1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Мы здесь следуем обозначениям [2, §58]. Матрица конечных поворотов (матрицаВигнера) 2j + 1-мерного представления определяется какDEDjm 0 m (α, β, γ) = j, m 0 exp(i^J3 γ) exp(i^J2β) exp(i^J3α) j, m .Элементы такой матрицы суть коэффициенты разложения сферических гармоник преобразованного базиса по исходному базису, так для целых j = l^ =Yl m (Rn)lXm 0 =−l^ l m 0 (n).Dlm 0 m (R)YЗависимость от углов α, γ очень простая0Djm 0 m (α, β, γ) = eim γ+imα djm 0 m (β),а матрица d зависит только от угла β и называется приведенной. Приведенная матрицанаходится явноvudjm 0 m (β) = 2u−m 0tm 0 +mm 0 −m (m 0 −m,m 0 +m)(j + m 0 )!(j − m 0 )!(1 + µ) 2 (1 − µ) 2 Pj−m 0(µ),(j + m)!(j − m)!где µ = os β, а Pn(a,b) — полиномы Якоби, которые даются формулойPn(a,b) (µ)n(−1)n−a−b d= n (1 − µ) (1 + µ)(1 − µ)a+n (1 + µ)b+n .n2 n!dµВыпишем приведенные матрицы для j = 1/2, 1, 3/2m 0 = 12m 0 = − 12m = 12os β2− sin β2m = − 21sin β2os β2m=1 m=0m0 = 1m0 = 0m 0 = −11+os β2sin− p2β1−os β2sinβp2os β− sin2βpm = −11−os β2sinβp21+os β2527 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙm0 =32m0 =12m 0 = − 12m 0 = − 32pm=32os3β2m=p3 os2− 3 os2 β2 sin β2p3 os β2 sin2−sin3β212β2βsin β22os β(−1+3 os β)22−(1+3 os β) sin β22p3 os β2 sin2β2m = − 21p3 os β2 sin2 β2(1+3 os β) sin β22(−1+3 os β)os β22p− 3 os2β2m = − 32sin3pβ23 os β2 sin2p3 os2sin β2β2os3β2sin β2β2Вывод выражения для матрицы поворотов с помощью повышающих и понижающихдифференциальных операторов приведен у Любарского [5].
Другой вывод, основанныйна теории гармонических однородных полиномов, описан в книге Годунова и Михайловой [27].Дополнение 2. Вывод формулы (7.10)Сначала выведем тождество, связывающее инвариантные тензоры второго и третьего рангаeijk eilm = C (δjl δkm − δjm δkl ) .(7.12)Должен получиться инвариантный тензор 4 ранга, а других комбинаций, кроме указанных нет.
Знак между парами дельта-символов должен быть минусом, потому что тензорв левой части меняет знак при любой из перестановок индексов j ↔ k, l ↔ m. Остаетсяеще общий множитель C, который найдем сворачивая правую и левую часть по параминдексов j = l, k = m:eijk eijk = C (δjj δkk − δjk δkj ) = 6C.С другой стороны, у тензора eijk всего 6 отличных от нуля компонент, три из них равныeijk = ekij = ejki = 1, а три eikj = ejik = ekji = −1. Значит свертка в левой части равна 6, акоэффициент в формуле (7.12) равен C = 1.Теперь с помощью (7.12) вычислим квадрат векторного произведения в формуле(7.10)!∂∂∂∂∂eilm xl= xj− xjxk=[r r] [r r] = eijk xj∂xk∂xm∂xk∂xk∂xj∂2∂ ∂∂ ∂∂∂= xi xj 2 + xj− xj xk− 3xj= r2 δij − xi xj− 2rr.∂xj∂xj ∂xk∂xj∂xi ∂xk∂xkОтметим, что в круглой скобке сформировался поперечный проектор.
С другой стороны,∂ ∂∂2∂= r2 2 + 2r .r2 4r = r2∂r ∂r∂r∂rЧлены с первой производной вошли с разными знаками и взаимно уничтожились, остается только поперечная часть, что и доказывает формулу (7.10).Лекция 8Тензорное представление8.1.Прямое произведение представленийОпишем, как сконструировать новый объект — прямое произведение представлений. Пусть D(g) и D 0 (g) — два представления группы G размерностей N, N 0, а uk 20RN , vi 2 RN — базисы представлений, тогдаD(g)|uk i =NX|ul ihul |D(g)|uk i =l=10D (g)|vi i =NXDlk |ul i,(8.1)l=10NX00|vj ihvj |D (g)|vi i =j=1NXDji0 |vj i.(8.2)j=10Определим прямое произведение базисов |uk i |vi i 2 RN+N как множество пар векторов, т.е. будем использовать знак как разделитель.
Тогда на прямом произведениибазисов действует прямое произведение представлений, определенное как00(D(g) D (g)) (|uk i |vi i) =N XNXDlk (g)Dji0 (g) (|ul i |vj i) .l=1 j=1Формулы (8.1), (8.2) показывают, чему равны элементы матриц представлений D, D 0.Действительно, чтобы понять, как действует линейный оператор, надо выписать егоматрицу. Элементы этой матрицы всегда можно найти, если подействовать этим оператором на базисные векторы.Прямое произведение Dik Djl0 удобно записать в виде одной квадратной матрицы.
Конкретная запись такой матрицы зависит от того, как мы условимся располагатьбазисные векторы прямого произведения двух векторных пространств (всевозможныепары базисных векторов этих пространств) в виде одного столбца. Определим прямоепроизведение матриц.Определение 8.1 . Прямым (тензорным, кронекеровским) произведением двух квадратных матриц называется матрица NN 0 NN 0 , состоящая из попарных произведенийэлементов01a11 B .
