1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Такое многообразие называется проективной сферой и обозначается RP3 . Многообразия четырех групп Ли сведеныв таблице 5.1.5.3. Алгебра Ли35R=πРис. 5.4. Многообразие SO(3) представляет собой шар радиуса π, диаметрально проти-воположные точки которого отождествлены.Таблица 5.1. Многообразия нескольких групп ЛиГруппаSO(2)МногообразиеОкружностьУравнениеОбозн.S1x21 + x22 = 1U(1) U(1)ТорSU(2)Сфераz = eiφ1 +iφ2T2S3x20 + x21 + x22 + x23 = 1SO(3) SU(2)/C25.3.Проективнаясфераx20 + x21 + x22 + x23 = 1, x0 0, RP3диаметрально противоположныеточки "экватора"x21 + x22 + x23 = 1отождествленыАлгебра ЛиОпределение 5.3 . Алгеброй Ли над полем F = R или F = C называется линейноепространство над F, снабженное бинарной операцией (скобкой Ли [, ]) со следующимисвойствами:1.
[λa + b, c] = λ[a, c] + [b, c]2. [b, a] = −[a, b]3. [a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = 0линейность;антисимметричность;тождество Якоби.Приведем три примера:3). Первое и вто1. Пространство R3 с векторным произведением (обозначим его Rрое свойство очевидны, третье доказывается с помощью правила БАЦ минус ЦАБ.365 ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИG1I1I2Рис. 5.5. Группа Ли G и касательное пространство в единице. Показано два базисныхвектора I1 , I2 , лежащих в касательном пространстве.2. Алгебра матриц с коммутатором [A, B] = AB − BA. Третье свойство проверяетсянепосредственно[A1 , [A2, A3]] = A1 (A2 A3 − A3 A2 ) − (A2A3 − A3 A2 )A1 ,[A3 , [A1, A2]] = A3 (A1 A2 − A2 A1 ) − (A1A2 − A2 A1 )A3 ,[A2 , [A3, A1]] = A2 (A3 A1 − A1 A3 ) − (A3 A1 − A1 A3 )A2 .В сумме получится нуль, потому что все слагаемые скомпенсируются.
Одна из такихпар подчеркнута.3. Функции координат qi и импульсов pi со скобкой Пуассона{f, g} =Xi!∂g ∂f∂f ∂g−.∂pi ∂qi ∂pi ∂qiобразуют бесконечномерную алгебру Ли. Тождество Якоби доказывается в механике[24].5.4.Алгебра Ли группы ЛиСреди абстрактных алгебр Ли наиболее ценна та алгебра, которая связана с даннойгруппой Ли. Покажем, как она получается. Строим касательное пространство в единицематричной группы G, как показано на рис.
5.5. В качестве базисных касательных векторов выберем частные производные по отдельным координатам в начале координат∂g(x1 , x2 , . . . , xr ) , k = 1, 2, . . . , r,Ik =∂xkx=0(5.2)а скобкой Ли будет коммутатор. Такие векторы называются генераторами группыили инфинитезимальными операторами. Скобка Ли находится как разность функцийумножения в прямом и обратном порядке[X, Y] = lim (ϕ(X, Y) − ϕ(Y, X)) = XY − YX.X,Y→0Коммутатор базисных векторов можно снова разложить по базисуX[Ii , Ij] =ckij Ik ,(5.3)kтогда коэффициенты ckij разложения называются структурными константами алгебры Ли.
Из (5.2) видно, что структурные константы антисимметричны по нижним3структурные константы выражаютсяиндексам ckji = −ckij . В частности, в алгебре R5.5. Экспоненциальная формула37через полностью антисимметричный тензор eijk : ckij = eijk .
Здесь eijk — полностью антисимметричный тензор, e123 = +1.Чтобы проверить (5.3) возьмемPэлемент группы g, лежащий в окрестности единицы, и разложим по базису: g = 1 + t ck Ik , где параметр t → 0, а более высокими степенями t мы пренебрегаем. Малое преобразование подобия по непрерывности не выводитиз окрестности единицы группы, потому что оставляет единицу на месте. Совершимпреобразование подобия одного из генераторовXX~Il = gIl g−1 = (1 + tck Ik )Il (1 − tck Ik )kkи его результат снова разложим по базису, пренебрегая квадратичными членами (чтобыоставаться в окрестности единицы)X~Il = Il + tck (Ik Il − Il Ik ).kВ частности, если сдвинуться на t → 0 вдоль генератора Im : g = gm = 1 +tIm , то в суммепо k останется только коэффициент c k = m, равный единице:~I(m)= Il + t[Im , Il ].l(5.4)С другой стороны, в окрестности единицы мы можем разложить ~Il по базисным векторамX (m)~I(m)(5.5)= Il + tdln In ,lnпричем коэффициенты разложения d будут зависеть также от m.
