(x, x 0 − ǫ/2) − G(x, x 0 + ǫ/2) = −ǫ 0 G(x, x 0 ),∂nгде ǫ → 0 расстояние между слоями зарядов.Пример 12.1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
