1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если l > l1 +l2 , то такие слагаемые найдутся при m = (l1 −l2 ), (l1 +l2 +1),но первый и второй косинусы входят с разными знаками, поэтому все вклады взаимно уничтожатся. Единственный случай, когда коэффициент kl отличен от нуля, это|l1 − l2 | 6 l 6 l1 + l2 . При этом второй косинус не вносит вклада, а первый вносит приm = (l1 − l2 ). Получится kl = 1, так что формула (8.6) доказана. В прямую суммувходят только представления с |l1 − l2 | 6 l 6 l1 + l2 , причем входят по одному разу.Мы доказали правило сложения только для целых моментов. Аналогичное правило существует и для полуцелых. Формула (8.6) справедлива и при полуцелых l, но мераинтегрирования в группе SU(2) будет другой. Чтобы вывести эту формулу для полуцелых l, интегрировать придется до 4π.Пользуясь ассоциативностью, можно разложить в прямую сумму произведениелюбого конечного количества представлений.
В непрерывной группе определенные сложности могут возникнуть с поиском меры интегрирования по группе. Общее определениеинвариантной меры интегрирования см. в монографии [19]. Неприводимые представления многих групп Ли можно найти в справочнике [20] вместе с мерами, а доказательствасоответствующих теорем имеются в книгах [21, 22].8.3.ТензорыОбщее разложение Клебша— Гордана определено для произведения представленийлюбых, в том числе различных, размерностей. Представляет особый интерес частныйслучай одинаковых размерностей. Если имеется несколько сомножителей прямого произведения одной размерности, получается тензорное представление.
Базисом такогопредставления служат тензоры. Начнем с общего определения тензора относительногруппы G < GL(n, C) над полем C. В случае евклидова пространства R определениетензора упрощается, поскольку не надо делать различия между ковариантными и контравариантными компонентами.Три определения тензораРассмотрим пространство Cn , элементы которого x = (x1 , . . . , xn ) 2 Cn являются~ n , элементывекторами. Рассмотрим также сопряженное (или дуальное) пространство C8.3. Тензоры57~ n назовем ковекторами. Иногда ковекторы называют 1которого y~ = (y~1, .
. . , y~n) 2 Cформами или функционалами. Их главное свойство — принимать на векторе значениеиз поля, в нашем случае комплексное числоy~ (x) = hy~ | xi = y~ 1 x1 + + y~ n xn .(8.7)Можно представлять себе векторы в виде векторов-столбцов, а ковекторы в виде векторовстрок. Тогда значение ковектора на векторе — это матричное произведение строки настолбец. Как видно из формулы (8.7) получилась выражение, линейное как по первому,так и по второму аргументуy~ +y~ | xi = hy~ | xi + hy~ | xi,hy~ | x + xi = hy~ | xi + hy~ | xi,hh1h2112λy~ | xi = λhy~ | xi;212~ | xi.y~ |λ xi = λ hyПоэтому оно называется билинейной формой. Индексы мы пишем снизу, потому чтоместо справа снизу занято номером компоненты вектора.Построим пространство, состоящее из p эк~ n:земпляров Cn и q экземпляров CC(p, q) = Cn1Cn...~nCCnpC~n C~nq1...размерности dim C(p, q) = np+q . Размерность здесьмы считаем по количеству комплексных параметров, а символом внизу обозначаем номер экземпляpqра пространства.
Каждый элемент (вектор) составного пространства C(p, q) состоит из p векторов и q ковекторовT (p, q) = (x, . . . , x, y~, . . . , y~ ) 2 C(p, q)1p1q(8.8)и имеет всего p + q компонент, каждая из которых представляет собой n-мерный комплексный вектор.Определение 8.3 . Вектор T (p, q) 2 C(p, q) называется тензором ранга p + q, p разконтравариантным и q раз ковариантным.Можно ввести в пространстве C(p, q) базис. Для этого сначала введем базис eαв пространстве Cn и базис e~β в дуальном (или сопряженном, или дополнительном)~ n . Базис составного пространства C(p, q) дается прямым произведенипространстве Cем базисов, входящих в него пространств.
Для краткости записи обозначим его однойбуквой...βqβ1βq~Ψαβ11 ...α eα 1 eα p e e~.pТогда тензор можно разложить по базисуα ...α...βqT (p, q) = Tβ11...βqp Ψαβ11 ...α,p(8.9)где по повторяющимся сверху и снизу индексам подразумевается суммирование αj , βj =α ...α1, 2, . . . , n. Числа, входящие в таблицу Tβ11...βqp , называется компонентами (координатами) тензора.Переход к новому базису под действием преобразования g 2 G < GL(n, C) описывается в каждом экземпляре некоторой матрицей n n.
Обозначим эти матрицы в~ n — V. Тогдапространстве Cn через U , а сопряженном пространстве Ceα = Uγα eγ0 ,e~β = Vδβ e~0 .δ588 ТЕНЗОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕПреобразование g в составном пространстве C(p, q) описывается произведением матрицβδ ...δ...βqΨαβ11 ...α= Uγα11 Uγαpp Vδβ11 Vδqq Ψ 0 γ11 ...γqp .p(8.10)Тогда, пользуясь (8.9), (8.10), можно записать компоненты тензора в двух базисахγ ...γα ...αδ ...δ...βqT (p, q) = Tβ11...βqp Ψαβ11 ...α= T 0 δ11...δqp Ψ 0 γ11 ...γqp ,pгдеγ ...γβα ...αT 0 δ11...δqp = Tβ11...βqp Uγα11 Uγαpp Vδβ11 Vδqq .(8.11)Последнее соотношение можно считать вторым определением тензора.Определение 8.4 .