Приравнивая (5.4) и(5.5), получим (5.3). Отсюда видно, что коммутатор генераторов можно снова линейновыразить через генераторы. Структурные константы определяться коэффициентами dразложения по базису. Будем обозначать алгебру Ли группы Ли, как группу, добавляявпереди букву A. Иногда алгебру обозначают теми же, что и группу, но строчнымибуквами.5.5.Экспоненциальная формулаВосстановление группы Ли по алгебре Ли основано на простом соображении: любой элемент группы можно приближенно записать как произведение большого числаэлементов, близких к единице.
В пределе получается бесконечное произведение, которое подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению. Решение дифференциального уравнения можно продолжить, но максимальная область распространениярешения может и не совпасть со всей группой.Сначала научимся восстанавливать элементы однопараметрической подгруппы группы g(t) 2 H < G, g(0) = 1.
Параметр t можно считать координатой и, продифференцировав по нему, найти алгебру. В такой алгебре всего один генераторdg I=.dt t=0Оказывается, что групповое свойство подгруппы можно записать какg(s + t) = g(t)g(s).(5.6)385 ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИtg=0dedet g < 0det g > 0Рис. 5.6.
Если соединить непрерывной кривой матрицы с положительным и отрицатель-ным определителем, кривая пересечет поверхность вырожденных матриц.Продифференцируем (5.6) по параметру t, а затем устремим t → 0:g 0 (s) = Ig(s).Решение такой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами и начальным условием g(0) = 1, как известно, дается экспоненциальной формулойg(s) = exp Is.В общем случае восстановление группы по ее алгебре невозможно, потому что не каждый элемент группы лежит в однопараметрической подгруппе.Пример 5.4 . В группе GL(n, R) имеются матрицы с отрицательным определителем.Если мы соединим такую матрицу g, det g < 0 с единичной E, det E > 0 непрерывнойкривой, то кривая неизбежно пересечет гиперповерхность det g = 0 (рис. 5.6).
Но вырожденные матрицы не принадлежат нашей группе. Значит матрицы с отрицательнымопределителем лежат в группе, но не принадлежат никакой однопараметрической подгруппе.Сформулируем достаточное условие однозначного восстановления группы по ееалгебре. Доказывать условие мы не будем, а в следующей лекции приведем примеры,когда оно нарушается.Теорема 5.1 . Всякой алгебре Ли отвечает единственная связная односвязнаягруппа Ли.Лекция 6Группы ортогональных и унитарныхматриц6.1.Примеры матричных алгебр ЛиНа прошлой лекции мы рассмотрели некую программу изучения какой-нибудьгруппы Ли.
Сначала надо построить алгебру Ли группы Ли. Алгебра — это линейноепространство, поэтому изучить ее и найти неприводимые представления гораздо проще,чем иметь дело с группой. Затем с помощью экспоненциальной формулы мы сможемвосстановить матрицы представления исходной группы Ли. Точнее, мы сможем восстановить только те элементы группы, которые принадлежат однопараметрическойподгруппе. В данной лекции мы применим эту программу к группам небольшой размерности O(3, R) и SU(2, C).Пример 6.1 . Группа O(n, R) состоит из ортогональных матриц. Из алгебры известенобщий вид ортогонального оператора0O=BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB11...1−1...−1os θ1 sin θ1− sin θ1 os θ1...CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCl A.(6.1)os θl sin θ− sin θl os θlВ некотором базисе ортогональная матрица состоит из единичной размера m+ , минусединичной размера m− и l блоков 2 2, так что m+ + m− + 2l = n.