. . a1N BB.... C.(8.3)AB=B.. CAaN1 B . . . aNN B53548 ТЕНЗОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕПример 8.1 . Матрицы исходного представления из Примера 4.1 с треугольной молекулой согласно (4.4) равны прямым произведениям матрицы, описывающей перестановкутрех ядер, и матрицы поворота или отражения:01011 0 01 0 0BCC010Di (1) = B0 1 0A ,A0 0 10 0 1010p10 1 0− 1 − 23 0CB p2BC3Di (r) = 0 0 1A B,− 21 0C 2A1 0 000101010 1 0−1 0 0BC1 0CDi (σ) = B0 0 1A 0A.1 0 00 0 1Заметим, что именно такая форма записи матриц возникла, потому что мы условилисьписать координаты атомов в следующем порядке(x1 , y1 , z1, x2 , y2 , z2, x3 , y3 , z3 ).Если бы мы договорились писать координаты в другом порядке, например,(x1 , x2 , x3 , y1 , y2, y3 , z1 , z2, z3 ),получились бы другие (эквивалентные) матрицы.Можно было бы обобщить определение и на прямоугольные матрицы, но нам это непонадобится.
Перечислим некоторые основные свойства прямого произведения матриц.1) (λA + B) C = λ(A C) + B Cлинейность;ассоциативность;2) (A B) C = A (B C)3) (A B) C = A C B Cдистрибутивность;4) (A1 B1 )(A2 B2 ) = A1 A2 B1 B2(A1 того же порядка, что и A2 , B1 того же порядка, что и B2 );5) tr (A B) = tr A tr B.Все свойства следуют напрямую из определения (8.3) и правила умножения матриц.Доказательства этих и других свойств можно найти в учебниках линейной алгебры,например, [28].Мы покажем, что прямое произведение представлений — представление.
Из того,что D, D 0 представления, следует, чтоD(g1)D(g2) = D(g),где g = g1 g2 , g1 , g22D 0 (g1 )D 0 (g2) = D 0 (g),G. Тогда из свойства 4 получается(D(g1) D 0 (g1 ))(D(g2) D 0 (g2)) = D(g1 )D(g2) D 0 (g1 )D 0 (g2 ) = D(g) D 0 (g).8.2. Разложение Клебша — Гордана8.2.55Разложение Клебша — ГорданаПрямое произведение неприводимых представлений, вообще говоря, приводимо.Его можно разложить в прямую сумму неприводимых. Каждый из сомножителей прямого произведения можно разложить в в прямую сумму неприводимых, а затем воспользоваться свойством дистрибутивности 3.
Значит заадача сводится к разложениюпрямого произведения неприводимых представлений в прямую сумму неприводимыхпредставлений.Определение 8.2 . Разложением Клебша — Гордана называют разложение прямогопроизведения неприводимых представлений в прямую сумму неприводимых представлений:kγ D(γ) (g),(8.4)D(α) (g) D(β) (g) =γгде kγ — целочисленные коэффициенты.Можно также разложить базис неприводимого представления γ по базисам неприводимых представлений α, β.
Коэффициенты такого разложения называются коэффициентами Клебша — Гордана.Выведем разложение Клебша — Гордана в группе SO(3). Мы можем вычислитьхарактер неприводимого представления. Это проще всего сделать, рассмотрев поворотвокруг оси 3 на угол α, потому что в этой системе координат матрица диагональна01eilα0...0BCi(l−1)α0e...0BC(l)BD (α) = B ...... C..C.. ... A00.
. . e−ilαОтсюда характер равен сумме экспонент eimα , т.е. сумме геометрической прогрессии:lXχ(l) (α) =eimα =sin (l + 21 )αsin 12 αm=−l.(8.5)Теперь, когда характер найден, вспомним, что он не зависит от выбора базиса.Соотношение ортогональности в непрерывной группе в качестве усреднения вместосуммирования содержит интегрированиеZDE1 2π (l1 )(l1 ) (l2 )χ (α)χ(l2 ) (α)(1 − os α) dα = δl1 l2 .=χ χG2π 0Действительно, переписав произведение синусов через разность косинусовDχ(l1 ) χ(l2 )EG1=2π2πZ(os(l1 − l2 )α − os(l1 + l2 + 1)α) dα,0мы увидим, что интеграл от второго косинуса всегда равен нулю, а от первого обращается в нуль при разных числах l1 6= l2 .
При равных l1 = l2 интеграл равен 2π, откудаполучается δ- символ Кронекера.Из ортогональности характеров можно вывести разложение Клебша — Гордана длягруппы SO(3)D(l1 )D(l2 )l1 +l2=j=|l1 −l2 |D(j) ,(8.6)568 ТЕНЗОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕкоторое в квантовой механике называется правилом сложения моментов. Действительно, усредняя по группе, найдемD(l)(l1 ) (l2 )kl = [χ ] χχEG1=2π2πZlXeimα (os(l1 − l2 )α − os(l1 + l2 + 1)α) dα.0 m=−lЗапишем косинусы как суммы экспонент1 ikαe + e−ikα , k = l1 − l2 , l1 + l2 + 12и воспользуемся соотношением ортогональностиos kα =2πZ0ei(m−m )ϕ dϕ = 2πδm m 0 .0Если l < |l1 −l2 |, то в сумме не найдется ни одного слагаемого, который может свернутьсяс экспонентой из разложения какого-нибудь из двух косинусов и дать ненулевой вкладв интеграл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