Таблица чисел называется тензором относительно группы G, еслипри преобразованиях g 2 G ее элементы преобразуются по формуле (8.11), как произведение p компонент вектора и q компонент ковектора.Введем дополнительное пространство C(q, p), которое состоит из q экземпляров~ n . Обозначим за ξ вектор из сопряженного пространстваC и p экземпляров Cn!~, . .
. , yξ= y~ , x, . . . , x1p1q2C(q, p).Теперь найдем значение тензора (8.8) из первого определения на векторе ξ из дополнительного пространства. Обозначим это значение~ | xi . . . h y~ | x i.T (ξ) = hy1p+q p+q1(8.12)Получилась полилинейная форма. Значение тензора на векторе из дополнительногопространства тоже можно считать его определением. Для этого рассмотрим T как функционал, который принимает численное значение на векторе ξ из дополнительного пространства.Определение 8.5 .
Тензором называется функционал, который на векторе из дополнительного пространства принимает значение, равное полилинейной форме (8.12).Все три определения эквивалентны, но в задачах бывает удобнее пользоватьсякаким-нибудь одним определением тензора: как вектора, составленного из векторов,как таблицы чисел, которые преобразуются с помощью матриц, или как функционала.В определении 8.4 , которое обычно и используется в физике, ничего не сказано о структуре линейного пространства, что разрешается дополнительным соглашением о том, чтотензоры можно умножать на число, а тензоры одинакового ранга можно складывать.Пример 8.2 . Скаляр в евклидовом пространстве R3 — это тензор нулевого ранга, вектор — тензор ранга единица.
Вектор поляризации среды записывается как(1)(3)Pi = χij Ej + χijkl Ej Ek El ,где Ei вектор электрического поля, χ(1) , χ(3) — линейная и нелинейная восприимчивость.Если обе части умножить скалярно на Ei , получится скаляр, значит χ(1) принимает(3)(1)числовое значение χij Ei Ej на двух векторах, а χ(3) принимает значение χijkl Ei Ej Ek El начетырех векторах. Причем значения линейны по каждой компоненте каждого вектора.Значит линейная восприимчивость — тензор ранга 2, а нелинейная — тензор ранга 4. Разречь идет о евклидовом пространстве, можно не делать различий между ковариантнымии контравариантными компонентами, а все индексы писать снизу.8.4.
Построение тензорного представления59^ в гильбертовом пространстве L2 принимает значеПример 8.3 . Линейный оператор L^ i — на паре функций ψ 2 L2 и ϕние билинейной формы — матричного элемента hψ|L|ϕ^ — тензор ранга 2, 1 раз коварииз сопряженного пространства. Стало быть, оператор L^ = (1, 1).антный и 1 раз контравариантный. Эти числа записывают в одной скобке: rank LПример 8.4 . Рассмотрим пространство дифференцируемых функций трех переменныхr 2 R3 .
Дифференциальные операторы векторного анализа: ротор, градиент и дивергенция преобразуются при вращениях из SO(3) с помощью матриц вращения, значитявляются тензорами. Ротор принимает векторное значение на векторе, поэтому это тензор ранга 2, один раз ковариантный и один раз контравариантный:rank rot = (1, 1).Дивергенция принимает скалярное значение на векторе, а градиент — векторное значение на скаляре, поэтомуrank div = (0, 1),8.4.rank grad = (1, 0).Построение тензорного представленияВ заключении построим тензорное представление группы G.
Пусть в каждом экземпляре Cn действует группа G < GL(n, C). Тогда в C(p, q) действует тензорное произведение представленийD~~(g) = (D(g) D(g)) (D(g) D(g)),где D(g) — представление группы G в пространстве Cn , которое входят в прямое про~ матрицы представления в сопряженном пространстве, которыеизведение p раз, а Dвходят q раз.Определение 8.6 . Гомоморфизм g → D (g) называется тензорным представлениемгруппы G.Тензорное представление, вообще говоря, приводимо. Его можно разложить понеприводимым, действуя аналогично тому, как мы это делали в общем разложенииКлебша — Гордана.
В подгруппах G < SO(3) можно разлагать в два этапа: сначала понеприводимым представлениям группы SO(3). Полученные представления становятсяв точечной группе приводимыми и следующим шагом будет их разложение по неприводимым представлениям группы G.Пример 8.5 . Пусть n = 3, p = 2, G = D3 < SO(3).1Æ . Согласно формуле (8.6)D(1) (g) D(1) (g) = D(0) (g) D(1) (g) D(2) (g).(8.13)2Æ . Характер группы вращений (8.5) следует выписать для элементов группы D3 :χ(0) = 1 1 1 ,χ(1) = 3 0 −1 ,откуда найдем, скалярно умножая на каждую строку таблицы 3.1,D(0) = D1 ,D(1) = D2 D3 ,χ(2) = 5 −1 1 ,1 1 11 1 −12 −1 0D(2) = D1 2D3.Упражнение 8.1 .
Пользуясь таблицей 3.2, найдите разложение тензора второго рангаотносительно группы тетраэдра T.Лекция 9Правила отбора9.1.Симметризаторы ЮнгаОграничимся тензорами над евклидовым пространством Rn , в которых будем всеиндексы писать снизу. Полностью симметричным называется тензор Ti1 ,i2 ,...,ip , которыйне меняется при перестановке любой пары индексов. Полностью антисимметричнымназывается тензор, который меняет знак при перестановке любой пары индексов. Тензорранга 2 можно разбить на симметричную и антисимметричную частиTij = Sij + Aij ,1Sij = (Tij + Tji ),21Aij = (Tij − Tji ).2(9.1)Для тензоров более высокого ранга кроме двух указанных могут быть и другие типы симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