Единичная матрицаописывает координаты, которые не преобразуются. Матрица с −1 на главной диагонали описывает координаты, которые меняют знак (отражения). Блоки 2 2 описываютповороты на угол θi в плоскостях.Покажем, что алгебра AO(n, R) состоит из антисимметричных матриц XT = −X.39406 ГРУППЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ И УНИТАРНЫХ МАТРИЦДля этого найдем экспоненту(exp Xt)T = exp XT t = exp(−Xt) = (exp Xt)−1 .(6.2)Размерность пространства антисимметричных матриц равна количеству элементов наднулевой главной диагональю dim AO(n, R) = n(n − 1)/2 и совпадает с размерностьюгруппы.
Для удобства некоторые матричные группы Ли и их алгебры собраны в таблице6.1 (стр. 40).Заметим, что определитель экспоненты в формуле (6.2) всегда равен +1, потомучто det exp Xt = exp tr Xt. Значит экспоненциальная формула восстанавливает не всюгруппу O(n, R), а только подгруппу унимодулярных ортогональных матриц SO(n, R) <O(n, R).
Чтобы определитель был равен +1, m− должно быть четным числом. Тогдавторой блок можно представить как совокупность минус единичных матриц 2 2, акаждую матрицу −E2 записать как поворот на угол π :!!−1 0os π sin π−E2 ==.0 −1− sin π os π(6.3)В четномерном пространстве инверсия сводится к поворотам на угол π. Мы только отбросили матрицы с определителем −1 (несобственные вращения), поэтому размерностьгруппы останется такой же, как была в предыдущем примере. Группа Ли O(n, R) не является связной, а условие унимодулярности просто выделяет одну связную компонентуиз двух.Антисимметричные матрицы алгебры AO(n, R) = ASO(n, R) можно записать каклинейные комбинации генераторов.
Для каждого вращения в плоскости (xi , xj) генератор будет содержать нули всюду, кроме двух элементов: Xij = −Xji = 1. Блок, состоящийиз элементов Xii , Xij , Xji , Xjj , можно записать через матрицу Паули:!0 1= iσ2 .Iij =−1 0Такое представление удобно, потому что эти матрицы:σ1 =0 11 0!,σ2 =0 −ii 0!,1 00 −1σ3 =!(6.4)обладают простыми свойствами:σi σj = ieijk σk + δij .Пример 6.2 .
Группу SO(3) можно параметризовать как поворот на угол α = (α1 , α2, α3)вокруг координатных осей (5.1). Дифференцируя по α1 , согласно определению (5.2),восстановим первый генератор010 0 0BCI1 = 0 0 −1A ,0 1 0010 0 1BCI2 = 0 0 0A ,−1 0 0010 −1 0BCI3 = 1 0 0A .0 0 0(6.5)Знак минус у генератора I2 получился в нижней строке в соответствии с замечанием5.1 . Прямым вычислением находим коммутаторы генераторовI1 I2 − I2 I1 = I3 ,I2 I3 − I3 I2 = I1 ,I3 I1 − I1 I3 = I2 ,6.1. Примеры матричных алгебр Ли41Таблица 6.1. Примеры матричных групп Ли.GGL(n, C)SL(n, C)U(n, C)SU(n, C)O(n, R)SO(n, R)Группа ЛиНевырожденные матрицыУнимодулярные матрицыУнитарные матрицыУнитарные унимодулярные матрицыОртогональные матрицыОртогональные унимодулярные матрицыАлгебра Лиdim GВсе матрицы2n2Бесследовые матрицы2n2 − 2Антиэрмитовы матрицыn2Антиэрмитовы бесследо- n2 − 1вые матрицыАнтисимметричные мат- n(n−1)2рицыАнтисимметричные мат- n(n−1)2рицыа значит найдены и структурные константы алгебры Ли:[Ii , Ij ] = eijk Ik .Кстати, мы доказали, что алгебры вращений и трехмерного пространства с векторнымпроизведением изоморфны:3ASO(3) R.Пример 6.3 .
Группа U(n, C) — это унитарные комплексные матрицы U−1 = Uy . Алгебра AU(n, C) состоит из антиэрмитовых матриц Xy = −X. Покажем это, вычисливэкспоненту(exp Xt)y = exp Xy t = exp(−Xt) = (exp Xt)−1 .На диагонали антиэрмитовой матрицы стоят чисто мнимые числа, а над диагональю —комплексные, значит размерность алгебры равна n + 2n(n − 1)/2 = n2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
